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1、数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 有有限限脉脉冲冲响响应滤波波器器的的单位位脉脉冲冲响响应长度度是是有有限限的，它的差分方程或的，它的差分方程或输入入输出方程写出方程写为从方程看，其系从方程看，其系统的的输出只与出只与输入有关，没有反入有关，没有反馈。有限脉冲响有限脉冲响应滤波器的系波器的系统函数写函数写为从从函函数数看看，由由于于系系统函函数数的的分分母母为1 1，故故设计有有限限脉脉冲冲响响应滤波器不宜采用无限脉冲响波器不宜采用无限脉冲响应滤波器的波器的设计方法。方法。第第8章章 有限脉冲响有限脉冲响应滤波器的波器的设计(8.1)(8.2)1数字
2、信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 从从有有限限脉脉冲冲响响应滤波波器器的的差差分分方方程程或或系系统函函数数来来看，有限脉冲响看，有限脉冲响应滤波器具有波器具有3个主要个主要优点：点：（1）其）其系系统肯定是肯定是稳定的，定的，（2）它容易得到因果系）它容易得到因果系统，（3）它能）它能获得得线性相位的性能。性相位的性能。正正是是由由于于有有限限脉脉冲冲响响应应滤滤波波器器的的这这些些特特殊殊性性，在在设设计计有有限限脉脉冲冲响响应应滤滤波波器器时时，一一般般使使用用另另一一种种频频谱谱表表示法。示法。8.1 系系统频谱的本的本质（可以不（可以不讲）单位
3、位脉脉冲冲响响应h(n)代代表表系系统的的性性能能，也也代代表表系系统，其其系系统函函数数H(z)和和系系统频谱H()都都是是系系统的的一一种种描描述述，都都代代表表系系统，两两者者之之间的的关关系系是是复复数数z和和虚虚指指数数ej的的关系。关系。2数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8.1.1 系系统频谱的含意的含意 不不管管是是信信号号还是是单位位脉脉冲冲响响应，它它们的的频谱都都是是复复数数，可可以以用用实部部和和虚虚部部来来表表示示，也也可可以以用用幅幅度度和和相相位来表示，例如信号位来表示，例如信号x(n)的的频谱 极极坐坐标方方式式能能直直
4、观地地体体现正正弦弦成成分分的的幅幅度度和和初初始始相相位位。从从显显示示信信号号的的正正弦弦波波成成分分方方面面来来看看，用用频频谱谱合合成的信号成的信号该该方程表示合成序列方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是的正弦波成分是(8.3)(8.4)(8.5)3数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 若改写正弦波成分的若改写正弦波成分的总总相位，即相位，即频频谱谱的的相相位位和和时时间间的的关关系系就就显显现现出出来来了了：相相位位除除以以角角频频率率得到得到的商具有的商具有时间时间的概念。的概念。如如果果argX()0，表表示示这这个个频频率率的的正正弦弦
5、波波将将沿沿着着时时序序轴轴n n向右移位，向右移位，这这种种现现象叫做象叫做延延时时。除除了了信信号号频频谱谱的的意意义义外外，作作为为处处理理信信号号的的系系统统频频谱谱H()还还有有另另一一层层的的意意义义，这这层层意意义义就就是是：系系统统会会按按照照系系统统频频谱谱H()的的幅幅度度改改变变被被处理理信信号号的的成成分分大大小小，并并且且按按照照系系统统频频谱谱H()的的相相位位改改变变被被处理理信信号号的的成成分分初始位置。初始位置。这些些意意义是是根根据据系系统h(n)处理理输入入信信号号x(n)的的卷卷积公式得来的。公式得来的。(8.6)4数字信号处理数字信号处理Enjoy S
6、cienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 假假设输入入信信号号是是幅幅度度为A和和初初始始相相位位为的的正正弦弦波，即波，即用用单位位脉脉冲冲响响应来来看看这个个信信号号处理理。当当x(n)经过系系统时，经过线性性时不不变系系统h(n)处理后的信号是理后的信号是其其频率与率与输入入x(n)的相同，相位与的相同，相位与x(n)相差相差argH()。(8.9)(8.10)6数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8.1.2 系系统的延的延时 系系统处理理信信号号总是是需需要要时间的的,俗俗
