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1、第2章计算机控制理论基础第1页，本讲稿共40页2.1 信号变换原理信号变换原理主要内容 1.1.计算机控制系统内的信号变换计算机控制系统内的信号变换2.2.采样器与采样过程采样器与采样过程3.3.采样定理采样定理 4.4.采样周期的选择采样周期的选择 5.5.信号的恢复与保持信号的恢复与保持 第2页，本讲稿共40页1.计算机控制系统的信号流程信号采样信号采样第3页，本讲稿共40页实际采样过程2.脉冲采样器和采样过程第4页，本讲稿共40页理想采样过程第5页，本讲稿共40页采样信号的物理意义第6页，本讲稿共40页3.采样定理第7页，本讲稿共40页3.采样定理(续)第8页，本讲稿共40页频率混叠现象
2、第9页，本讲稿共40页4.采样周期的选择n理论基础：采样定理 n主要考虑的因素：nA.对象的动态特性nB.扰动的特性nC.控制算法nD.执行机构的速度nE.跟踪性能的要求第10页，本讲稿共40页5.信号恢复与保持n(1)信号复现：采样定理推导过程表明需要通过一个理想的低通滤波器才可以实现，所依据的是信号的定值外推理论，信号在线恢复常采用保持器。n(2)保持器的作用：n A.采样点间的信号保持；n B.滤波（低通）；n(3)零阶保持器：第11页，本讲稿共40页零阶保持器输入输出特性第12页，本讲稿共40页零阶保持器的传递函数零阶保持器输入一个单位脉冲，则输出第13页，本讲稿共40页零阶保持器频域
3、特性第14页，本讲稿共40页零阶保持器的实现原理：将保持器中 项一阶或三阶泰勒展开第15页，本讲稿共40页零阶保持器第16页，本讲稿共40页2.2 连续模型与离散模型间的转换连续模型与离散模型间的转换1.传递函数与Z传递函数间的转换 1）向后差分变换法原理：微分方程变换为差分方程。例2-1 第17页，本讲稿共40页 1）向后差分法向后差分法特点：A.无论原传递函数有多复杂，向后差分变换法的使用都非常简便，无需对传递函数作因式分解，无论手工计算还是计算机编程都很容易。B.若 G(s)稳定，向后差分变换后G(z)也稳定；但是，如进行反方向的变换，由 G(z)到 G(s)则不一定，即向后差分的逆变换
4、不能保持原函数的稳定特性。因此，向后差分变换法一般只用正方向的变换。C.变换的近似程度相对比较差，特别是采样周期较大时。一般地，向后差分变换法主要适用于精度要求不高、传递函数较简单的场合，如惯性滤波器、PID控制器的离散化等。第18页，本讲稿共40页 2）双线性变换法双线性变换法原理：第19页，本讲稿共40页 2）双线性变换法双线性变换法例2-2、例2-3 特点：A.与向后差分变换法一样，双线性变换法使用也非常简便，无需对传递函数作因式分解，无论手工计算还是计算机编程都很容易实现。B.双线性变换将S平面的左半平面（S平面的稳定区域）映射到Z平面的单位圆内（Z平面的稳定区域）,因此，双线性变换不
5、改变系统的稳定区域，即变换前后G(s)与 G(z)的稳定特性不变 C.当采样周期不大时，双线性变换具有很好的近似程度。双线性变换法除了在计算机控制系统的设计中有着广泛的应用外，还可用于快速数字仿真及数字滤波器设计等其它方面。第20页，本讲稿共40页 3）零阶保持器法原理：第21页，本讲稿共40页 3）零阶保持器法例2-4 特点：A.模型转换时，常常需要对连续传递函数作因式分解，以便查Z变换表得到变换结果，因此该方法仅适用于连续传递函数比较简单、可以手工计算的情况。B.对于带有零阶保持器的连续传递函数的离散化采用上述方法变换时，离散后响应序列与原连续传递函数的响应在采样时刻的值是一样的，从这个意
