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1、3.1 变化率与导数教学目标教学目标 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵 教学重点：教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵变化率问题变化率问题问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率问题问题2 2 高台跳水运动中，运动员相对高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是于水面的高度是引导：引导：1这一现象中，哪些量在改变？这一现象中，哪些量在改变？2 变量的变化情况？变量的变化情况？3 引入气球平均膨胀率的概念引入气球平均膨胀率的概念当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0)=0.62 r(0)=0.62 当空气容量从加时，半径增加了当空
2、气容量从加时，半径增加了 r(r()r(r()=0.)=0.1这一现象中，哪些量在改变？这一现象中，哪些量在改变？2 变量的变化情况？变量的变化情况？3 引入气球平均膨胀率的概念引入气球平均膨胀率的概念探究活动探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率出函数的平均变化率设某个变量设某个变量 f f 随随 x x 的变化而变化，的变化而变化，从从 x x 经过经过 x x，量量 f f 的改变量为的改变量为量量 f f 的平均变化率为的平均变化率为平平均均速速度度反反
3、映映了了汽汽车车在在前前10秒秒内内的的快快慢慢程程度度，为为了了了了解解汽汽车车的的性性能能，还还需需要要知知道道汽汽车车在在某某一一时时刻刻的的速速度度瞬时速度瞬时速度2 瞬时速度瞬时速度 平均速度的概念平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为这段时间内汽车的平均速度为 已已知知物物体体作作变变速速直直线线运运动动，其其运运动动方方程程为为ss(t)(表表示示位位移移，t 表表示示时时间间)，求求物物体体在在 t0 时刻的速度时刻的速度 如如图图设设该该物物体体在在时时刻刻t0的的位位置置是是(t0)OA0，在在时时刻刻t0+D Dt 的的位位置置是是s(t0+D Dt)OA1，则则从从
4、t0 到到 t0+D Dt 这这段段时时间间内内，物体的物体的 位移是位移是 在时间段在时间段(t0+D Dt)t0=D Dt 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为:要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是物，就是物体在体在t 到到 t+D Dt 这段时间内，当这段时间内，当 D Dt0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即 例例 物体作自由落体运动，物体作自由落体运动，运动方程为：运动
5、方程为：，其中位移，其中位移 单单 位位 是是 m，时时 间间 单单 位位 是是 s，g=9.8m/s2 求求：(1)物物 体体 在在 时时 间间 区区 间间 2，2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物物体体在在时时间间区区间间2，2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.(1)将将 D Dt=0.1代入上式，得代入上式，得 (2)将将 D Dt=0.01代入上式，得代入上式，得 平均速度平均速度 的极限为的极限为:(3)当当当当时时间间间间隔隔D Dt 逐逐渐渐变变小小时时,平平均均速速度度 就就越越接接近近t0=2(s)时的时的瞬时速度瞬时速
6、度v=19.6(m/s)即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于19.6(m/s).要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是物，就是物体在体在t 到到 t+D Dt 这段时间内，当这段时间内，当 D Dt0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即瞬时速度瞬时速度高台跳水高台跳水tt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0
7、.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049高台跳水高台跳水导数的概念导数的概念一般地，函数一般地，函数 y y=f f(x x)在点在点x x=x x0 0处的瞬时变化处的瞬时变化率是率是我们称它为函数我们称它为函数 y=f(x)在点在点x x=x x0 0处的导数，处的导数，记为记为 或或，即，即导数导数的概念的概念也可记作也可记作 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x x0 0 处处不不可导可导。设函数设函数 y y=f f(x x
8、)在点在点 x x=x x0 0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x x 在在 x x0 0 处取得增量处取得增量 x x(点点 x x0 0+x x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时，相应相应地函数地函数 y y 取得增量取得增量 y y=f f(x x0 0+x x)-f-f(x x0 0)，若，若y y与与x x之比当之比当 x x00的极限存在，则称函数的极限存在，则称函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处处可导可导 ，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处的处的导数，导数，记为记为 。即即说说明：明：
9、（1）函数）函数在点在点处处可可导导，是指，是指时时，有极限如果有极限如果不存在极限，就不存在极限，就说说函数在函数在处处不可不可导导，或，或说说无无导导数数点点是自是自变变量量x在在处处的改的改变变量，量，而，而是函数是函数值值的改的改变变量，可以是零量，可以是零（2）由由导导数的定数的定义义可知，求函数可知，求函数在在处处的的导导数的步数的步骤骤:（1）求函数的增量）求函数的增量:；（2）求平均）求平均变变化率化率:；（3）取极限，得）取极限，得导导数数:例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原
10、油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中，秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位：），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢?同理，同理，运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。你能借助函数的图象说说平均变化率你
11、能借助函数的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数图象中画出来图象中画出来割线割线AB的的变化情况的的变化情况在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？3.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义Pxy0TPxyoT的切线方程为的切线方程为即即 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正
12、反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替。大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可看来看，大致可看作作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此点某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即的切线近似代替，即“以直代曲以直代曲”（以简单（以简单的对象刻画复杂的对象）的对象刻画复杂的对象）1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ，的几何意义的几何意义.(2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别
13、在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？(2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡
14、峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2)曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度，大于大于上升上升递增递增上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速递减递减下降下降小于小于下降下降 2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）
15、随时间）随时间t（单位：（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1)血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率,就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 抽象概括抽象
16、概括：是确定的数是确定的数是的函数是的函数 导函数的概念：导函数的概念：t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合）切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数)2.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象小魔方站作品小魔方
17、站作品 盗版必究盗版必究语文语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用谢谢您下载使用！附赠附赠 中高考状元学习方法中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一
18、些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班
19、主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自
20、信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心 班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因
21、，并马上拿出解决办法。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。上海上海20062006高考高考理科理科状元状元-武亦武亦文文武亦文武亦文 格致中学
22、理科班学生格致中学理科班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文高考成绩：语文127127分分 数学数学142142分分 英语英语144144分分 物理物理145145分分 综合综合2727分分 总分总分585585分分 “一分也不能少一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习，每我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上天放学回家看半小时报纸，晚上1010：3030休息，感觉很轻松地度过了三年高休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。中学习。”当得知自己的高考成绩后，当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，格致
23、中学的武亦文遗憾地说道，“平平时模拟考试时，自己总有一门满分，时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。这次高考却没有出现，有些遗憾。”坚持做好每个学习步骤坚持做好每个学习步骤 武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。走，保证课堂效率。”武亦文介绍，武亦文介绍，“班主班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己
24、所有精老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。励学生注重学习的过程。”上海高考文科状元上海高考文科状元-常方舟常方舟曹杨二中高三曹杨二中高三(14)(14)班学生班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：北京高考志愿：北京 大学中文系大学中文系高考成绩：语文高考成绩：语文121121分数学分数学146146分分 英语英语146146分历史分历史134134分分 综合综合2828分总分分总分575575分分 (另
25、有附加分另有附加分1010分分)“我对竞赛题一样发怵我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚高中三年，我每天晚上都是上都是10:3010:30休息，这个生活习惯雷打不动。休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是早晨总是6:156:15起床，以保证八小时左右的睡起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会眠。平时功课再多再忙，我也不会开夜车开夜车。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三高三阶段，有的同学每天
26、学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。就算完。“用好课堂用好课堂4040分钟最重要。我的经验是，哪怕分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的正在于试题多为基础题，对上了自己的“口口味味”。