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1、5.1 5.1 多项式矩阵描述多项式矩阵描述(PMD)(PMD)5.2 5.2 多项式矩阵描述的状态空间实现多项式矩阵描述的状态空间实现5.3 5.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描多项式矩阵描述的互质性和状态空间描 述的能控性与能观测性述的能控性与能观测性5.4 5.4 传输零点和解耦零点传输零点和解耦零点5.5 5.5 系统矩阵和严格系统等价系统矩阵和严格系统等价第第5 5章章 线性时不变系统的线性时不变系统的多项式矩阵描述多项式矩阵描述2023/2/192主要的数学描述主要的数学描述输入输入输入输入输出输出输出输出描述描述描述描述矩阵矩阵矩阵矩阵分式分式分式分式描述描述描述描述状态状
2、态状态状态空间空间空间空间描述描述描述描述系统系统系统系统矩阵矩阵矩阵矩阵描述描述描述描述2023/2/1935.1 5.1 多项式矩阵描述多项式矩阵描述(PMD)(PMD)一一 多项式矩阵描述的形式多项式矩阵描述的形式多输入多输出线性定常系统：多输入多输出线性定常系统：多输入多输出线性定常系统：多输入多输出线性定常系统：系统的多项式矩阵描述为：系统的多项式矩阵描述为：系统的多项式矩阵描述为：系统的多项式矩阵描述为：注：它是系统的注：它是系统的内部描述内部描述，是最一般的描述。，是最一般的描述。2023/2/194二二.PMD.PMD和其他描述的关系和其他描述的关系则状态空间描述等价的则状态空
3、间描述等价的则状态空间描述等价的则状态空间描述等价的PMDPMDPMDPMD为：为：为：为：1 1 多项式矩阵的传递函数矩阵多项式矩阵的传递函数矩阵多项式矩阵的传递函数矩阵多项式矩阵的传递函数矩阵2 2 状态空间描述的状态空间描述的状态空间描述的状态空间描述的PMDPMD2023/2/1952023/2/196由可简约由可简约PMDPMD求不可简约求不可简约PMDPMD（1 1 1 1）P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)非左互质，非左互质，非左互质，非左互质，P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)右互质右互质右互质右互质
4、此时，此时，此时，此时，P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)有非单模的有非单模的有非单模的有非单模的gcld,gcld,gcld,gcld,设为设为设为设为H(s),H(s),H(s),H(s),非奇异非奇异非奇异非奇异 则则则则 2023/2/197(2)P(s),Q(s)(2)P(s),Q(s)(2)P(s),Q(s)(2)P(s),Q(s)左互质，左互质，左互质，左互质，P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)非右互质非右互质非右互质非右互质 P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)有非单
5、模的有非单模的有非单模的有非单模的gcrd,gcrd,gcrd,gcrd,设为设为设为设为F(s),F(s),F(s),F(s),必非奇异必非奇异必非奇异必非奇异 2023/2/198（3 3 3 3）前两种情况的组合）前两种情况的组合）前两种情况的组合）前两种情况的组合 P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)非左互质，消去其非左互质，消去其非左互质，消去其非左互质，消去其gcld H(s),gcld H(s),gcld H(s),gcld H(s),得得得得 2023/2/1992023/2/1910思路：思路：思路：思路：前面已讲过的前面已讲过的前面已讲过
6、的前面已讲过的MFDMFDMFDMFD实现方法，要求分母矩阵行（列）实现方法，要求分母矩阵行（列）实现方法，要求分母矩阵行（列）实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，严格真；既约，严格真；既约，严格真；既约，严格真；在在在在P(s)P(s)P(s)P(s)(s)=Q(s)u(s)(s)=Q(s)u(s)(s)=Q(s)u(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求中，先求中，先求中，先求 的实现。的实现。的实现。的实现。步骤：步骤：步骤：步骤：先把先把先把先把 化成满足左化成满足左化成满足左化成满足左MFDMFDMFDMFD求实现的条件，即求实现的条件，即求实现的条件，即求实现的条件，即 P(s)P(
