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1、1、基和维的概念、基和维的概念2、再论线性代数方程组的解、再论线性代数方程组的解5.3 向量空间的基和维向量空间的基和维定义定义 设设V为向量空间为向量空间 如果如果r个向量个向量a1 a2 ar V 且满足且满足 (1)a1 a2 ar 线性无关线性无关 (2)V中任一向量都可由中任一向量都可由a1 a2 ar 线性表示线性表示 那那么么 向向量量组组a1 a2 ar 就就称称为为向向量量空空间间V的的一一个个基基 r 称称为为向向量空间量空间V的的维数维数 并称并称V为为 r 维向量空间维向量空间 注注 （1）只有零向量的向量空间没有基只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为规定其维数为0
2、 （2）若若把把向向量量空空间间V看看作作向向量量组组 则则向向量量空空间间V的的基基就就是是向量组的向量组的最大无关组最大无关组 向量空间向量空间V的的维数维数就是就是向量组的秩向量组的秩 （3）向量空间的基不唯一向量空间的基不唯一.5.3.1 基和维基和维定定义义 如如果果在在向向量量空空间间V中中取取定定一一个个基基a1 a2 ar 那那么么V中任一向量中任一向量 x 可可唯一唯一地表示为地表示为x 1a1 2a2 rar 数组数组 1 2 r 称为向量称为向量x在基在基a1 a2 ar中的中的坐标坐标 在在向向量量空空间间Rn中中以以单单位位坐坐标标向向量量组组e1 e2 en为为基基
3、 则向量则向量x(x1 x2 xn)T可表示为可表示为x x1e1 x2e2 xnen 可见向量在基可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是中的坐标就是该向量的分量该向量的分量 注注 线性空间线性空间V 的任意向量在不同的基下的坐标一般不同的任意向量在不同的基下的坐标一般不同,但一个向量在一组基下的坐标是唯一的但一个向量在一组基下的坐标是唯一的注注 求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数方程组有无解的问题方程组有无解的问题.解解 例例 设设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(
4、4 3 2)T 验验证证a1 a2 a3是是R3的一个基的一个基 并求并求b1 b2在这个基中的坐标在这个基中的坐标 解解 所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐标依次为 例例 设设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验验证证a1 a2 a3是是R3的一个基的一个基 并求并求b1 b2在这个基中的坐标在这个基中的坐标 例例 在在R3中中取取定定一一个个基基a1 a2 a3 再再取取一一个个新新基基b1 b2 b3 设设A(a1 a2 a3)B(b1 b2 b3)求求用用a1 a2 a3表表示示b1 b2 b3的
5、的表表示示式式(基基变变换换公公式式)并并求求向向量量在在两两个基中的坐标之间的关系式个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式坐标变换公式)即基变换公式为即基变换公式为 (b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A 1B 矩阵矩阵P A 1B称为从旧基到新基的称为从旧基到新基的过渡矩阵过渡矩阵 解解 由由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得得 (e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A 1 故故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B (a1 a2 a3)A 1B 解解解解 基变换公式为基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A 1B 设向量设向量 x 在旧基和新基中的坐