7、称称延延时时。数数学学上上将信号将信号x(n)经过经过系系统统延延时时后得到的信号后得到的信号y(n)写成写成这种种延延时的的信信号号y(n)与与原原来来的的信信号号x(n)的的变化化规律律相相同同，不存在失真。不存在失真。假假设线性性时不不变系系统的的|H()|=r为常常数数，输入入信信号号x(n)=Aej(n+)为典典型型正正弦弦波波，根根据据式式(8.10)，该系系统的的输出信号出信号由由式式(8.12)可可见，y(n)与与x(n)的的幅幅度度比比例例r不不随随时序序n变化，而化，而y(n)与与x(n)的相位存在的相位存在时序差序差别/。这个差个差别(8.11)(8.12)7数字信号处理
8、数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science就是系就是系统对频率率为的的输入正弦波的延入正弦波的延时。在在|H()|为为常常数数的的情情况况下下，系系统统的的相相位位与与输输入入正正弦弦波波的的频频率率有有关关，同同理理，系系统统的的延延时时也也与与输输入入正正弦弦波的波的频频率有关。率有关。下面分三种情况来看相位下面分三种情况来看相位。（1）如果系）如果系统统函数的相位函数的相位与角与角频频率率成正比，即成正比，即这是是一一条条过过原原点点的的直直线线，并并且且系系统统的的|H()|=r，r是是常常数，数，则这则这种系种系统对统对于典型正弦波于典型正弦波(8.9)的的输输
9、出将是出将是从从式式(8.14)看看，该系系统对对任任何何输输入入频频率率的的延延时时都都是是相相同同的的，延延时时量量=-a，a是是相相频特特性性argH()的的斜斜率率。这这种种相相位位与与频频率率成成正正比比的的系系统统，对对于于由由许许多多频频率率分分量量组组成的成的输输入信号来入信号来说说，其其输出出不会不会产产生失真。生失真。(8.13)(8.14)8数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 下下面面以以调调幅幅波波为为例例，说说明明普普通通直直线线相相位位系系统统对对无
10、无线电线电信号所信号所产产生的影响。生的影响。为为了了直直观观，现现在在把把典典型型的的正正弦弦波波式式(8.9)用用实实数数形形式表示，式表示，将将x(n)输入入直直线相相位位和和常常数数幅幅度度的的系系统，该系系统的的输出也用出也用实数形式表示，即数形式表示，即考考虑给这种种系系统的的输入入是是一一个个简单的的抑抑制制载波波的的双双边带调幅波，即幅波，即(8.17)(8.18)(8.19)10数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science根据三角函数和差根据三角函数和差积的关系，将的关系，将x(n)变为两个分量，两个分量，再再根根据据线线性性系系统统的的叠叠加
11、加性性质质和和式式(8.18)，得得到到该该系系统统的的输输出出 对对比比输输出出信信号号式式(8.20)和和输输入入信信号号式式(8.19)，可可以以看看到到直直线线相相位位系系统统对对这这种种窄窄带带信信号号x(n)所所产产生生的的两两种种影影响响：（1）滞滞后后频频率率是是c的的载载波波cos(cn)；（2）滞滞后后调调制制在在载载波波上上的的频频率率是是s的的信信号号cos(sn)，但但这这种种滞后滞后没有没有使使被被传输传输信号信号cos(sn)发发生波形失真。生波形失真。(8.19)(8.20)42节节11数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science
12、数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 对于于调幅幅波波来来说，若若系系统对它它的的通通信信频段段范范围L,H很很窄窄，则系系统的的相相位位在在这个个范范围可可近近似似为一一段段直直线方程，即方程，即式中式中0=(L+H)/2，其相位曲，其相位曲线如如图8.2所示。所示。该直直线的的斜斜率率a近近似似等等于于该系系统相相位位在在=LH的的导数数。根根据据式式(8.20)的的结论，当当调幅幅波波经过该系系统后后，其其调制信号将滞后一段制信号将滞后一段时间，即，即(8.24)图图8.213数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Scien
13、ce数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8.2 有限脉冲响有限脉冲响应滤波器的波器的频谱 有有限限脉脉冲冲响响应滤波波器器能能够获得得线性性相相位位或或直直线相相位位。线性性相相位位系系统的的好好处是是它它不不会会改改变有有用用信信号号的的波波形。形。8.2.1 有限脉冲响有限脉冲响应滤波器的波器的频谱表示法表示法 一一般般线性性相相位位也也叫叫做做直直线相相位位，线性性相相位位系系统的的相相频特性是特性是 为了了方方便便设计有有限限脉脉冲冲响响应滤波波器器，这里里采采用用另另一种表示一种表示频谱的方法：的方法：这种表示法的种表示法的A()是是实数，叫做
14、数，叫做幅度函数幅度函数。(8.28)(8.29)15数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 实实数数的的幅幅度度函函数数可可以以方方便便我我们们分分析析和和设设计计有有限限脉脉冲响冲响应滤应滤波器。波器。常常用用的的线线性性相相位位选选频频滤滤波波器器有有低低通通、带带通通、高高通通等等滤滤波波器器，它它们们的的频频谱谱幅幅度度在在有有用用信信号号的的频频段段内内为为常常数数或或者者为为1，在在没没用用信信号号的的频频段段内内为为0。在在设设计计这这种种分分段段常常数数幅幅度度的的选选频频滤滤波波器器时时，只只要要能能保保证证在在有有用用频频段段的的系系
15、统统相相位位是是线线性性的的，一一般般来来说说，它它们们选选出出的的有有用用信信号就不会失真。号就不会失真。如如何何让让有有限限脉脉冲冲响响应应滤滤波波器器成成为为线线性性相相位位的的？简单的方法是，的方法是，让单位脉冲响位脉冲响应满足某种足某种对称性。称性。16数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 让我我们从从离离散散时间的的傅傅里里叶叶变换来来看看这个个问题。由于因果系由于因果系统的的频谱为所所以以，根根据据有有限限脉脉冲冲响响应系系统的的偶偶对称称条条件件式式(8.30)，
16、公式公式(8.32)也可以写也可以写为公式公式(8.32)和和(8.33)很相似，可以相加。很相似，可以相加。(8.32)(8.33)18数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 合并上面两个合并上面两个频谱公式，得公式，得可以将可以将该系系统的的频谱写成写成这个个偶偶对称称脉脉冲冲响响应的的频谱说明明：只只要要h(n)是是实数数偶偶对称的，称的，(8.34)(8.35)19数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science那么，它的幅度函数那么，它的幅度函数也也是是实数数的的，并并代代表表系系统的的幅幅度度响响应。这种种系系统的的
17、相相位函数位函数是一条是一条过零点的直零点的直线，是，是线性相位的。性相位的。（2）相位直）相位直线线不不过过零点的零点的滤滤波器波器 如如果果让让有有限限脉脉冲冲响响应应系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)满满足奇足奇对对称条件，即称条件，即(8.36)(8.37)20数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science那那么么，该该系系统统的的相相位位函函数数将将是是一一条条不不过过零零点点的的直直线线，即即这这种种线线性性相相位位称称为为第第二二类类线线性性相相位位，它它的的群群延延时时a等等于于该该系系统统脉冲响脉冲响应应的的对对称点。称点。有有限限脉脉
