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1、3.1.简单的优化模型 微分法建模(一)3.1.1.生产者的决策 3.1.2.消费者的选择 3.1.3.森林救火问题 3.1.4.血管分支问题 优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常见的一类问题.然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们,当打算用数学的方法处理一个优化问题时，要考虑如下几个方面：要确定优化的目标是什么；寻求的决策是什么；决策受到哪些条件的限制；最后可能的话，要对结果做一些定性、定量的分析和必要的检验.微分法建模，就是利用微积分中讨论函数极值的方法建模，从而得到问题的优化结果.问题:如果企业的领导有权根据产品的成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻
2、求能使工厂利润达到最大的所谓最优价格.试根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下建立确定商品价格的数学模型，使利润最大.3.1.1.生产者的决策模型准备:利润是销售收入与生产支出之差.销售收入与销售量和每件产品的价格有关.生产支出与生产量和每件产品的成本有关.模型假设及符号说明:产品的生产量与销售量相同，设为 x.每件产品售价为 p，成本为 q.于是，销售收入 I=p x,生产支出 O=q x.模型构成:总利润 U=I O=p x q x.目标：求 p 取何值时 U 达到最大值？在市场竞争的情况下，销售量 x 依赖于价格 p，x(p)是关于 p 的减函数.假设 x(p)=a b p,a,b 0
3、.当 p=0 时，a 可理解为这种产品免费供应时 的社会需求量.于是，不论成本 q 是否与 x 有关，收入和支出都是关于 p 的函数.总利润 U(p)=I(p)O(p)=p x(p)q x(p)=(p-q)(a-b p).目标：求 p 取何值时 U 达到最大值？最大利润在边际收入等于边际支出时达到.边际收入 边际支出 q/2:成本的一半.a:产品免费供应时的社会需求量 由 x(p)=a b p,a,b 0，则 b=dx/dp.b:价格上升一个单位时销量的下降 幅度(需求对价格的敏感度，称为“市场弹性系数”)对模型结果的简单分析：思考：如何得到参数a,b?a p*b p*问题:消费者对甲乙两种商
4、品的偏爱程度可以用无差别曲线族表示.问消费者如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度.3.1.2.消费者的选择设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2):效用函数已知甲乙两种商品的价格分别为 p1,p2,消费者的资金总数为 s，试分配s，购买甲乙数量 q1,q2，使 U(q1,q2)最大.模型准备：模型建立：模型求解：这是二元函数的条件极值问题，可以利用拉格朗日乘子法求解，即经济学解释：边际效用消费者的均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到.s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10几何
5、解释：直线MN:最优解Q:MN与 l2切点斜率MQN效用函数应满足的条件U(q1,q2)=c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸效用函数U(q1,q2)的构造：消费者按照效用最大化购买两种商品的费用之比与二者价格之比的平方根成正比.U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度.购买两种商品费用之比与二者价格无关.U(q1,q2)中参数,分别表示对甲乙的偏爱程度.问题:森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑森林失火产生的损失费，和派出消防员产生的救援费，确定派出消防员的数量.3.1.3 森林救火问
6、题模型准备:损失费：通常正比于森林烧毁的面积；森林烧毁的面积与灭火的时间有关；灭火的时间取决于消防队员的数量.救援费：分为两个部分，一部分是器材的消耗和队员的薪金，与消防员的数量和灭火时间有关，另一部分是运送队员和器材等的一次性支出，只与消防员的数量有关.模型假设：损失费正比于森林烧毁的面积.森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的.因此，可以假定火势以失火点为中心，匀速向四周呈圆形蔓延.灭火速度不变，且灭火速度必须大于火势蔓延 的速度.符号说明：失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2.某一时刻t，森林被烧毁的面积为B(t).烧毁单位面积森林的损失费为c1.于是，总的损失费为
7、：c1B(t2).每个消防队员单位时间的灭火费用为 c2,每个队员的一次性支出是 c3.消防员的数量为 x.于是，总的救援费为：c3x+c2x(t2 t1).模型构成：t1t20 tBB(t2)当 时，火势越来越大；当 时，火势越来越小；当 时，火势停止蔓延.分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁的速度dB/dt.0 t t1,森林烧毁的速度dB/dt 与t成正比.rB火势以失火点为中心，匀速向四周呈圆形蔓延，扩散半径 r与 t 成正比面积 B与 t2成正比，dB/dt与t成正比.设系数为，即dB/dt=t，称为火势蔓延的加速度.t1 t t2,森林烧毁的速度dB/dt=(-x)t，其中为队员
8、的平均灭火能力.显然有 x.b0 t1tt2总的损失费为：c1B(t2).b0 t1tt2总的救援费为：c3x+c2x(t2 t1).总的费用为：b0 t1tt2t2 是关于x的函数！由于目标：求 x使 C(x)最小.其中 c1,c2,c3,t1,为已知参数.总的费用为：/是为了把火扑灭所必需的最少队员数.对模型结果的简单分析：b0 t1tt2 问题:血液在动物的血管中不停流动，为了维持血液循环，动物的机体需要给自己提供能量.能量的一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力.动物在长期进化过程中，血管的几何形状应该向消耗能量最小的方面转变.事实上，有研究发现，动物的血管分支
9、角度几乎是固定的.研究在能量消耗最小原则下，动物血管分支处粗细血管半径的比例以及分岔的角度.3.1.4 血管分支问题模型假设：一条粗血管在分支点处分成两条细血管，分支点附近三条血管在同一平面，有一对称轴.(不在同一个平面内，血管总长度必然增加)几何上的假设 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动.粘性流体在刚性管道中流动受到的阻力 f 与流量 q 的平方成正比，与半径 r 的4次方成反比，即 f=k q2/r4,其中，k 是比例系数.物理上的假设rr1 血液对血管壁提供的能量随管壁的内表面积及管壁所占体积的增加而增加.管壁的厚度近似与血管半径成正比.生物上的假设对于半径为 r,长度为 l 的血管，管壁内表面积:2rl.管壁体积:(r+d)2-r2)l=(d2+2rd)l.lr设管壁厚度为 d，综合考虑，单位长度血管壁提供营养的能量为：模型构成：q q1q1ABBCHLll1rr1 考察血管 AC 与 CB、CB.ACB的水平距离和竖直距离是分别为常数 L 和 H.设血液在粗细血管中单位时间的流量分别是 q 和 q1.q q1q1ABBCHLll1rr1 血液克服阻力消耗的能量：血液提供营养消耗的能量：机体为血流提供的总能量：q1=q/2,q q1q1ABBCHLll1rr1