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1、控制工程基础n4.频率特性分析频率特性分析n4.1 频率特性的基本概念n4.2 典型环节频率特性n4.3 系统的频率特性(Nyquist图,Bode图绘制)n4.4 频域性能指标及其与时域性能指标的关系n4.5 频率特性实验法估计系统的数学模型频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法。研究系统特性的方法。研究系统特性的方法。研究系统特性的方法。频率特性包括频率特性包括频率特性包括频率特性包括幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性和和和和相频特性相频特性相频
2、特性相频特性，它在频率域，它在频率域，它在频率域，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。统的特性。统的特性。统的特性。频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应是指系统对正弦输入的率响应是指系统对正弦输入的率响应是指系统对正弦输入的率响应是指系统对正弦输入的稳态输出稳态输出稳态输出稳态输出。通过本章的学习将会看到，频
3、率特性和频率响应通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。是两个联系密切但又有区别的概念。是两个联系密切但又有区别的概念。是两个联系密切但又有区别的概念。4.频率特性分析频率特性分析控制工程基础频率特性分析方法具有如下特点：频率特性分析方法具有如下特点：n这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。应来获得系统的动态特性。n频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对
4、那些不能或难于用分析方法建立数学获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。模型的系统或环节，具有非常重要的意义。n不需要解闭环特征方程。由不需要解闭环特征方程。由开环频率特性开环频率特性即可研即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。4.频率特性分析频率特性分析控制工程基础4.1频率特性的基本概念4.1.1 频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义 系统在系统在系统在系统在正弦函数输入正弦函数输入正弦函数输入正弦函数输入作用下的作用下的作用下的作用下的稳态响应稳态响应稳态响应稳态响
5、应称为频率响应。称为频率响应。称为频率响应。称为频率响应。n n线性系统传递函数为线性系统传递函数为线性系统传递函数为线性系统传递函数为G G(s s)，输入正弦信号：，输入正弦信号：，输入正弦信号：，输入正弦信号：x x(t t)=)=X Xsinsin t t,n n则系统的稳态输出即为频率与输入的正弦信号相同，只则系统的稳态输出即为频率与输入的正弦信号相同，只则系统的稳态输出即为频率与输入的正弦信号相同，只则系统的稳态输出即为频率与输入的正弦信号相同，只是幅值和相位与输入不同。是幅值和相位与输入不同。是幅值和相位与输入不同。是幅值和相位与输入不同。控制工程基础线性系统在正弦函数输入下的稳
6、态响应记为：线性系统在正弦函数输入下的稳态响应记为：y(t)=Y()sin t+()（4-1）研究频率响应的意义研究频率响应的意义：当信号频率：当信号频率 变化时，幅值变化时，幅值Y()与相位与相位差差()也随之变化。也随之变化。系统的幅频特性定义：系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的输出信号与输入信号的幅值之比幅值之比，记，记为：为：（4-2）它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。4.1.1 频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义频
7、率特性及物理意义控制工程基础幅频特性幅频特性A()和相频特性和相频特性()统称为系统的频率特性统称为系统的频率特性，记作，记作G(j)。频率特性频率特性G(j)是一个以频率是一个以频率 为自变量的复变函数，为自变量的复变函数，它是一个矢量。如图它是一个矢量。如图4-24-2所示，矢量所示，矢量G(j )的模的模|G(j)|即为系即为系统的幅频特性统的幅频特性A()；矢量矢量(j)与正实轴的夹角与正实轴的夹角G(j)即为即为系统的相频特性系统的相频特性()。因此，频率特性按复变函数的指数表。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，记为：达形式，记为：(4-3)系统的相频特性定义系统的相频特性定义