18、冲冲响响应应滤滤波波器器的的对对称称关关系系对对设设计计线线性性相相位位滤滤波波器器是是很很有有用用的的，我我们们可可以以根根据据线线性性相相位位的的要要求求来来确确定定h(n)的的对对称称关关系系，降降低低设设计计系系统统时时推推算算脉脉冲冲响响应应h(n)的工作量。的工作量。(8.38)(8.39)43节节21数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8.2.3 线性相位性相位滤波器的幅度特性波器的幅度特性（可以不（可以不讲）线性性相相位位滤波波器器的的幅幅度度函函数数具具有有某某种种对称称性性，这些特性有助于我些特性有助于我们设计有限脉冲响有限脉冲响应滤
19、波器。波器。对对于于因因果果系系统统的的有有限限脉脉冲冲响响应应滤滤波波器器来来说说，它它的的对对称称位位置置比比较较特特殊殊：由由于于有有限限脉脉冲冲响响应应滤滤波波器器h(n)的的有效有效时时序在序在n=0N-1，所以它的，所以它的对对称点不在称点不在n=0。如如果果函函数数A()的的对对称称中中心心位位置置是是在在=a的的话话，那那么它的偶么它的偶对对称数学表达式写称数学表达式写为为 同理，同理，A()关于关于=a的奇的奇对对称数学表达式称数学表达式写写为 根根据据这种种对称称性性，现在在介介绍线性性相相位位滤波波器器的的幅幅度函数特性。度函数特性。(8.45)(8.46)22数字信号处
20、理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 幅幅度度函函数数的的对对称称性性证证明明，只只要要从从幅幅度度函函数数(8.36)和和(8.43)出出发发，利利用用余余弦弦函函数数和和正正弦弦函函数数的的特特点点，事事情情就就迎刃而解了。迎刃而解了。下面下面举举两个例子两个例子。（1）奇数）奇数长长度的第一度的第一类线类线性相位系性相位系统统 从从第第一一类类线线性性相相位位的的幅幅度度函函数数(8.36)出出发发，按按照照对对称称位位置置在在=的的写写法法，参参照照公公式式(8.45)和和(8.4
21、6)，用用2-替替换换公式公式(8.36)中的中的，得到，得到(8.47)24数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science将将它它与与公公式式(8.45)对比比就就知知道道，第第一一类线性性相相位位的的幅幅度度函数在奇数函数在奇数N时，对于于=是偶是偶对称的。称的。（2）偶数）偶数长度的第二度的第二类线性相位系性相位系统 从从第第二二类线性性相相位位的的幅幅度度函函数数(8.43)出出发，按按照照对称称位位置置在在=的的写写法法，参参照照公公式式(8.45)和和(8.46)，用用2-替替换公式公式(8.43)中的中的，就可以得到，就可以得到(8.48)25数字信
22、号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science将将它它与与公公式式(8.45)对比比就就可可知知道道，第第二二类线性性相相位位的的幅幅度函数在偶数度函数在偶数N时，是关于，是关于=的偶的偶对称。称。有有限限脉脉冲冲响响应滤波波器器的的长度度N和和幅幅度度函函数数的的对称称性性都都很很重重要要，如如果果能能巧巧妙妙地地运运用用表表8.1所所列列的的特特性性，就就可以提高可以提高设计选频滤波器的效率，避免盲目波器的效率，避免盲目设计。例例如如设计高高通通滤波波器器时，如如果果取取h(n)的的长度度为奇奇数数，并并满足足偶偶对称称条条件件(8.30)，就就可可以以设计第第一一
23、类线性性相相位位的的高高通通滤波波器器；但但是是，第第一一类线性性相相位位滤波波器器的的h(n)的的长度度不不能能取取偶偶数数，因因为，从从表表8.1看看，N为偶偶数数时，其其幅幅度度函函数数A()在在=的的位位置置有有一一个个零零点点，不不满足高通足高通滤波器的要求。波器的要求。下面介下面介绍FIR滤波器的波器的设计。26数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 解解 根根据据表表8.1，奇奇数数N的的低低通通滤滤波波器器频频谱谱只只能能是是第第一一类类线线性性相相位位的的，因因其