6、义上讲，这种变换是一种精确的变换。第22页，本讲稿共40页 4）零极点匹配法原理：直接利用映射关系将G(s)的零极点全部对应映射到Z平面中去 第23页，本讲稿共40页例2-5 特点：A.零极点匹配法由于变换前后零极点在S平面中与在Z平面中一一对应，因此，与双线性变换法一样，不改变系统的稳定区域，即变换前后G(s)与 G(z)的稳定特性不变。同时，该方法还可以保证变换前后特征频率处的增益不变。B.采用零极点匹配法时，不仅要先求出连续传递函数的全部零极点，同时计算也稍嫌复杂，因此该方法主要适合于连续传递函数比较简单、便于进行手工计算的情况。4）零极点匹配法第24页，本讲稿共40页2.2 连续模型与
7、离散模型间的转换连续模型与离散模型间的转换(续）续）2.连续与离散状态方程之间的相互转换方法：零阶保持器法。公式：1）连续状态方程转换为离散状态方程 例2-6 第25页，本讲稿共40页2.2 连续模型与离散模型间的转换连续模型与离散模型间的转换(续）续）2.连续与离散状态方程之间的相互转换。2）离散状态方程转换为连续状态方程第26页，本讲稿共40页2.3 采样控制系统的稳态及动态分析采样控制系统的稳态及动态分析1.采样控制系统的稳态分析对单位反馈系统单位阶跃时2.采样控制系统的动态分析第27页，本讲稿共40页2.3采样控制系统的稳态及动态分析（续）采样控制系统的稳态及动态分析（续）2.采样控制
8、系统的动态分析单位脉冲输入下：第28页，本讲稿共40页第29页，本讲稿共40页第30页，本讲稿共40页2.4 线性离散控制系统的稳定性分析线性离散控制系统的稳定性分析1.S1.S平面与平面与Z Z平面的映射关系平面的映射关系第31页，本讲稿共40页(1)稳定条件：线性离散系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部根或闭环Z传递函数Gc(z)的全部极点zi都分布在Z平面上以原点为圆心的单位圆内，即2.2.线性离散系统的稳定域线性离散系统的稳定域(2)在线性离散控制系统的设计中，为使闭环系统具有满意的过渡过程，闭环零点应尽量避免分布在Z平面单位圆内的左半部，尤其不要靠近负实轴。闭环极点最好分布在单位圆
9、内的右半部，理想的位置是在单位圆内正实轴并靠近原点，因为这时值很小，暂态分量衰减快，离散系统具有快速响应输入信号的能力。(3)稳定性的根判别法第32页，本讲稿共40页例2-7：设线性离散系统的特征方程为 2.2.线性离散系统的稳定域线性离散系统的稳定域试判断系统的稳定性。解：由特征方程可得系统的特征根为 可知系统的全部特征根均位于单位圆内，所以系统是稳定的。第33页，本讲稿共40页将Z平面的单位圆映射到映射到W平面的虚轴上，将单位圆内的区域映射到W平面的左半部分，这样就与连续系统S平面的情形类似了。根据W变换后的特征方程 （1）实质：不求特征根，通过一些代数方法，分析特征根的分布，也称代数判据
10、。3.3.线性离散系统的稳定性判据线性离散系统的稳定性判据（2）W平面上的劳斯判据 通过双线性坐标变换 应用劳斯判据就可判断离散系统的稳定性。第34页，本讲稿共40页例2-8：3.3.线性离散系统的稳定性判据（续）线性离散系统的稳定性判据（续）例2-9：已知闭环离散控制系统如下图所示 试判断采样周期T分别为1s和5s时，使闭环离散控制系统稳定的比例控制器K的取值范围。解：由零阶保持器法可知，图中系统的开环Z传递函数为 第35页，本讲稿共40页 例2-9：对应闭环系统的特征方程 经整理简化后，得 第36页，本讲稿共40页 例2-9：代入上述方程，得 应用劳斯判据可知系统稳定的条件是各项系数同符号，即 当T=1s时，可解上述不等式得比例控制器0K2.4时，系统稳定。当T=5s时，可解上述不等式得比例控制器0K0.652时，系统稳定。第37页，本讲稿共40页（3）鞠利判据 第38页，本讲稿共40页（3）鞠利判据（续）二阶系统：例2-10：第39页，本讲稿共40页（4）离散状态方程表达系统的稳定性分析3.3.线性离散系统的稳定性判据（续）线性离散系统的稳定性判据（续）A.特征方程 B.计算矩阵A的特征值 C.李亚普诺夫方程 对于上面的线性定常系统，若存在正定对称矩阵P和Q，并满足 则系统是稳定的。例2-11：第40页，本讲稿共40页