6、标分别为在旧基和新基中的坐标分别为y1 y2 y3和和z1 z2 z3 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式 例例 在在R3中中取取定定一一个个基基a1 a2 a3 再再取取一一个个新新基基b1 b2 b3 设设A(a1 a2 a3)B(b1 b2 b3)求求用用a1 a2 a3表表示示b1 b2 b3的的表表示示式式(基基变变换换公公式式)并并求求向向量量在在两两个基中的坐标之间的关系式个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式坐标变换公式)定理定理 设设b1、bs 及及 f1、ft 是向量空是向量空间间的的任两任两组基，则必有组基，则必有 s=t.定定义义
7、向量空向量空间间V 的任一基向量的个数的任一基向量的个数,称称为为空间空间V 的的维维（dimension）,记这个数为记这个数为 dimV证证 利用等价向量利用等价向量组组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的，根据向量空间基的定义可知两组基等价的，从而其秩相等：从而其秩相等：由基的定由基的定由基的定由基的定义义义义知两知两知两知两组组组组向量向量向量向量组组组组都都都都线线线线性无关，即性无关，即性无关，即性无关，即 从而从而 由于由于Rn有一有一组组明明显显的自然基，的自然基，故有故有 dim Rn=n,即即Rn是是n维维向量空向量空间间.若若S是是Rn的任一子空的任一子空间间，则则 注
8、注 尽管子空间尽管子空间尽管子空间尽管子空间S S的的的的维可以低于维可以低于n，但它的任一向量却是，但它的任一向量却是n维向量维向量,亦即亦即空间维数空间维数与与向量维数向量维数是不同的概念是不同的概念.例例 考虑练习考虑练习2 2中给出的向量空间中给出的向量空间其中其中 试求试求 dimV1.解解由于由于其中其中故知故知V1中任一向量中任一向量x皆可依皆可依 a1,a2 线线性表出性表出.又因矩又因矩阵阵 之秩为之秩为2，故故a1,a2线线性无关，性无关，故故 a1,a2是是V1的基的基，从而从而 dimV1=2.但是但是 a1,a2 以及以及V1中的任一向量中的任一向量x皆皆为为4维维向
9、量向量.5.3.2 再论线性代数方程组的解再论线性代数方程组的解5.3.2.1 齐次方程组齐次方程组m n齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组的解集的解集 N(A)是向量空间，现在进一步指出：它的通解中是向量空间，现在进一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常数的个数元素的一般式中所含有任意常数的个数 n-r(A)就是就是 N(A)的维数的维数 dimN(A),即即基础解系就是基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成的一组基，它们线性无关，并生成N(A).齐次方程组的通解式（或基础解系）齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定不惟一确定，但通解式中独立任意常数的但通解式中独立
10、任意常数的个数是确定的个数是确定的，每一任意，每一任意常数对应一个常数对应一个基向量基向量，而基向，而基向量个数量个数一定是一定是n-r(A)个个.例例 试解齐次线性代数方程组试解齐次线性代数方程组 解解 对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行初等行变换故故 r(A)=2,又又n=4,方程组有非零解且带有方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数常数.取等价方程组取等价方程组则方程组的则方程组的通解通解为为 基础解系的构成及特点基础解系的构成及特点(1)(1)每一个向量都是齐次方程组的解每一个向量都是齐次方程组的解;(2)(2)基础解系中共有基础解系中共有 n-r(A)个向量个向量；(3)(3)