24、其幅幅度度函函数数在在角角频频率率=0的的地地方方呈呈偶偶对对称称。考考虑虑到到作作为为设设计计模模型型的的理理想想滤滤波波器器相相位位是是否是零，下面介否是零，下面介绍绍两种两种设计设计方法。方法。（1）理想理想滤滤波器的相位不波器的相位不为为零零 在在角角频频率率的的主主值值区区间间-,)，理理想想低低通通模模型型的的频频率响率响应应由由于于长长度度N=21和和公公式式(8.31)，选选择择群群延延时时a=(N-1)/2=10。其相位函数其相位函数d()的直的直线线只需在通只需在通带带上定上定义义。(8.50)28数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science
25、 根根据据离离散散时时间间傅傅里里叶叶反反变变换换(3.81)和和频频谱谱(8.50)，在主在主值值区区间计间计算理想模型的算理想模型的单单位脉冲响位脉冲响应应，得到，得到它是无限它是无限长长的非因果序列，的非因果序列，对对称中心在称中心在n=10的地方。的地方。根根据据题题目目N=21的的要要求求，截截取取hd(n)数数值值较较大大的的n=020这这一段，作一段，作为为我我们们需要的因果序列需要的因果序列。这种做法种做法(8.51)图图8.729数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Scien
26、ce程序接程序接上上页 程序运行程序运行结果如果如图8.8所示，所示，相相对于阻于阻带来来说，其，其幅度函数幅度函数A()的数的数值值在通在通带带内近内近图图8.8subplot(2,2,1);plot(w/pi,A,k);grid;axis(-1,1,-0.1,1.2);xlabel(omega/pi);ylabel(A(omega);subplot(2,2,2);plot(w/pi,p,k);grid;axis(-1,1,-35,35);ylabel(theta(omega)/radian)31数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science似似等等于于1，有有
27、些些像像理理想想的的幅幅度度函函数数Ad()；滤滤波波器器h(n)的相位函数的相位函数()是是过过原点的直原点的直线线。造造成成实实际际频频谱谱H()和和理理想想频频谱谱Hd()之之间间差差别别的的原原因因是是：实实际际的的h(n)只只是是理理想想的的hd(n)的的一一段段。这这一一段段的的长长度越度越长长，H()和和Hd()的差的差别就越小。就越小。本本题得得到到的的有有限限脉脉冲冲响响应应低低通通滤滤波波器器h(n)，是是用用理想理想滤滤波器的相位不波器的相位不为为零零获得的。得的。44节节32数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science（2）理想理想滤波器
28、的相位波器的相位为零零 在角在角频率的主率的主值区区间-,)的理想的理想频谱根根据据离离散散时时间间的的傅傅里里叶叶反反变变换换式式(3.81)，零零相相位位的的理理想想低通模型式低通模型式(8.53)的的单单位脉冲响位脉冲响应应它它的的波波形形如如图8.9左左图所所示示，对称称中中心心在在n=0。为了了得得到有限到有限长的因果的因果线性相位性相位滤波器波器h(n)，可以直接剪下可以直接剪下(8.53)(8.54)33数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Sciencehd(n)的的n=-1010的的最最大大数数值值部部分分，它它的的长长度度N=21点点；并并且且，将将
29、减减下下的的部部分分向向右右移移动a=(N-1)/2=10点点，才才能能成成为因果序列。因果序列。这个个结果的数学表达式是果的数学表达式是它就是按它就是按题目要求目要求设计的低通的低通滤波器。波器。图图8.9(8.55)34数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8.3.2 截断序列的后果截断序列的后果 实实际际剪剪裁裁或或截截断断序序列列时时，为为了了保保证证h(n)满满足足线线性性相相位位条条件件，是是用用一一个个对对称称的的有有限限长长序序列列w(n)乘乘以以被被剪剪裁裁的的原原始始序序列列hd(n)，这这个个有有限限长长序序列列w(n)叫叫做做窗窗序
