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1、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积1.柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。探究探究 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？何计算它们的表面积？棱柱的侧面展开图棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图是由平行四边形组成的平面图形形，棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图是由三角形组成的平面图形形，棱台的侧面展开图棱台的侧面
2、展开图是由梯形组成的平面图形。是由梯形组成的平面图形。这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。四边形、三角形、梯形的面积问题。SBACD练习练习1：已知正三棱柱的底面边长为：已知正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为，侧棱长为10，求其表面积，求其表面积.圆柱的侧面展开图是一个圆柱的侧面展开图是一个矩形矩形：如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么圆柱，那么圆柱的底面积为的底面积为 ，侧面积为，侧面积为 。因此圆柱的。因此圆柱的表面积为表面积为OO圆锥的侧面展开图是一个圆锥的侧面展开图是一个扇形扇形
3、：O S 如果设圆锥的底面半径为如果设圆锥的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么，那么它的表面积为它的表面积为O S圆锥的侧面展开图是一个圆锥的侧面展开图是一个扇形扇形：如果设圆锥的底面半径为如果设圆锥的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么，那么它的表面积为它的表面积为类比三角形圆台的展开图是一个圆台的展开图是一个扇环扇环，它的表面积等于上、，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积下两个底面和加上侧面的面积OO类比梯形15cm10cm7.5cm练习练习2.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是则这个圆柱的全面积与侧面积的比
4、是（）A.B.C.D.A2.已知圆锥的全面积是底面积的已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个倍，那么这个圆锥的侧面积展开图圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为扇形的圆心角为_度度180练习练习3：已知圆锥的表面积为：已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。解：解：设这个圆锥的底面圆的半径为 ，母线长为答：这个圆锥的底面直径为答：这个圆锥的底面直径为 m。柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：一为：V=Sh（S为底面
5、面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱的体积公式也是一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中，其中S为为底面面积，底面面积，h为高。为高。棱锥的体积公式也是棱锥的体积公式也是 ，其中，其中S为底为底面面积，面面积，h为高。为高。即它是同底同高的圆柱的体积的即它是同底同高的圆柱的体积的 。探究探究探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？圆台圆台(棱台棱台)的体积公式：的体积公式：其是其是S，S分别为上底面面积，分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。为圆台（棱台）高。小结小结本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法：本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法：将空间图
6、形问题转化为平面图形问题，将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图利用平面图形求面积的方法求立体图 形的表面积形的表面积球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球(即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：推导方法推导方法：分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和复习回顾复习回顾第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格，表面积分别为：表面积分别为：则球的表面积：
7、则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：设设“小锥体小锥体”的体积为：的体积为：O O2 2、球的表面积、球的表面积O O第二步：求近似和第二步：求近似和O O由第一步得：由第一步得：第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:由由 得得:球的体积球的体积:的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R RO O“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。例例1 1、如图表示一个用鲜、如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面花作成的花柱，它的下面是一个直径为是一个直径为1m1m、高为、高为3m3m的圆柱形物体，上面是一的圆柱形物体，上面是一个半球形
8、体。如果每平方个半球形体。如果每平方米大约需要鲜花米大约需要鲜花150150朵，朵，那么装饰这个花柱大约需那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（要多少朵鲜花（取取3.1)3.1)？例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心
9、对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系82.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点
10、一球过正方体的各顶点,求这三个求这三个球的体积之比球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习练习1:探究：若正方体的棱长为探究：若正方体的棱长为a，则：，则：(1)正方体的内切球的直径正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径与正方体所有的棱相切的球的直径=4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.练习练习2:1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来则半径变为原来的的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来倍，则表面积变为原来的的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.7.将半径为将半径为1和和2的两个铅球，熔成一个大铅球，的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是那么这个大铅球的表面积是_.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习练习2:5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_.