8、：输出信号与输入信号的：输出信号与输入信号的相位之差相位之差随频随频率率 的变化，记为的变化，记为()。4.1.1 频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义控制工程基础(4-4)(4-4)式中式中式中式中Re(Re()是是是是G G(j(j)的实部，称为的实部，称为的实部，称为的实部，称为实频特性实频特性实频特性实频特性；ImIm()是是是是G G(j(j)的虚的虚的虚的虚部，称为部，称为部，称为部，称为虚频特性虚频特性虚频特性虚频特性。在机械测试技术中，实频特性和虚频特。在机械测试技术中，实频特性和虚频特。在机械测试技术中，实频特性和虚频特。在机械测试技术中，
9、实频特性和虚频特性又分别称为性又分别称为性又分别称为性又分别称为同相分量和异相分量同相分量和异相分量同相分量和异相分量同相分量和异相分量。如图如图4-24-2，显然有：，显然有：(4-5)(4-5)由于频率特性由于频率特性G(j)是一个复变量，因此它还可以写成实部是一个复变量，因此它还可以写成实部和虚部之和，即：和虚部之和，即：控制工程基础4.1.1 频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义例例4-1 4-1 机械系统如图机械系统如图4-34-3所示：所示：弹簧刚度系数弹簧刚度系数k=10N/m，阻尼阻尼系数系数C=10Ns/m,输入幅值为输入幅值为 1N的正弦
10、力，求两种频率下的正弦力，求两种频率下即：即：f(t)=sint和和f(t)=sin100t时，时，系统的位移系统的位移y(t)的稳态输出。的稳态输出。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为控制工程基础4.1.1 频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义频率特性及物理意义系统的输出为系统的输出为式中式中 T=c/k=1（s），），K=1/k=1/10=0.1(m/N)系统的传递函数系统的传递函数式中式中a、b、d为待定系数。求出其值，并取拉氏反变换得：为待定系数。求出其值，并取拉氏反变换得：控制工程基础控制工程基础系统的幅频特性为：系统的幅频特性为：系统的幅频特性为：系统的幅频
11、特性为：系统的相幅频特性为：系统的相幅频特性为：当当当当 =100 =100 rad/srad/s时时时时 ()=-arctan100-89.4=-arctan100-89.4 所以所以所以所以f f(t t)=sin100)=sin100t t时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。位滞后量也随频率的增高而加大。位滞后
12、量也随频率的增高而加大。位滞后量也随频率的增高而加大。所以当所以当f(t)sint（即（即 =1=1）时稳态位移输出为时稳态位移输出为 控制工程基础系统频率特性系统频率特性系统频率特性系统频率特性频率特性频率特性G(j)的物理意义的物理意义(1)(1)(1)(1)频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现能力复现能力复现能力复现能力”或或或或“跟踪能力跟踪能力跟踪能力跟踪能力”。在频率较低时在频率较低时在频率较低时在频率较低时,T T11时，输入信号基本上可以按原比例在输
13、出端时，输入信号基本上可以按原比例在输出端时，输入信号基本上可以按原比例在输出端时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。不能传递出去。不能传递出去。不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，对于实际中的系统，虽然形式不同，对于实际中的系统，虽然形式不同，对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的但一般都有这样的但一般都有这样的但一般都有这样的“低通低通低通低通”滤波及相位滞后作用。滤波及相位滞后作用
14、。滤波及相位滞后作用。滤波及相位滞后作用。控制工程基础(2)(2)(2)(2)频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。件。件。件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号些储能元件，它们在能量交换时，对
15、不同频率的信号使系统显示出不同的特性。使系统显示出不同的特性。使系统显示出不同的特性。使系统显示出不同的特性。(3)(3)(3)(3)频率特性反映系统本身的特点频率特性反映系统本身的特点频率特性反映系统本身的特点频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数，系统元件的参数，系统元件的参数，系统元件的参数(如机械系统的如机械系统的如机械系统的如机械系统的k k、c c、mm)给定以后，频率特性就完全确给定以后，频率特性就完全确给定以后，频率特性就完全确给定以后，频率特性就完全确定，系统随定，系统随定，系统随定，系统随 变化的规律也就完全确定。就是说，变化的规律也就完全确定。就是说，变化的规律也就完
16、全确定。就是说，变化的规律也就完全确定。就是说，系系系系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关。外界因素无关。外界因素无关。外界因素无关。频率特性频率特性G(j)的物理意义的物理意义 控制工程基础4.1.2 频率特性的求法频率特性的求法频率特性的求法有三种频率特性的求法有三种根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，