30、序列列。不同的窗序列相当于不同的不同的窗序列相当于不同的观观点。点。常用的窗序列有常用的窗序列有矩形窗矩形窗，写，写为其波形如其波形如图8.10所示。所示。常用的窗序列还有常用的窗序列还有汉宁窗宁窗，写，写为其波形如其波形如图8.10所示。所示。(8.56)(8.57)35数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 常用的窗序列还有常用的窗序列还有汉明窗明窗，写，写为 常用的窗序列还有常用的窗序列还有布莱克曼窗布莱克曼窗，写，写为图图8.10(8.58)(8.59)36数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 从从时时域域来
31、来看看，用用一一个个短短序序列列代代替替一一个个长长序序列列总总是是有失真的。有失真的。这个个问题也可以从也可以从频域来看。域来看。观观察察加加窗窗序序列列h(n)=hd(n)w(n)的的频频谱谱H()时时，可可利用利用离散离散时间时间傅里叶傅里叶变换变换的的频频域卷域卷积积定理，即定理，即该该积积分分显显示示，窗窗序序列列的的频频谱谱W()对对截截取取序序列列的的频频谱谱H()质质量是有影响量是有影响的的。例例题题8.4 已已知知截截止止频频率率c=0.2的的理理想想低低通通滤滤波波器器的的单单位脉冲响位脉冲响应应是是(8.60)(8.61)37数字信号处理数字信号处理Enjoy Scien
32、ceEnjoy Science如如果果分分别别用用矩矩形形窗窗和和汉汉明明窗窗对对hd(n)加加窗窗，获获取取长长度度N=21的的因因果果线线性性相相位位低低通通滤滤波波器器，请请分分析析这这两两种种窗窗口口对对我我们设计们设计的的滤滤波器将波器将带带来什么来什么频谱频谱影响？影响？解解 已已知知窗窗口口法法设设计计的的系系统统频频谱谱H()正正比比于于理理想想频频谱谱Hd()和和窗窗序序列列频频谱谱W()的的卷卷积积，而而且且根根据据公公式式(8.51)和和(8.50)知道，理想低通知道，理想低通滤滤波器的波器的频谱频谱是是那那么么，我我们们就就可可以以分分析析这这两两种种窗窗口口对对设设计
33、计的的滤滤波波器器带带来的来的频谱频谱影响。影响。(8.62)38数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science（1）矩形窗的影响矩形窗的影响 根根 据据 离离 散散 时时 间间 傅傅 里里 叶叶 变变 换换，矩矩 形形 窗窗 序序 列列wrectangle(n)的的频谱是是 若若用用矩矩形形窗窗对对模模型型序序列列hd(n)加加窗窗，将将得得到到有有限限脉脉冲响冲响应滤波器波器的序列的序列其其频频谱谱可可用用离离散散时时间间傅傅里里傅傅里里叶叶变变换换或或频频域域卷卷积积定定理理计计算。算。(8.63)39数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnj
34、oy Science 根据根据频域卷域卷积定理，定理，滤波器波器h(n)的的频谱它它的的相相位位函函数数是是线线性性的的，它它的的幅幅度度函函数数A()正正比比于于矩矩形形窗窗的的幅幅度度函函数数Arectangle(-)在在通通带-c,c上上的的积分，分，也就是矩形窗的幅度函数曲也就是矩形窗的幅度函数曲线线在通在通带带上的面上的面积积。为了避免了避免计算算面面积积，可，可观察其幅度函数察其幅度函数图8.11，(8.64)40数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science绘绘制制图图8.11的的MATLAB程序是：程序是：程序程序转转下下页页N=21;wc=0.2
