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1、系统仿真工具MATLAB 在仿真数值求解中的应用东北大学信息学院智能所 郝培锋MATLAB基本内容 MATLAB语言简介 程序设计基础 MATLAB数值线性代数计算 数值微积分及方程求解 系统工具箱(略)一一 MATLAB语言简介1 MATLAB具有交互式的语言环境，同时可以进行正常的程序化设计。2 最早的语言主要是为进行数值代数及矩阵计算设计的系统，随着系统计算和绘图功能的完善其在各领域得到极其广泛的应用。3 与其他语言有相应的接口，编程简单，函数功能齐全。4 各种高级算法、工具箱等，Simulink面向对象的程序设计仿真环境等。二二 MATLAB程序设计基础1 直接点击MATLAB图标可以
2、自动建立交互式语言环境，基本的赋值语句结构 赋值变量=赋值表达式 例：A=1,2,3;7,8,0 表示将一个矩阵赋给A 函数调用 返回变量列表=函数名(输入变量列表)例：x,y=meshgrid(-3:0.1:3,-2:0.2:2)生成x,y的一个平面分割，横坐标在-3与3，纵坐标在-2与2间步长都为0.1。二二 MATLAB程序设计基础2 简单的矩阵运算矩阵转置 B=A加减法运算(同阶矩阵)C1=A+B C2=A-B乘法运算(可相乘)C=A*B矩阵左除 C=AB 为AX=B的解矩阵右除 C=A/B 为XA=B的解矩阵翻转 C=fliplr(A),C=flipud(A),C=rot90(A)矩
3、阵乘方 C=A3矩阵点运算 C=A.*B C=A.B C=A./B二二 MATLAB程序设计基础3 MATLAB基本编程方式和程序语句循环结构 for 循环变量=s1:s2:s3 循环体语句组 end例:mysum=0;for i=1:1:100,mysum=mysum+i;end;mysum运行结果:mysum=5050相应的循环结构:while 逻辑变量 循环体语句组 end二二 MATLAB程序设计基础3 MATLAB基本编程方式和程序语句条件转移结构 if 逻辑变量 条件块语句组 end例:mysum=0;for m=1:1:1000,if(mysum10000),break;end
4、mysum=mysum+m;end;m,mysum运行结果:m mysum=142 10011二二 MATLAB程序设计基础4 MATLAB函数编写规范函数基本结构Function 返回变量表=函数名(输入变量表)%注释说明语段输入、返回变量格式检测函数体语句注意：函数中有两个默认的输入输出变量个数检测变量nargin和nargout。(详细例题请参阅相关指导书)三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算1 特殊矩阵的输入与表示零、幺和单位阵A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)随机元素阵、对角矩阵A=rand(m,n),B=diag(a1,an),或B
5、=diag(V)Vandermonde矩阵例：C=1,2,3,4,5;V=wander(C)结果：1 1 1 1 116 8 4 2 1 625 125 25 5 1三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算2 特殊矩阵特征参数运算矩阵行列式 A=2,4,0;-3,1,-12;0,-1,1,B=det(A)矩阵迹与秩 B=tr(A)C=rank(A)矩阵范数N=norm(A,选项n)，选项n对于范数的定义n=1 表示矩阵的1-范数，即A=maxn=2 矩阵的2-范数，即A=而 表示A的最大奇异值的平方。三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算3 矩阵的特征多项式、特征方程与特
6、征根特征多项式：构造sI-A并求其行列式 C(s)=det(sI-A)=sn+c1sn-1+cn-1s+cn 特征多项式函数 C=poly(A)如 A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;B=poly(A)B=1.000 -6.000 -72.000 -27.000特征值与特征向量：v,d=eig(A)v=0.7471 0.2998 0.2763v=0.7471 0.2998 0.2763 -0.6582 0.7075 0.3884 -0.6582 0.7075 0.3884 0.0931 0.6400 0.8791 0.0931 0.6400 0.8791d=-0.3884 0 0d=-0.
