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1、2.4二次函数与幂函数第二章函数概念与基本初等函数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.二次函数二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为 .零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.ax2bxc(a0)(m，n)知识梳理(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图像定义域(，)(，)值域单调性在x 上是减少的；在x 上是增加的在x 上是增加的；在x 上是减少的对称性函数的图像关于x 对称2.幂函数幂函数(1)幂函数的定
2、义一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常量.(2)常见的5种幂函数的图像yx 函数 特征性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇(3)常见的5种幂函数的性质1.幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.(3)当0时，yx在0，)上为增函数；当0时，yx在(0，)上为减函数.【知识拓展】题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是
3、否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数.()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(4)函数y 是幂函数.()(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.()基础自测12345612456答案解析312456答案解析3.已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内是减少的，则a的取值范围是 A.a3 B.a3C.a3 D.a3解解析析函数f(x)x24ax的图像是开口向上的抛物线，其
4、对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内是减少的可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.3几何画板展示题组三易错自纠题组三易错自纠4.幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于 A.3 B.4 C.5 D.6解析解析因为a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)22bc且abc0，则它的图像可能是 解析解析由abc0和abc知，a0，c0，由c0，排除C.解析12456答案36.已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_.解析124561答案3函数y2x26x3在1,1上是减少
5、的，ymin2631.题型分类深度剖析典典例例(1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_.题型一求二次函数的解析式师生共研师生共研答案解析解析解析依题意可设f(x)a(x2)21，又其图像过点(0,1)，4a11，(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.解析解析解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由 1，得a1，所以f(x)x22x.答案x22x求二次函数解析式的方法思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR，若
6、函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.解析解析解析设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.答案x22x1(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析解析解析由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，a 即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.答案2x24命题点命题点1二次函数的图像二次函数的图像典例典例 两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图像可能是 解析题型二二次函数的
7、图像和性质多维探究多维探究答案解析命题点命题点2二次函数的单调性二次函数的单调性典典例例 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是减少的，则实数a的取值范围是 A.3,0)B.(，3C.2,0 D.3,0答案若函数f(x)ax2(a3)x1的递减区间是1，)，则a_.引申探究引申探究解析解析由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.解析解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可.g(x)x23x1m在1,1上是减少的，g
8、(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).(，1)解析答案(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.解析解析2ax22x30在1,1上恒成立.当x0时，30，成立；解析答案几何画板展示解决二次函数图像与性质问题时要注意(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题
9、归结为求函数的最值或值域.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是 解析答案解析解析由A，C，D知，f(0)c0，从而由abc0，由B知f(0)c0，(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_.解析1或3答案解析解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.解析答案(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_.1.已知点 在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是
10、 A.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数题型三幂函数的图像和性质自主演练自主演练答案解析解得1，因此f(x)x1，易知该函数为奇函数.2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是A.dcbaB.abcdC.dcabD.abdc解析解解析析由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知abcd，故选B.答案3.若a0，则0.5a，5a，5a的大小关系是 A.5a5a0.5a B.5a0.5a5aC.0.5a5a5a D.5a5a0.5a解析答案(1)幂函数的形式是yx(R)，其
11、中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.思维升华思维升华典典例例 (12分)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用思想方法思想方法思想方法指导规范解答思思想想方方法法指指导导 研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确
12、参数对图像的影响，进行分类讨论.课时作业1.若函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上 A.先减少后增加 B.先增加后减少C.是减少的 D.是增加的基础保分练12345678910111213141516答案2.(2018江西九江七校联考)若幂函数f(x)(m24m4)在(0，)上为增函数，则m的值为 A.1或3 B.1C.3 D.2答案12345678910111213141516解析解析由题意得m24m41，m26m80，解得m1.解析3.已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是 答案12345678910111213141516解析4.已
13、知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是 A.0，)B.(，0C.0,4 D.(，04，)解析答案12345678910111213141516解解析析由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图像观察可知0a4.5.已知二次函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)C.f(x1)f(x2)D.与a值有关解析答案12345678910111213141516又依题意，得x10，又x1x20，当x1，x2在对称轴的两侧时，当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)
14、f(x2).综上，f(x1)f(x2).6.若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是 A.(，2)B.(2，)C.(6，)D.(，6)解析答案12345678910111213141516解解析析不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.解析答案12345678910111213141516PRQ答案123456789101112131415168.已知幂函数f(x)，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_.(3,5)解析解析幂函数f(x)是减少的，定义
15、域为(0，)，解析解得3a5.解析答案12345678910111213141516解得4a4.9.对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_.(4,4)10.若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_.解解析析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a，)，a1.解析12345678910111213141516(0,1答案故0a1.11.已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_.解析解析f(x)(xa)2a2a1，当a1时，f(x)maxf(1)a2，即a2；当0a1时，f(x)maxf(
16、a)a2a12，此时无解；当a0时，f(x)maxf(0)1a2，a1.综上，a1或a2.解析1或2答案1234567891011121314151612.已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；解解当a2时，f(x)x23x3，x2,3，解答12345678910111213141516(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值.解答f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意.12345678910111213141516技能提升练答案12345678910111213141516解析13.已知函数f(x)x2bx，则“b
17、0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析12345678910111213141516答案14.当x(1,2)时，不等式x2mx40，bR，cR).(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，解答12345678910111213141516解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围.解答12345678910111213141516解解由题意得，f(x)x2bx，原命题等价于1x2b
18、x1在(0,1上恒成立，2b0.故b的取值范围是2,0.本课结束9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。2023/2/19 2023/2/19 Sunday,February 19,202310、低头要有勇气，抬头要有低气。2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 2/19/2023 10:38:56 AM11、人总是珍惜为得到。2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 Feb-2319-Feb-2312、人乱于心，不宽余请。2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 Sunday,February 19,202313、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 2/19/202314、抱最大的希望，作最大的努力。19 二月 20232023/2/19 2023/2/19 2023/2/1915、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。二月 232023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 2/19/202316、业余生活要有意义，不要越轨。2023/2/19 2023/2/19 19 February 202317、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19 2023/2/19谢谢大家谢谢大家