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1、1第五章第五章 习题课习题课 基本内容基本内容典型例题典型例题2 2009,Henan Polytechnic University2第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性3 2009,Henan Polytechnic University3第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性考试内容考试内容 向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
2、矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似变换、相似矩阵的概念及性质(相似同秩，但同秩未必相似)矩阵可相似对角化的充分必要条件(存在n个线形无关特征向量)及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形(只反映特征值的正负个数)和规范形(系数只能是1，-1，0)用正交变换(系数是特征值)和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考研大纲考研大纲4 2009,Henan Polytechnic University4第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性
3、相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性考试要求考试要求 1了解内积(交换线形分配)的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特（Schmidt）方法2了解标准正交基(不是对称阵的特权)、正交矩阵的概念，以及它们的性质3理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量4了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法考研大纲考研大纲5 2009,Henan Polytechnic University5第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向
4、量组的线性相关性5掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(n重特征值有n个线形无关的特征向量不同特征值所对应的特征向量必正交)6掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念(与其矩阵表示同秩)，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理(涉及到正负惯性系数)7掌握用正交变换化二次型为标准形的方法(仅此法能判定二次型形状),会用配方法化二次型为标准形8理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法(定义秩与E合同正惯性系数为零顺序主子式)考研大纲考研大纲6 2009,Henan Polytechnic University6第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课
5、习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义向量内积的定义及运算规律7 2009,Henan Polytechnic University7第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性8 2009,Henan Polytechnic University8第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义向量的长度具有下
6、列性质：向量的长度具有下列性质：向量的长度9 2009,Henan Polytechnic University9第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性10 2009,Henan Polytechnic University10第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义向量的夹角11 2009,Henan Polytechnic University11第五章第五章第五章第
7、五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义正交向量组的性质12 2009,Henan Polytechnic University12第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性施密特正交化方法施密特正交化方法13 2009,He
8、nan Polytechnic University13第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性第一步正交化第一步正交化14 2009,Henan Polytechnic University14第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性第二步单位化第二步单位化15 2009,Henan Polytechnic University15第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题
9、课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交16 2009,Henan Polytechnic University16第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正
10、交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换17 2009,Henan Polytechnic University17第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义方阵的特征值和特征向量18 2009,Henan Polytechnic University18第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性19 2009,Henan Polytechnic University19第五章第
11、五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性有关特征值的一些结论20 2009,Henan Polytechnic University20第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论21 2009,Henan Polyte
12、chnic University21第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵22 2009,Henan Polytechnic University22第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的
13、特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同23 2009,Henan Polytechnic University23第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似24 2009,Henan Polytechnic University24第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四
14、章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性实对称矩阵的相似矩阵25 2009,Henan Polytechnic University25第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义二次型26 2009,Henan Polytechnic University26第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性二次型与它的矩阵是一一对
15、应的二次型与它的矩阵是一一对应的27 2009,Henan Polytechnic University27第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义二次型的标准形28 2009,Henan Polytechnic University28第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性化二次型为标准形29 2009,Henan Polytechnic University29第五章
16、第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性30 2009,Henan Polytechnic University30第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义正定二次型31 2009,Henan Polytechnic University31第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线
17、性相关性惯性定理32 2009,Henan Polytechnic University32第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性注意注意33 2009,Henan Polytechnic University33第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性正定二次型的判定34 2009,Henan Polytechnic University34第五章第五章第五章第五章 习题课习题
18、课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性35 2009,Henan Polytechnic University35第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正二、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值
19、36 2009,Henan Polytechnic University36第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形37 2009,Henan Polytechnic University37第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题
20、课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、证明所给矩阵为正交矩阵38 2009,Henan Polytechnic University38第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性证明证明39 2009,Henan Polytechnic University39第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性40 2009,H
21、enan Polytechnic University40第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化二、将线性无关向量组化为正交单位向量组41 2009,Henan Polytechnic University41第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相
22、关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化42 2009,Henan Polytechnic University42第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性43 2009,Henan Polytechnic University43第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性44 2009,Henan Polytechnic Universi
23、ty44第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化45 2009,Henan Polytechnic University45第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性46 2009,Henan Polytechnic University46第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关
24、性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性47 2009,Henan Polytechnic University47第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特
25、征值；48 2009,Henan Polytechnic University48第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式49 2009,Henan Polytechnic University49第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量50 2009,Henan Polytechnic
26、 University50第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性51 2009,Henan Polytechnic University51第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性52 2009,Henan Polytechnic University52第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相
27、关性向量组的线性相关性53 2009,Henan Polytechnic University53第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值54 2009,Henan Polytechnic University54第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性55 2009,Henan Polytechnic University55第五章第五章
28、第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性56 2009,Henan Polytechnic University56第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解五、求方阵的特征多项式57 2009,Henan Polytechnic University57第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的
29、线性相关性58 2009,Henan Polytechnic University58第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解六、关于特征值的其它问题59 2009,Henan Polytechnic University59第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性方法一方法一60 2009,Henan Polytechnic University60第五章第五章第五章第五章
30、习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性方法二方法二61 2009,Henan Polytechnic University61第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性方法三方法三62 2009,Henan Polytechnic University62第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解6
31、3 2009,Henan Polytechnic University63第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性64 2009,Henan Polytechnic University64第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性七、判断方阵可否对角化解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值65 20
32、09,Henan Polytechnic University65第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性66 2009,Henan Polytechnic University66第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性67 2009,Henan Polytechnic University67第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线
33、性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性68 2009,Henan Polytechnic University68第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵69 2009,Henan Polytechnic University69第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性70 20
34、09,Henan Polytechnic University70第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性71 2009,Henan Polytechnic University71第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性72 2009,Henan Polytechnic University72第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线
35、性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性73 2009,Henan Polytechnic University73第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性74 2009,Henan Polytechnic University74第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性九、化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形式75 2009,Henan
36、 Polytechnic University75第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性76 2009,Henan Polytechnic University76第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性77 2009,Henan Polytechnic University77第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的
37、线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性78 2009,Henan Polytechnic University78第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性解解79 2009,Henan Polytechnic University79第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性80 2009,Henan Polytechnic University80第五章第五章第五章第五章 习题课习题课习题课习题课第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性