7、s)P(s)P(s)化为行既约，化为行既约，化为行既约，化为行既约，严格真；严格真；严格真；严格真；2023/2/1911-对对对对 求观测器形实现（利用上节方法），求观测器形实现（利用上节方法），求观测器形实现（利用上节方法），求观测器形实现（利用上节方法），得得得得 必有必有必有必有-总之总之总之总之实现为实现为实现为实现为2023/2/19122023/2/1913 5.3 5.3 多项式矩阵描述的互质性多项式矩阵描述的互质性 和状态空间描述的能控性与能观测性和状态空间描述的能控性与能观测性互质性与能控性、能观性的等价性互质性与能控性、能观性的等价性互质性与能控性、能观性的等价性互质性与
8、能控性、能观性的等价性1.1.1.1.给定给定给定给定P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)，其维数为，其维数为，其维数为，其维数为n=deg detP(s)=dimAn=deg detP(s)=dimAn=deg detP(s)=dimAn=deg detP(s)=dimA的的的的一个实现为一个实现为一个实现为一个实现为A,B,C,E(p)A,B,C,E(p)A,B,C,E(p)A,B,C,E(p)，则，则，则，则 P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),Q(s)P(s),
9、Q(s)左互质左互质左互质左互质AAAA，BBBB能控能控能控能控 P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)P(s),R(s)右互质右互质右互质右互质AAAA，CCCC能观能观能观能观2 2 2 2.对右对右对右对右MFDMFDMFDMFD，能控类实现能控类实现能控类实现能控类实现:A:A:A:A，B B B B，C C C C，EEEE，dimA=deg detD(s)dimA=deg detD(s)dimA=deg detD(s)dimA=deg detD(s)则：则：则：则：D(s),N(s)D(s),N(s)D(s),N(s)D(s),N(s)右互质右互质右互质右互质A,
10、CA,CA,CA,C能观能观能观能观 （已经能控）（已经能控）（已经能控）（已经能控）对左对左对左对左MFDMFDMFDMFD，能观类实现：能观类实现：能观类实现：能观类实现：2023/2/19142023/2/19155.4 5.4 传输零点和解耦零点传输零点和解耦零点 一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子
11、集。等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。同一系统，其同一系统，其同一系统，其同一系统，其PMDPMDPMDPMD为为为为P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)，系统极点是系统极点是系统极点是系统极点是det P(s)=0det P(s)=0det P(s)=0det P(s)=0的根的根的根的根 状态空间描述为状态空间描述为状态空间描述为状态空间描述为A,B,C,EA,B,C,EA,B,C,EA,B,C,E 系统极点是系统极点是系统极点是系统极点是det(sI-A)=0d
12、et(sI-A)=0det(sI-A)=0det(sI-A)=0的根的根的根的根 以上二者是等同的。以上二者是等同的。以上二者是等同的。以上二者是等同的。系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵时可能发生零极对消。数矩阵时可能发生零极对消。数矩阵时可能发生零极对消。数矩阵时可能发生零极对消。对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统对消掉的零极点不包含
13、在传递函数矩阵中，成为系统的的的的解耦零点。解耦零点。解耦零点。解耦零点。2023/2/19161.1.输入解耦零点输入解耦零点(input decoupling zero)(input decoupling zero)若若若若P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)P(s),Q(s),R(s),W(s)中，中，中，中，P(s)P(s)P(s)P(s)、Q(s)Q(s)Q(s)Q(s)存在非单模的存在非单模的存在非单模的存在非单模的gcld H(s)gcld H(s)gcld H(s)gcld H(s)，即，即，即，即