35、*pi;a=(N-1)/2;w=0:0.01:2*pi;%窗口长窗口长度、截止频率、群延时、角频率变量度、截止频率、群延时、角频率变量Ad=w=(2*pi-wc);%理想滤波器的幅度函数理想滤波器的幅度函数subplot(3,1,1);plot(-(2-w/pi),w/pi,Ad,Ad,k);grid;axis(-2,2,0,1.1);%画画-22的幅度函数的幅度函数xlabel(phi/pi);ylabel(A_d(phi);box;%理想滤理想滤波器的幅度函数的坐标符号波器的幅度函数的坐标符号Ar=sin(w+eps)*N/2)./sin(w+eps)/2);%矩形窗序列的矩形窗序列的幅度
36、函数幅度函数subplot(3,1,2);plot(-(2-w/pi),w/pi,Ar,Ar,k);grid;axis(-2,2,-6,23);%-22的窗幅度函数的窗幅度函数41数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science程序接上程序接上页程序运行程序运行结果果为xlabel(phi/pi);ylabel(A_rectangle(omega-phi);box;%窗序列的幅度函数的坐标符号窗序列的幅度函数的坐标符号df=0.001;f=-wc:df:wc;I=length(w);%积分增量、积分积分增量、积分变量、角频率变量的点数变量、角频率变量的点数for i
37、=1:I;A(i)=1/2/pi*sum(sin(w(i)-f)*N/2)./sin(w(i)-f)/2)*df;end;%加窗序列的幅度函数加窗序列的幅度函数subplot(3,1,3);plot(-(2-w/pi),w/pi,A,A,k);grid;axis(-2,2,-0.1,1.2);%画画-22的幅度函数的幅度函数xlabel(omega/pi);ylabel(A(omega);box;%加窗加窗序列的幅度函数的坐标符号序列的幅度函数的坐标符号42数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science程序运行程序运行结结果果为为，图图8.1143数字信号处理数字
38、信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 图图8.11显显示：示：1）当当=0时，Arectangle(-)的的波波形形如如图图8.11中中图所所示示，由由于于两两个个旁旁瓣瓣为负值，所所以以，Arectangle(-)在在=-cc上上的的积分面分面积较小。小。2）当当=0c/2时，右右边第第一一旁旁瓣瓣逐逐渐移移出出=-cc区区间，因因它它的的面面积是是负的的最最大大，所所以以，Arectangle(-)的的积分面分面积逐逐渐增加到最大。增加到最大。3）当当=c/2c时，主主瓣瓣的的右右半半边逐逐渐移移出出=-cc区区间，Arectangle(-)在在=-cc上上的的积分
39、分逐逐渐减小。减小。4）Arectangle(-)波波动会会引引起起加加窗窗序序列列h(n)的的幅幅度度函函数数A()波波动。5）Arectangle(-)的的主主瓣瓣宽宽度度越越宽宽，A()的的过过渡渡带带宽宽度度就越就越宽。45节节44数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science（2）汉汉明窗的影响明窗的影响 为为了了容容易易理理解解，下下面面采采用用幅幅度度函函数数直直接接进进行行分分析析。已知模型序列已知模型序列hd(n)的幅度函数的幅度函数参考偶参考偶对对称序列的幅度函数称序列的幅度函数(8.36)，汉汉明窗的幅度函数明窗的幅度函数 若若用用汉汉明明窗
40、窗对对模模型型序序列列hd(n)加加窗窗，将将得得到到有有限限脉脉冲响冲响应滤波器波器的序列的序列其幅度函数可运用运用其幅度函数可运用运用频频域卷域卷积积定理定理获得。得。(8.65)(8.66)45数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 根据根据频频域卷域卷积积定理定理(8.60)，滤滤波器波器h(n)的幅度函数的幅度函数该积该积分可用分可用计计算机算机计计算，不算，不过过是近似的，其程序是近似的，其程序为为：程序程序转转下下页页(8.67)N=21;wc=0.2*pi;w=0:0.01:2*pi;Ad=w=(2*pi-wc);subplot(3,1,1