7、3884 0 0 0 12.1229 0 0 12.1229 0 0 0 -5.7345 0 0 -5.7345三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算4 矩阵的逆 非奇异矩阵求逆：B=inv(A)矩阵广义逆：任何矩阵A都有 B=Pinv(A)5 矩阵的非线性运算 面向矩阵元素的运算对象是矩阵的每一个元素。常用的一些面向元素的非线性函数有：abs()asin()acos()aqrt()log()log10()exp()real()imag()conj()sin()cos()round()floor()ceil()三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算面向矩阵元素的运算例：
8、A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;exp(A)ans=1.0e+003*0.0027 0.0074 0.0201 0.0546 0.1484 0.4034 1.0966 2.9810 0.0010 log(A)warning:log of zero.ans=三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算面向整个矩阵的非线性运算 矩阵指数的运算 expm(A),用Taylor级数展开eA,对矩阵进行运算：eA=I+A+1/2!A2+1/3!A3+1/m!Am+MATLAB还允许对矩阵求对数logm()、平方根sqrtm()和任意函数funm()。其中funm()是通过直接编写函数实现任
9、意函数的整个矩阵运算。例：funm(A,sin)得对A的sin值，而它是面向矩阵元素的函数。三三 MATLAB数值线性代数计算数值线性代数计算 还可以通过直接编写函数的方法求得A的sin函数值。例：function E=sinm1(A)E=zeros(size(A);F=A;k=1;while norm(E+F-E,1)0 E=E+F;F=-A2*F/(k+1)*(k+2);k=k+2;end E=sinm1(A)实验表明funm(A,sin)与E结果是完全一致的。四四 数值微积分及方程求解数值微积分及方程求解1 数值差分与积分运算数值差分计算 差分函数diff(),设向量yi,则处理后的新向
10、量为yi+1-yi,显然新的比原向量维数少1。例如:A=2,3,1;0,-10,5;-3,8,20;1,1,3;diff(A)ans=-2 -13 4 -3 18 15 -4 -7-17四四 数值微积分及方程求解数值微积分及方程求解数值积分算法如果定积分函数为:则积分调用格式：y,n=quad(F,a,b,tol)可以通过inline()函数定义该积分函数，如f=inline(1/sqrt(2*pi)*exp(-x.2/2),x);y,kk=quad(f,-8,8)y=0.99999997742635 kk=860 其中积分表示式为 通常用有限区间长代替无限积分区间四四 数值微积分及方程求解数
11、值微积分及方程求解通过编写函数实现数值积分Function y=myquad(x)y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.2/2);还是对上述的无限区间上的定积分有：format long;y,kk=quad(myquad,-8,8)y=0.99999997742635 kk=504也可以增大积分区间长进行计算y,kk=quad(myquad,-15,15)y=1.00000007062479 kk=860四四 数值微积分及方程求解数值微积分及方程求解多(双)重定积分数值求解一般形式的表示式基本调用格式：y=dblquad(函数名,xM,xm,yM,ym)例如：编写函数。Function
12、z=my2dfun(x,y global kk;kk=kk+1;z=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);Y=dblquad(my2dfun,-2,2,-1,1)Y=1.57456866245358 kk=1781四四 数值微积分及方程求解数值微积分及方程求解2 常微分方程数值解法四阶定步长Runge-Kutta法记tk时刻状态向量xk,定义四个附加向量：K1=h*f(tk,xk)K2=h*f(tk+h/2,xk+k1/2)K3=h*f(tk+h/2,xk+K2/2)K4=h*f(tk+h/2,xk+K3)因而tk+h时刻的四阶R-K数值解由下式得出：xk+1=xk+(K1+2K2+2K3+K4)/6四四 数值微积分及方程求解数值微积分及方程求解Runge-Kutta法函数Function tout,yout=rk4(odefile,tspan,y0)t0=tspan(1);th=tspan(end);if length(tspan)