14、可见，可见，可见，可见，H(s)H(s)H(s)H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。定义：定义：det H(s)=0det H(s)=0的根为输入解耦零点。的根为输入解耦零点。意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了 耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态耦合，即输入信号不能影
15、响这些极点所对应的状态耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。由于由于由于由于所以，所以，所以，所以，输入解耦零点又等于使输入解耦零点又等于使输入解耦零点又等于使输入解耦零点又等于使 P(s)Q(s)P(s)Q(s)P(s)Q(s)P(s)Q(s)行降秩的行降秩的行降秩的行降秩的s s s s值。值。值。值。2023/2/19172023/2/19183.3.输入输出解耦零点输入输出解耦零点 若若若若P(s)P(s)P(s)P(s)和和和和Q(s)Q(s)Q(s)Q(s)存在非单模的左公因子存在非单模的左公因子存在非单模的左公因子存在非单模的左
16、公因子L(s),(L(s),(L(s),(L(s),(不一定不一定不一定不一定gcld)gcld)gcld)gcld)同时同时同时同时P(s)P(s)P(s)P(s)和和和和R(s)R(s)R(s)R(s)也存在非单模的右公因子也存在非单模的右公因子也存在非单模的右公因子也存在非单模的右公因子L(s)L(s)L(s)L(s)即即即即 显然，显然，显然，显然，L(s)L(s)L(s)L(s)的零点都是解耦点，并且既是的零点都是解耦点，并且既是的零点都是解耦点，并且既是的零点都是解耦点，并且既是i i i i.d.z.,.d.z.,.d.z.,.d.z.,又又又又是是是是o.d.z.o.d.z.o
17、.d.z.o.d.z.这样的这样的这样的这样的L(s)L(s)L(s)L(s)的零点称为输入输出解耦零点，的零点称为输入输出解耦零点，的零点称为输入输出解耦零点，的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.zi.o.d.zi.o.d.zi.o.d.z2023/2/1919注：注：注：注：求传递函数矩阵时，应消去求传递函数矩阵时，应消去求传递函数矩阵时，应消去求传递函数矩阵时，应消去P(s)P(s)P(s)P(s)与与与与Q(s)Q(s)Q(s)Q(s)的左的左的左的左公因子和公因子和公因子和公因子和P(s)P(s)P(s)P(s)和和和和R(s)R(s)R(s)R(s)的右公因子，使传递函的右公因
18、子，使传递函的右公因子，使传递函的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。数矩阵的零极点不包含解耦零点。数矩阵的零极点不包含解耦零点。数矩阵的零极点不包含解耦零点。若记若记若记若记P P P P和和和和Z Z Z Z为传递矩阵的极点、零点，则系统为传递矩阵的极点、零点，则系统为传递矩阵的极点、零点，则系统为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点的极点的极点的极点P P P Ps s s s和零点和零点和零点和零点Z Z Z Zs s s s分别为分别为分别为分别为传递矩阵的零极点O.d.zI.o.d.zI.d.z输入输入输出输出2023/2/19205.5 5.5 系统矩阵和严格系统等价系
19、统矩阵和严格系统等价一一 系统矩阵的概念系统矩阵的概念PMDPMDPMDPMD的系统矩阵定义为：的系统矩阵定义为：的系统矩阵定义为：的系统矩阵定义为：1 1 1 1 系统矩阵的定义系统矩阵的定义系统矩阵的定义系统矩阵的定义状态空间描述的系统矩阵：状态空间描述的系统矩阵：状态空间描述的系统矩阵：状态空间描述的系统矩阵：2023/2/1921线性定常系统右线性定常系统右线性定常系统右线性定常系统右MFD MFD MFD MFD 的系统矩阵定义为：的系统矩阵定义为：的系统矩阵定义为：的系统矩阵定义为：MFD MFD MFD MFD的系统矩阵：的系统矩阵：的系统矩阵：的系统矩阵：左左左左MFD MFD
20、 MFD MFD 的系统矩阵为：的系统矩阵为：的系统矩阵为：的系统矩阵为：2023/2/19222 2 判断判断PMDPMD的不可简约性的不可简约性3 PMD3 PMD的极点和零点的极点和零点若若若若PMDPMDPMDPMD不可简约，则：不可简约，则：不可简约，则：不可简约，则：PMDPMDPMDPMD的极点的极点的极点的极点=使使使使S(s)S(s)S(s)S(s)左上方左上方左上方左上方mmmmmmmm块矩阵降秩块矩阵降秩块矩阵降秩块矩阵降秩s s s s值值值值 PMDPMDPMDPMD的传输零点的传输零点的传输零点的传输零点=使使使使S(s)S(s)S(s)S(s)降秩降秩降秩降秩s