17、求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正代入，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正代入，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正代入，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的复数比即得系统的频率特性。弦的复数比即得系统的频率特性。弦的复数比即得系统的频率特性。弦的复数比即得系统的频率特性。根据传递函数求取根据传递函数求取根据传递函数求取根据传递函数求取，将传递函数，将传递函数，将传递函数，将传递函数G G(s s)中的中的中的中的s s用用用用j j 替代替代替代替代 ，即为频率特性，即为频率特性，即为频率特性，即为频率特性G G(j(j)。通过实验测得。通过实验测得。通过实验测得。通过实验测
18、得。控制工程基础例例4-1 4-1 机械系统如图机械系统如图4-34-3所示：所示：弹簧刚度系数弹簧刚度系数k=10N/m，阻尼阻尼系数系数C=10Ns/m,输入幅值为输入幅值为 1N的正弦力，求两种频率下的正弦力，求两种频率下即：即：f(t)=sint和和f(t)=sin100t时，时，系统的位移系统的位移y(t)的稳态输出。的稳态输出。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为控制工程基础这里仅介绍根据传递函数求取频率特性。这里仅介绍根据传递函数求取频率特性。令令s=j 得得系统的频率特性系统的频率特性式中式中 T=c/k=1（s）系统的传递函数系统的传递函数系统的实频特性为系统的实频特性为
19、系统的虚频特性为系统的虚频特性为控制工程基础系统的幅频特性为系统的幅频特性为系统的相幅频特性为系统的相幅频特性为当当 =1时，时，G(j)的模和幅角为：的模和幅角为：控制工程基础当当当当 =100 =100 rad/srad/s时时时时 ()=-arctan100-89.4=-arctan100-89.4 所以所以所以所以f f(t t)=sin100)=sin100t t时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为所以当所以当f(t)sint时稳态位移输出为时稳态位移输出为 控制工程基础以上分析可归纳如下以上分析可归纳如下以上分析可归纳如下以上分析可归纳如下 (1
20、)(1)(1)(1)线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，即：即：即：即：G G(j(j)=)=G G(s s)|)|s s=j=j (4-21)(4-21)系统的频率特性就是其传递函数系统的频率特性就是其传递函数系统的频率特性就是其传递函数系统的频率特性就是其传递函数G G(s s)中复变量中复变量中复变量中复变量s s=+j+j 在在在在 =0=0时的特殊情况。时的特殊情况。时的特殊情况。时的特殊情况。(2)(2)(2)(2)若系
21、统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位不同。不同。不同。不同。显然，若改变输入信号的频率，系统时域响应的稳态值也会显然，若改变输入信号的频率，系统时域响应的稳态值也会显然，若改变输入信号的频率，系统时域响应的稳态值也会显然，若改变输入
22、信号的频率，系统时域响应的稳态值也会发生相应的变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频发生相应的变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频发生相应的变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频发生相应的变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频率变化的情况。率变化的情况。率变化的情况。率变化的情况。控制工程基础(3)(3)(3)(3)系统频率特性与传递系统频率特性与传递系统频率特性与传递系统频率特性与传递函数、微分方程、脉冲响应函数、微分方程、脉冲响应函数、微分方程、脉冲响应函数、微分方程、脉冲响应函数之间都存在内在的联系。函数之间都存在内在的联系。函数之间都存在内在的联系。函数之间都存在内在
23、的联系。它们之间可以相互转换，如它们之间可以相互转换，如它们之间可以相互转换，如它们之间可以相互转换，如图图图图4-54-54-54-5所示。因此，频率特所示。因此，频率特所示。因此，频率特所示。因此，频率特性也和微分方程、传递函数、性也和微分方程、传递函数、性也和微分方程、传递函数、性也和微分方程、传递函数、脉冲响应函数一样，脉冲响应函数一样，脉冲响应函数一样，脉冲响应函数一样，可以表可以表可以表可以表征系统的动态特性，是系统征系统的动态特性，是系统征系统的动态特性，是系统征系统的动态特性，是系统数学模型的一种表达形式。数学模型的一种表达形式。数学模型的一种表达形式。数学模型的一种表达形式。