11、这组向量这组向量线性无关线性无关.根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为因为因为 线性无关，即为线性无关，即为 N(A)的一组的一组基基，于是，于是而通解中的两个任意常数即为而通解中的两个任意常数即为解向量对这一组基的坐标解向量对这一组基的坐标.基础解系的构成及特点基础解系的构成及特点(1)(1)每一个向量都是齐次方程组的解每一个向量都是齐次方程组的解;(2)(2)基础解系中共有基础解系中共有 n-r(A)个向量个向量；(3)(3)这组向量这组向量线性无关线性无关.则方程组的则方程组的通解通解为为 现在的基础解系是现在的基础解系是 不同基础解系代表解空
12、间的不同不同基础解系代表解空间的不同的基，但每一组基础解系包含的的基，但每一组基础解系包含的解向量的个数是确定的，解向量的个数是确定的，5.3.2.2 非齐次方程组非齐次方程组用向量空间理论解释相容性定理用向量空间理论解释相容性定理.本章定理本章定理1 1说明了方程组说明了方程组 Ax=b 即即相容性的重要条件是相容性的重要条件是 b R(A).故方程组无解故方程组无解.事实上，若事实上，若则必则必必是必是b不能依不能依a1，a2，an线性表出，即线性表出，即 说明向量组说明向量组a1，a2，an线性无关，故必为线性无关，故必为R(A)的一组基，的一组基，若若说明生成说明生成 R(A)的的n个
13、向量个向量a1，a2，an线性相关，而最大线性相关，而最大因向量因向量b b对一组基的坐标是惟一确定的，所以此时方程组有对一组基的坐标是惟一确定的，所以此时方程组有惟一解惟一解.当当时时，则则b必可依必可依A的列向量组线表出，即的列向量组线表出，即进一步，若进一步，若线性无关组含线性无关组含 r 个向量个向量.假定最大线性无关组是假定最大线性无关组是an-r+1，an，为，为 R(A)的一组基的一组基.t1，t2，tn-r，向量向量 b+t1a1+tn-ran-r 对这组基必有惟一确定的坐标，对这组基必有惟一确定的坐标，设为设为 1*、2*、n-r*，就有，就有亦必在亦必在R(A)中，所以对中
14、，所以对 n r 个任意常数值个任意常数值因因b,a1,an-r均在均在 R(A)中，故它们的线性组合中，故它们的线性组合b+t1a1+tn-ran-r=1*an-r+1+n-r*an 从此式可看出，从此式可看出，-t1 -tn-r 1*n-r*T是是Ax=b的解，的解，由于由于t1、t2、tn-r可取任意值，故可取任意值，故 Ax=b 的通解中含有的通解中含有 n-r 个任意常数个任意常数.其次其次，用向量空间的概念同样直观地解释，用向量空间的概念同样直观地解释Ax=b 通解的结构式通解的结构式先给出先给出m n相容非齐次方程组相容非齐次方程组解的性质及其与对应齐次方程组的解的关系解的性质及
15、其与对应齐次方程组的解的关系.定理定理 设设m n相容非齐次方程组相容非齐次方程组Ax=b的的解集为解集为S,对应齐次对应齐次方程组的解空间为方程组的解空间为N(A)，若已知若已知 则则 (k0,k为为常数）常数）(3)对任意的对任意的 xhN(A),必必 x1+xh S.(1)即即(2)非齐次方程组的解非齐次方程组的解集不是向量空间集不是向量空间结论结论(2)、(3)则说明了当已知其某个则说明了当已知其某个解解 xp时，时，方程组的通解方程组的通解 xp(即即S中元素的通解中元素的通解)本质上本质上必能也必能也只能通过只能通过 N(A)的通解的通解 xh表出，为表出，为随着取随着取xp的不同
16、及在的不同及在N(A)中取不同的基，中取不同的基，xg的具体形式的具体形式还是可以多样的，但其组成还是可以多样的，但其组成(结构结构)是惟一确定是惟一确定.下面从另外一个角度说明，当生成向量线性相关时，生下面从另外一个角度说明，当生成向量线性相关时，生成向量空间中任一向量按生成向量的线性表出必有无限多种成向量空间中任一向量按生成向量的线性表出必有无限多种不同的形式不同的形式.例例 对练习对练习2 2中的中的 V2=span(b1,b2,b3),可以可以但但b1、b2、b3是线性相关的，即有不全为零的数是线性相关的，即有不全为零的数 1、2、3使成立使成立验证验证V=6-1 7 7T v2.于是，对任意数于是，对任意数 k 都成立都成立因为有因为有 由此看出由此看出向量向量v 可依一组线性相关向量表出时，必有无可依一组线性相关向量表出时，必有无限多种不同的表示形式限多种不同的表示形式.例例 已知四元非齐次线性代数方程组的系数已知四元非齐次线性代数方程组的系数矩阵之秩为矩阵之秩为 3，又已知该方程组有三个解向量又已知该方程组有三个解向量 a1,a2,a3，其中，其中求该方程组的通解求该方程组的通解.作作 业业P149.18P157.5-7