21、s s s值值值值4 PMD4 PMD的解耦零点的解耦零点若若若若PMDPMDPMDPMD可简约，则：可简约，则：可简约，则：可简约，则：PMDPMDPMDPMD的输入解耦零点的输入解耦零点的输入解耦零点的输入解耦零点=使使使使S(s)S(s)S(s)S(s)的前的前的前的前m m m m行降秩行降秩行降秩行降秩s s s s值值值值 PMDPMDPMDPMD的输出解耦零点的输出解耦零点的输出解耦零点的输出解耦零点=使使使使S(s)S(s)S(s)S(s)的前的前的前的前m m m m列降秩列降秩列降秩列降秩s s s s值值值值2023/2/19232023/2/1924不可简约性相同不可简
22、约性相同不可简约性相同不可简约性相同2 2 系统矩阵和增广系统矩阵的等价性系统矩阵和增广系统矩阵的等价性互质性相同互质性相同互质性相同互质性相同极点和传输零点相同极点和传输零点相同极点和传输零点相同极点和传输零点相同2023/2/1925解耦零点相同解耦零点相同解耦零点相同解耦零点相同传递函数矩阵相同传递函数矩阵相同传递函数矩阵相同传递函数矩阵相同分母矩阵行列式相同分母矩阵行列式相同分母矩阵行列式相同分母矩阵行列式相同2023/2/1926三三 严格系统等价的概念严格系统等价的概念 称系统矩阵称系统矩阵称系统矩阵称系统矩阵 和和和和 是严格系统等价的，当且仅当是严格系统等价的，当且仅当是严格系
23、统等价的，当且仅当是严格系统等价的，当且仅当存在存在存在存在m m m mm m m m的单模阵的单模阵的单模阵的单模阵U(s)U(s)U(s)U(s)和和和和V(s)V(s)V(s)V(s)，以及，以及，以及，以及q q q qm m m m和和和和m m m mp p p p的的的的多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵X(s)X(s)X(s)X(s)和和和和Y(s)Y(s)Y(s)Y(s)，使成立：，使成立：，使成立：，使成立：1 1 1 1 严格系统等价的定义严格系统等价的定义严格系统等价的定义严格系统等价的定义2023/2/19272023/2/1928 结论结论结论结论2 2 2
24、 2 两个状态空间描述是代数等价的，当且仅当两个状态空间描述是代数等价的，当且仅当两个状态空间描述是代数等价的，当且仅当两个状态空间描述是代数等价的，当且仅当它们的系统矩阵它们的系统矩阵它们的系统矩阵它们的系统矩阵是严格等价的。是严格等价的。是严格等价的。是严格等价的。结论结论结论结论3 3 3 3 系统的各种结构特性，如左互质和右互质、系统的各种结构特性，如左互质和右互质、系统的各种结构特性，如左互质和右互质、系统的各种结构特性，如左互质和右互质、能控性和能观性等，在严格等价变换下是不变的。能控性和能观性等，在严格等价变换下是不变的。能控性和能观性等，在严格等价变换下是不变的。能控性和能观性
25、等，在严格等价变换下是不变的。2023/2/1929 结论结论结论结论4 4 4 4 传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)G(s)G(s)G(s)的所有不可简约实现是严的所有不可简约实现是严的所有不可简约实现是严的所有不可简约实现是严格系统等价的；所有不可简约的格系统等价的；所有不可简约的格系统等价的；所有不可简约的格系统等价的；所有不可简约的MFDMFDMFDMFD是严格系统等价是严格系统等价是严格系统等价是严格系统等价的；所有不可简约的的；所有不可简约的的；所有不可简约的的；所有不可简约的PMDPMDPMDPMD是严格系统等价的。是严格系统等价的。是严格系统等价的。是严
26、格系统等价的。符号符号符号符号表示它们模为非零常数意义下的相等。表示它们模为非零常数意义下的相等。表示它们模为非零常数意义下的相等。表示它们模为非零常数意义下的相等。结论结论结论结论5 5 5 5 由严格等价性所保证，在不可简约前提下，由严格等价性所保证，在不可简约前提下，由严格等价性所保证，在不可简约前提下，由严格等价性所保证，在不可简约前提下，三种类型描述（三种类型描述（三种类型描述（三种类型描述（SSDSSDSSDSSD、MFDMFDMFDMFD、PMDPMDPMDPMD）在用于线性系统）在用于线性系统）在用于线性系统）在用于线性系统 的分析和综合时，其结果将是完全等价的，不会出的分析和综合时，其结果将是完全等价的，不会出的分析和综合时，其结果将是完全等价的，不会出的分析和综合时，其结果将是完全等价的，不会出 现丢失系统的结构信息的情况。现丢失系统的结构信息的情况。现丢失系统的结构信息的情况。现丢失系统的结构信息的情况。11111111章作业章作业章作业章作业:1,3,6,12:1,3,6,12:1,3,6,12:1,3,6,12