24、这就是利用频率特性来研究这就是利用频率特性来研究这就是利用频率特性来研究这就是利用频率特性来研究系统动态特性的理论依据。系统动态特性的理论依据。系统动态特性的理论依据。系统动态特性的理论依据。控制工程基础以上分析可归纳如下以上分析可归纳如下以上分析可归纳如下以上分析可归纳如下 4.2.1 频率特性表示法频率特性表示法频率特性表示法频率特性表示法(1)(1)(1)(1)极坐标图极坐标图极坐标图极坐标图(奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图NyquistNyquist)频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或称为奈频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或称为奈频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或
25、称为奈频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或称为奈奎斯特图。奎斯特图。奎斯特图。奎斯特图。由于频率特性由于频率特性由于频率特性由于频率特性G G(j(j)是是是是 的复变函数，故可在复的复变函数，故可在复的复变函数，故可在复的复变函数，故可在复平面平面平面平面 G G(j(j)上表示。上表示。上表示。上表示。频率特性可由复平面上频率特性可由复平面上频率特性可由复平面上频率特性可由复平面上相应的矢量相应的矢量相应的矢量相应的矢量G G(j(j)描述，描述，描述，描述，如图如图如图如图4-64-64-64-6所示。所示。所示。所示。4.2 典型环节频率特性控制工程基础当当当当 从从从从00变化时，
26、变化时，变化时，变化时，G G(j(j)矢量端点的轨迹即为频率特性的矢量端点的轨迹即为频率特性的矢量端点的轨迹即为频率特性的矢量端点的轨迹即为频率特性的极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图。这里极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图。这里极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图。这里极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图。这里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角
27、度为负。图矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图中用箭头标明中用箭头标明中用箭头标明中用箭头标明 从小到大的方向。从小到大的方向。从小到大的方向。从小到大的方向。主要缺点主要缺点主要缺点主要缺点:不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。用，绘制较麻烦。用，绘制较麻烦。用，绘制较麻烦。极坐标图的优点极坐标图的优点
28、极坐标图的优点极坐标图的优点:在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。系统的频率特性。系统的频率特性。系统的频率特性。控制工程基础(1)(1)(1)(1)极坐标图极坐标图极坐标图极坐标图(奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯
29、特图NyquistNyquist)n绘制频率特性绘制频率特性Nyqusit图的步骤图的步骤 1 1）在系统传递函数中令）在系统传递函数中令s=j，写出系统频率特性，写出系统频率特性G(j)；2 2）写出系统的幅频特性写出系统的幅频特性|G(j)|、相频特性、相频特性G(j)、实频、实频特性特性Re()和虚频特性和虚频特性Im()；3 3）令）令=0，求出，求出=0时的时的|G(j)|、G(j)、Re()、Im()；4 4）若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。令交点。令Re()=0，求出求出，然后代入，然后代入 Im()的表达式即
30、的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令求得矢端轨迹与虚轴的交点；令Im()=0 ，求出求出，然后，然后代入代入Re()的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。(1)(1)(1)(1)极坐标图极坐标图极坐标图极坐标图(奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图NyquistNyquist)控制工程基础5 5 5 5）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求=n时的时的时的时的|G G(j(j)|)|、G G(j(j)、Re(Re()、ImIm()。若此环节（
31、或系统）的若此环节（或系统）的若此环节（或系统）的若此环节（或系统）的阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比00 0.7070.707，则还要计算谐振频率，则还要计算谐振频率，则还要计算谐振频率，则还要计算谐振频率 r 、谐振峰值谐振峰值谐振峰值谐振峰值MMr r及及及及=r时的时的时的时的Re(Re()、ImIm()。6 6 6 6）在）在）在）在00 的范围内再取若干点分别求的范围内再取若干点分别求的范围内再取若干点分别求的范围内再取若干点分别求|G G(j(j)|)|、G G(j(j)、ReRe()、ImIm()；8 8 8 8）在复平面）在复平面）在复平面）在复平面 G G(j(j)中，标明实轴、原
32、点、虚轴和复平面中，标明实轴、原点、虚轴和复平面中，标明实轴、原点、虚轴和复平面中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称名称名称名称 G G(j(j)。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按按按按 增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出出出出 增大的方向。增大的方向。增大的方向。增大的方向。7 7 7 7）令）令）令）令=，求出，求出，求
33、出，求出|G G(j(j)|)|、G G(j(j)、ReRe()、ImIm()；(1)(1)(1)(1)极坐标图极坐标图极坐标图极坐标图(奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图NyquistNyquist)控制工程基础n绘制频率特性绘制频率特性Nyqusit图的步骤图的步骤（2 2 2 2）波德图（）波德图（）波德图（）波德图（BodeBode图）图）图）图）波德图也称为对数频率特性图。波德图也称为对数频率特性图。波德图也称为对数频率特性图。波德图也称为对数频率特性图。n n用用用用两个坐标图两个坐标图两个坐标图两个坐标图分别表示幅频特性和相频特性。分别表示幅频特性和相频特性。分别表示幅频特
34、性和相频特性。分别表示幅频特性和相频特性。n n幅频特性图的纵坐标幅频特性图的纵坐标幅频特性图的纵坐标幅频特性图的纵坐标(线性分度线性分度线性分度线性分度)表示了幅频特性表示了幅频特性表示了幅频特性表示了幅频特性幅值的分贝值，为幅值的分贝值，为幅值的分贝值，为幅值的分贝值，为L(L()=20lg|G(j)=20lg|G(j)|)|，单位是单位是单位是单位是分贝分贝分贝分贝(dBdB)；横坐标横坐标横坐标横坐标(对数分度对数分度对数分度对数分度)表示表示表示表示 值，单位是值，单位是值，单位是值，单位是弧度弧度弧度弧度/秒秒秒秒或或或或秒秒秒秒-1-1-1-1(rad/srad/s或或或或s s
35、-1-1 )。n n相频特性图的纵坐标相频特性图的纵坐标相频特性图的纵坐标相频特性图的纵坐标(线性分度线性分度线性分度线性分度)表示表示表示表示G(jG(j)的相位，的相位，的相位，的相位，单位是单位是单位是单位是度度度度；横坐标（同上）。；横坐标（同上）。；横坐标（同上）。；横坐标（同上）。n n这两个图分别叫做这两个图分别叫做这两个图分别叫做这两个图分别叫做对数幅频特性图对数幅频特性图对数幅频特性图对数幅频特性图和和和和对数相频特对数相频特对数相频特对数相频特性图性图性图性图，统称为，统称为，统称为，统称为频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图，又
36、称为，又称为，又称为，又称为波德波德波德波德图（图（图（图（BodeBode）。控制工程基础1 1 1 1）坐标轴分度）坐标轴分度）坐标轴分度）坐标轴分度（2 2 2 2）波德图（）波德图（）波德图（）波德图（BodeBode图）图）图）图）控制工程基础n n对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性2 2 2 2）渐近线的斜率）渐近线的斜率）渐近线的斜率）渐近线的斜率 绘制对数幅频特性图时，一般常只画出它的渐绘制对数幅频特性图时，一般常只画出它的渐绘制对数幅频特性图时，一般常只画出它的渐绘制对数幅频特性图时，一般常只画出它的渐近线。当要求精确时，再加以修正。所以在画渐近近线。当要求精确
37、时，再加以修正。所以在画渐近近线。当要求精确时，再加以修正。所以在画渐近近线。当要求精确时，再加以修正。所以在画渐近线之前，先要确定渐近线的斜率。线之前，先要确定渐近线的斜率。线之前，先要确定渐近线的斜率。线之前，先要确定渐近线的斜率。渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时，渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时，渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时，渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时，L L()变化的分贝数来表示的。在对数坐标图上，若变化的分贝数来表示的。在对数坐标图上，若变化的分贝数来表示的。在对数坐标图上，若变化的分贝数来表示的。在对数坐标图上，若 2=2 1。则。则。则。则 1和
38、和和和 2两点间的距离就称为两点间的距离就称为两点间的距离就称为两点间的距离就称为“倍频程倍频程倍频程倍频程”（octaveoctave），），），），或简写成或简写成或简写成或简写成octoct。若。若。若。若 2=10 1，则，则，则，则 1 1和和和和 2 2两点间的距离就称为两点间的距离就称为两点间的距离就称为两点间的距离就称为“十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程”（decadedecade）或简写或简写或简写或简写成成成成decdec。倍频程和十倍频程的含义也可从倍频程和十倍频程的含义也可从倍频程和十倍频程的含义也可从倍频程和十倍频程的含义也可从图图图图4-74-74-74-7看出。看
39、出。看出。看出。控制工程基础n n对数幅频特性对数幅频特性 若频率增高到一倍，若频率增高到一倍，L()衰减衰减6 6分贝，则斜率为分贝，则斜率为“每倍频程负每倍频程负6 6分贝分贝”，记为，记为“-6dB/oct”。相似地，相似地，若频率增高到十倍，若频率增高到十倍，L()衰减衰减2020分贝，则称斜率分贝，则称斜率为为“每十倍频程负每十倍频程负2020分贝分贝”，记为，记为“-20dB/dec”。2 2 2 2）渐近线的斜率渐近线的斜率渐近线的斜率渐近线的斜率控制工程基础n对数幅频特性对数幅频特性设某环节的对数幅频特性为设某环节的对数幅频特性为 L()=-20lg 则频率则频率=1和和10
40、1时的对数幅值为：时的对数幅值为：L()=L(1)=-20lg 1 L()=L(10 1)=-20lg 1-20lg10=-20lg 1-20即该对数幅频特性渐近线的斜率为即该对数幅频特性渐近线的斜率为-20dB/oct。控制工程基础n对数幅频特性对数幅频特性2 2 2 2）渐近线的斜率渐近线的斜率渐近线的斜率渐近线的斜率3 3 3 3）对数幅频特性曲线的渐近线）对数幅频特性曲线的渐近线）对数幅频特性曲线的渐近线）对数幅频特性曲线的渐近线设某环节的幅频特性为设某环节的幅频特性为设某环节的幅频特性为设某环节的幅频特性为这一环节的对数幅频特性曲线这一环节的对数幅频特性曲线这一环节的对数幅频特性曲线
41、这一环节的对数幅频特性曲线（4-224-22）渐近线可求得如下：渐近线可求得如下：渐近线可求得如下：渐近线可求得如下：当当当当 1/1/1/T T时，时，时，时，1 1 1 1与与与与T T 2 2 2相比可以忽略，故在这一相比可以忽略，故在这一相比可以忽略，故在这一相比可以忽略，故在这一频段的对数幅频特性，可近似的取为频段的对数幅频特性，可近似的取为频段的对数幅频特性，可近似的取为频段的对数幅频特性，可近似的取为即即(4-24)显然，这是一条斜率为显然，这是一条斜率为显然，这是一条斜率为显然，这是一条斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线。的直线。的直线。的直线。因此，（因此，（因
42、此，（因此，（4-224-224-224-22）所示的对数幅频特性，可用式）所示的对数幅频特性，可用式）所示的对数幅频特性，可用式）所示的对数幅频特性，可用式（4-234-234-234-23）和（）和（）和（）和（4-244-244-244-24）所示的两条直线近似。这两条）所示的两条直线近似。这两条）所示的两条直线近似。这两条）所示的两条直线近似。这两条直线就是所求的渐近线。直线就是所求的渐近线。直线就是所求的渐近线。直线就是所求的渐近线。3 3 3 3）对数幅频特性曲线的渐近线）对数幅频特性曲线的渐近线）对数幅频特性曲线的渐近线）对数幅频特性曲线的渐近线控制工程基础4 4 4 4）转角频
43、率）转角频率）转角频率）转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率 T T T T。转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得。转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得。转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得。转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得。求得求得求得求得其实，系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率，其实，系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率，其实，系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率，其实，系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率，就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自就是系统各组成环节
44、的时间常数的倒数或无阻尼自就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自然频率。对数幅频特性曲线的渐近线的斜率，在转然频率。对数幅频特性曲线的渐近线的斜率，在转然频率。对数幅频特性曲线的渐近线的斜率，在转然频率。对数幅频特性曲线的渐近线的斜率，在转角频率处要发生突变，所以在绘制波德图时要确定角频率处要发生突变，所以在绘制波德图时要确定角频率处要发生突变，所以在绘制波德图时要确定角频率处要发生突变，所以在绘制波德图时要确定各个转角频率。各个转角频率。各个转角频率。各个转角频率。控制工程基础5 5）幅值穿越频率）幅值穿越频率对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处
45、的频率称为幅对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率称为幅值穿越频率或增益交界频率值穿越频率或增益交界频率,用用 c c表示。表示。穿越频率可通过求解由高频段渐近线方程和穿越频率可通过求解由高频段渐近线方程和L()=0组成的联立方程而得到。如式（组成的联立方程而得到。如式（4-22)4-22)所示的对数所示的对数幅频特性曲线的幅值穿越频率幅频特性曲线的幅值穿越频率,可解联立方程可解联立方程 L()=20lg5-20lgT L()=0得到得到 c=5/T对数相频特性图的横坐标轴的分度与对数幅频特性对数相频特性图的横坐标轴的分度与对数幅频特性图的相同，是按频率图的相同，是按频率 的对数分度；对数相频
46、特性图的对数分度；对数相频特性图的的纵坐标轴是按相位的度数或弧度数线性分度的纵坐标轴是按相位的度数或弧度数线性分度的。n对数相频特性对数相频特性对数相频特性是指频率特性函数的相位随对数相频特性是指频率特性函数的相位随 而变化而变化的关系。的关系。()=G(j)相位穿越频率或相位交界频率（相位穿越频率或相位交界频率（g）对数相频特性曲线与对数相频特性曲线与-180-180线相交处的频率，或者线相交处的频率，或者说频率特性函数的相位等于说频率特性函数的相位等于-180-180时的频率。时的频率。控制工程基础n n波德图表示频率特性有如下优点：波德图表示频率特性有如下优点：波德图表示频率特性有如下优
47、点：波德图表示频率特性有如下优点：1 1 1 1）可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减。因而）可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减。因而）可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减。因而）可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减。因而简化了计算与作图过程。简化了计算与作图过程。简化了计算与作图过程。简化了计算与作图过程。2 2 2 2）可用近似方法作图。先分段用直线作出对数幅频特性的）可用近似方法作图。先分段用直线作出对数幅频特性的）可用近似方法作图。先分段用直线作出对数幅频特性的）可用近似方法作图。先分段用直线作出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准
48、确渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准确渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准确渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准确的对数幅频特性图。的对数幅频特性图。的对数幅频特性图。的对数幅频特性图。3 3 3 3）可分别作出各个环节的波德图，然后用叠加方法得出系）可分别作出各个环节的波德图，然后用叠加方法得出系）可分别作出各个环节的波德图，然后用叠加方法得出系）可分别作出各个环节的波德图，然后用叠加方法得出系统的波德图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。统的波德图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。统的波德图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的
49、影响。统的波德图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。4 4 4 4）由于横坐标为对数坐标，所以）由于横坐标为对数坐标，所以）由于横坐标为对数坐标，所以）由于横坐标为对数坐标，所以 =0=0=0=0的频率不可能在横坐的频率不可能在横坐的频率不可能在横坐的频率不可能在横坐标上表现出来，因此，横坐标的起点可根据实际所需的最标上表现出来，因此，横坐标的起点可根据实际所需的最标上表现出来，因此，横坐标的起点可根据实际所需的最标上表现出来，因此，横坐标的起点可根据实际所需的最低频率低频率低频率低频率 来决定。来决定。来决定。来决定。控制工程基础4.2.1 典型环节的频率特性典型环节的频率特性（1
50、1）比例环节的频率特性）比例环节的频率特性）比例环节的频率特性）比例环节的频率特性1 1 1 1）极坐标图）极坐标图）极坐标图）极坐标图由于由于由于由于 G G(s s)=)=K K即即即即 G G(j(j)=)=K K (4-27)(4-27)幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性|(j(j)|=)|=K K (4-(4-28)28)相频特性相频特性相频特性相频特性 G G(j(j)=0(4-29)=0(4-29)这表明，当这表明，当这表明，当这表明，当 从从从从00时，时，时，时，(j(j)的幅值总是的幅值总是的幅值总是的幅值总是K K，相位总是相位总是相位总是相位总是00，(j(j)在极坐标图