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1、 5.1 5.1 线性微分方程组解的线性微分方程组解的 存在唯一性定理存在唯一性定理Existence&Uniqueness Theorems of Linear ODEs 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。本节要求本节要求/Requirements/5.1.1 5.1.1 记号与定义记号与定义/Symbol and Definition/Symbol and Definition/一阶微分方程
2、组一阶微分方程组初值条件初值条件 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组(5.1)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs.(5.2)(5.3).(5.4)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 可定义矩阵与向量函数可定义矩阵与向量函数在区间在区间连续连续:连续。连续。在区间在区间可微可微:可微。可微。在区间在区间可积可积:可积。可积
3、。在区间在区间 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 上的连续上的连续 维向量，方程组维向量，方程组上连续且满足上连续且满足定义定义1 1 设设是区间是区间上的连续上的连续矩阵，矩阵，是区间是区间.(5.4)在某区间在某区间的解就是向量的解就是向量在区间在区间 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 定义定义2初值问题初值问题(
4、Cauchy Problem).(5.5)的解就是方程组的解就是方程组(5.4)在包含在包含使得使得 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 例例1 1 验证向量验证向量是初值问题是初值问题 在区间在区间上的解。上的解。解解因此因此 是给定初值问题的解。是给定初值问题的解。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价例例1令令解解 5.1 E 5.1 Existence
5、&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 满足满足解解构造构造向量向量 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 解解满足满足 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 令令 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs(5.6)
6、等价等价(5.7)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 例例2令令将初值问题将初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解解 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 例例3 将下列方程组化为高阶方程将下列方程组化为高阶方程解解注意注意：不是所有方程组都可化为高阶方程：不是所有方程组都可化为高阶方程 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear O
7、DEs 5.1.3 存在唯一性定理存在唯一性定理初值问题初值问题(Cauchy Problem).(5.5)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 定理定理1 1f(t)是是 n 维列向量，维列向量，上连续，则对于区间上连续，则对于区间上的任何数上的任何数及任一常数向量及任一常数向量方程组方程组(5.5)存在唯一存在唯一解解定义于整个区间定义于整个区间上，且满足初始条件上，且满足初始条件如果如果矩阵，矩阵，它们都在区间它们都在区间 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of o
8、f Linear ODEs 现取现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：向量函数向量函数称为称为(5.4)(5.4)的第的第 k k 次近似解。次近似解。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 例例4 求方程组的初值问题求方程组的初值问题的二次近似解。的二次近似解。解解令令 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear
9、 ODEs 5.1.4 简单方程组的消元法简单方程组的消元法例例5 求解方程组解解关键关键：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 方程组的解为 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 例例6 求解方程组解解：保留一个未知函数 x，消掉另一个未知函数 y 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 另外，由方程组的解为 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 练习：练习：2 求方程组的初值问题求方程组的初值问题 的二次近似解。的二次近似解。1 P.184 2(b)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 作业作业：P.184 第第2(c),3题。题。3 求下列方程组的解求下列方程组的解 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs