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1、 第第 七七 章章 假 设 检 验第第7.17.1节节 假设检验假设检验二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理四、小结四、小结一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下,为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质,提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设.假设检验就是根据样本对所提出的假设作假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断出判断:是接受是接受,还是拒绝还是拒绝.例如例
2、如,提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设;一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理什么是假设检验问题？我们先看几个简单的例子。什么是假设检验问题？我们先看几个简单的例子。例例1 1：在超市上出售的某种品牌方便面，按规定每袋净重少在超市上出售的某种品牌方便面，按规定每袋净重少于于100100克的比例不得超过克的比例不得超过1%1%。技术监督部门从某超市的货架。技术监督部门从某超市的货架上任意抽取上任意抽取200200袋该种品牌的方便面，经检验发现有袋该种品牌的方便面，经检验发现有3 3袋重量袋重量少于少于100100克，试问：该超市出售的这种方便面是否符合质量克，试问：该超市
3、出售的这种方便面是否符合质量标准。标准。在本例中，在超市上出售的这种方便面的不合格率是未知的，在本例中，在超市上出售的这种方便面的不合格率是未知的，我们关心的问题是，如何根据样本的不合格率我们关心的问题是，如何根据样本的不合格率 p=1.5%p=1.5%来来判断：在超市上出售的这种方便面的不合格率判断：在超市上出售的这种方便面的不合格率 p1%p1%是否是否成立？成立？例例2：某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的包得的袋装糖重是一个随机变量袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布它服从正态分布.当当机器正常时机器正常时,其均值为其均值为0.50.5公斤公斤,标准差为标
4、准差为0.0150.015公斤公斤.某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常,随机随机地抽取它所包装的糖地抽取它所包装的糖9 9袋袋,称得净重为称得净重为(公斤公斤):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,0.520 0.515 0.512,问机器是否正常问机器是否正常?如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?通常借助于直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法,其
5、基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常采理就是人们在实际问题中经常采用的所谓用的所谓小概率原理小概率原理:“一个小一个小概率事件在一次试验中几乎是不概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的可能发生的”.下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.例例 2：某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的包得的袋装糖重是一个随机变量袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布它服从正态分布.当当机器正常时机器正常时,其均值为其均值为0.50.5公斤公斤,标准差为标准差为0.0150.015公斤公斤.某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正
6、常,随机随机地抽取它所包装的糖地抽取它所包装的糖9 9袋袋,称得净重为称得净重为(公斤公斤):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,0.520 0.515 0.512,问机器是否正常问机器是否正常?分析分析:由长期实践可知由长期实践可知,标准差较稳定标准差较稳定,问题问题:根据样本值判断根据样本值判断提出两个对立假设提出两个对立假设再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假拒绝假设设H1),还是拒绝假设还是拒绝假设H
7、0(接受假设接受假设H1).如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受H0,即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的,否则否则,认为是不正常认为是不正常的的.由于要检验的假设涉及总体均值由于要检验的假设涉及总体均值,故可借助于样本故可借助于样本均值来判断均值来判断.于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k,使得使得由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得于是拒绝假设于是拒绝假设H0,认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.1.原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为:二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念2.拒绝域与临
8、界点拒绝域与临界点如在前面实例中如在前面实例中,为为拒绝域拒绝域,拒绝域拒绝域拒绝原假设拒绝原假设H0,则称区域则称区域当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域中的值时中的值时,我们我们的边界点称为的边界点称为临界点临界点.3.两类错误及记号两类错误及记号 假设检验是根据样本的信息并依据小概率原假设检验是根据样本的信息并依据小概率原理，作出接受还是拒绝理，作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有的判断。由于样本具有随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错误的误的.这种错误有两类这种错误有两类:(1)当原假设当原假设H0为真为真,观察值却落入拒绝域
9、观察值却落入拒绝域,而作出了拒绝而作出了拒绝H0的判断的判断,称做称做第一类错误第一类错误,又叫又叫弃真错误弃真错误.犯第一类错误的概率是显著性水平犯第一类错误的概率是显著性水平(2)当原假设当原假设H0不真不真,而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域,而作出了接受而作出了接受H0的判断的判断,称做称做第二类错误第二类错误,又叫又叫取伪错误取伪错误.当样本容量当样本容量 n 一定时一定时,若减少犯第一类错误若减少犯第一类错误的概率的概率,则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大.犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都
10、减小,除非增除非增加样本容量加样本容量.三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤五、小结五、小结假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.真实情况真实情况(未知未知)所所 作作 决决 策策接受接受H0拒绝拒绝H0H0为真为真正确正确犯第犯第I类错误类错误H0不真不真犯第犯第II类错误类错误正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误第第7.27.2节节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的假设检验假设检验一、单个总体参数一、单个总体参数的检验的检验二、两个总体参数的检验二、两个总体参数的检验三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验)
11、四、小结四、小结一、单个正态总体一、单个正态总体均值与方差均值与方差的检验的检验对于给定的对于给定的检验水平检验水平由标准正态分布分位数定义知，由标准正态分布分位数定义知，因此，检验的拒绝域为因此，检验的拒绝域为 其中其中 为统计量为统计量U的观测值。这种利用的观测值。这种利用U统计量统计量来检验的方法称为来检验的方法称为U检验法。检验法。例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm,标准差是标准差是0.15cm,今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量,其结果如下其结果如下:假定切割的长度假
12、定切割的长度X服从正态分布服从正态分布,且标准差没有且标准差没有变化变化,试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?解解查表得查表得上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.在实际中在实际中,正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知,所以我们常用所以我们常用 t 检验法检验法来检验关于正态总体均值的检验问题来检验关于正态总体均值的检验问题.如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?解解查表得查表得t t分布表分布表例例2定理三
13、定理三根据根据第五章第五章3定理定理5.85.8的推论的推论1 1知知,由由t分布分位数的定义知分布分位数的定义知 在实际中在实际中,正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知,所以我们常用所以我们常用 t 检验法检验法来检验关于正态总体均值的检验问题来检验关于正态总体均值的检验问题.在实际中在实际中,正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知,所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.要检验假设要检验假设:根据根据第五章第五章3知知,指它们
14、的和集指它们的和集拒绝域为拒绝域为:解解例例3 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000(小时小时2)的正态分布的正态分布,现有现有一批这种电池一批这种电池,从它生产情况来看从它生产情况来看,寿命的波动寿命的波动性有所变化性有所变化.现随机的取现随机的取26只电池只电池,测出其寿命测出其寿命的样本方差的样本方差 =9200(小时小时2).问根据这一数据能问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的变化?拒绝域为拒绝域为:可认为这批电池的寿命的波动性较以往的可认为这批
15、电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化有显著的变化.二、两个正态总体均值与方差的检验二、两个正态总体均值与方差的检验1.已知方差时两正态总体均值的检验已知方差时两正态总体均值的检验需要检验假设需要检验假设:上述假设可等价的变为上述假设可等价的变为 利用利用u检验法检验法检验检验.故拒绝域为故拒绝域为由标准正态分布分位数的定义知由标准正态分布分位数的定义知2.未知方差时两正态总体均值的检验未知方差时两正态总体均值的检验 利用利用t检验法检验法检验具有相同方差的两正态总体检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设均值差的假设.定理四定理四根据根据第五章第五章3定理定理5.85.8的推论的推论2 2知
16、知,对给定的对给定的故拒绝域为故拒绝域为例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品,从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件,测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9机床乙机床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异?假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布,且总体方差相等
17、且总体方差相等.解解即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异.需要检验假设需要检验假设:3.两正态总体方差的检验两正态总体方差的检验定理定理5.8根据根据第五章第五章3定理定理5.85.8的推论的推论2 2知知为了计算方便为了计算方便,习惯上取习惯上取检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法.解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖,抽样检查测量砖抽样检查测量砖的抗折强度的抗折强度(公斤公斤),得到结果如下得到结果如下:已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布,试检验试检验:(1)两批红砖的抗
18、折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异?(2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异差异?(1)检验假设检验假设:例例3查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为(2)检验假设检验假设:查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为三、基于配对数据的检验（三、基于配对数据的检验（t t检验）检验）有时为了比较两种产品，两种仪器，或两有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行
19、分析。作出推断，这值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。种方法常称为配对分析法。例例7.9 比较甲乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从比较甲乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲乙两种轮胎中各随机地抽取甲乙两种轮胎中各随机地抽取8个，其中各取一个，其中各取一个组成一对。再随机选择个组成一对。再随机选择8架飞机，将架飞机，将8对轮胎对轮胎随机地搭配给随机地搭配给8架飞机，做耐磨性实验架飞机，做耐磨性实验飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：位：mg）数据如下：数据如下：轮胎甲：轮胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，766
20、0，8650，4870轮胎乙；轮胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，5010试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？解：用解：用X及及Y分别表示甲乙两种轮胎的磨损量分别表示甲乙两种轮胎的磨损量假定假定 ，其中，其中 欲检验假设欲检验假设下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）实验数据配对分析：记）实验数据配对分析：记 ，则，则 ，由正，由正态分布的可加性知，态分布的可加性知，Z服从正态分布服从正态分布 。于是，对于是，对 与与 是否相等的检验是否相等的检验就变对就变对 的检验，这时我们可采用关于一的检验，这时我们可采
21、用关于一个正态总体均值的个正态总体均值的 检验法。将甲，乙两种轮检验法。将甲，乙两种轮胎的数据对应相减得胎的数据对应相减得Z的样本值为：的样本值为：-30，320，360，320，230,780，720，-140计算得样本均值计算得样本均值对给定对给定 ，查自由度为，查自由度为 的的 分布分布表得临界值表得临界值 ，由于，由于 因而否定因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性有显，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。著差异。（2）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观测值，这种方据看作来自两个总体的样本观测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假
22、设法称为不配对分析法。欲检验假设我们选择统计量我们选择统计量由样本数据及由样本数据及 可得可得对给定的对给定的，查自由度为，查自由度为16-2=14的的t分布分布表，得临界值表，得临界值，由于，由于，因而接受，因而接受，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。以上是在同一检验水平以上是在同一检验水平 的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将我们将8对轮胎随机地搭配给对轮胎随机地搭配给8架飞机作轮胎耐架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对
23、试验数据产生影响，磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。下采用不同方法下采用不同方法对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起，这时样本据的影响交织在一起，这时样本 不独立。因此，用两个独立正态总体的不独立。因此，用两个独立正态总体的t检验法是不合检验法是不合适的。适的。由本例看出，对同一批试验数据，采用配对分析还是由本例看出，对同一批试验数据，采用配对分析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。不配对分析方法，要根据抽样方法而定。与样本与样本 四、小结四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表