41、);plot(-(2-w/pi),w/pi,Ad,Ad,r);grid;axis(-2,2,0,1.1);xlabel(phi/pi);ylabel(A_d(phi);box off;n=0:N-1;a=(N-1)/2;wh=hamming(N);Aw=wh*cos(n-a)*w);46数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science程序接上程序接上页页计计算得到的算得到的结结果如果如图图8.12所示，所示，subplot(3,1,2);plot(-(2-w/pi),w/pi,Aw,Aw,k);grid;axis(-2,2,-1,12);%画画-22汉明窗幅度汉明窗
42、幅度xlabel(phi/pi);ylabel(A_Hamming(omega-phi);box off;df=0.01;f=-wc:df:wc;I=length(w);for i=1:I;A(i)=1/2/pi*sum(wh*cos(n-a)*(w(i)-f)*df;end;subplot(3,1,3);plot(-(2-w/pi),w/pi,A,A);grid;axis(-2,2,-0.1,1.1);%画画-22的幅度函数的幅度函数xlabel(omega/pi);ylabel(A(omega);box off;47数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Scienc
43、e汉汉明明窗窗的的主主瓣瓣肥肥胖胖，这这是是导导致致A()的的过过渡渡带带比比图图8.11的的过过渡渡带宽许带宽许多多的原因的原因。图图8.1248数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 两两种种窗窗口口的的设设计计效效果果显显示示：窗窗序序列列的的变变化化越越陡陡峭峭，其其设设计计出出的的滤滤波波器器的的过过渡渡带带就就越越窄窄，但但阻阻带带的的波波动动幅幅度会更大。度会更大。表表8.2是是理理想想低低通通滤滤波波器器被被N=30的的窗窗口口剪剪裁裁后后的的各种参数，供各种参数，供读读者者设计设计FIR滤滤波器波器时时参考。参考。下下面面给出出N=13时
44、，绘制制矩矩形形窗窗、汉汉宁宁窗窗、汉汉明明窗窗和布莱克曼窗和布莱克曼窗的的幅度函数波形幅度函数波形的程序。的程序。窗序列窗序列主瓣宽度主瓣宽度过渡带宽度过渡带宽度最大旁瓣峰最大旁瓣峰/主瓣峰主瓣峰阻带最小衰减阻带最小衰减矩形窗矩形窗4/N1.99/N-13.23dB19.97dB汉宁窗汉宁窗8.28/N6.62/N-31.47dB43.95dB汉明窗汉明窗8.69/N7.06/N-41.64dB52.56dB布莱克曼窗布莱克曼窗12.41/N12.47/N-58.14dB75.37dB表表8.249数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 窗序列的幅度函数
45、窗序列的幅度函数MATLAB程序：程序：程序程序转转下下页页N=13;n=0:N-1;a=(N-1)/2;w=-pi:0.0001:pi;win=boxcar(N);A=win*cos(n-a)*w);subplot(221);plot(w/pi,A/max(A),r,linewidth,2);grid;axis(-1,1,-0.3,1),title(矩形窗幅度函数矩形窗幅度函数)xlabel(omega/pi);ylabel(A(omega)/A_max(omega)win=hanning(N);A=win*cos(n-a)*w);subplot(222);plot(w/pi,A/max(A
46、),linewidth,2);grid;axis(-1,1,-0.3,1),title(汉宁窗幅度函数汉宁窗幅度函数)xlabel(omega/pi);ylabel(A(omega)/A_max(omega)50数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science程序接上程序接上页页程序运行程序运行结结果果为为：win=hamming(N);A=win*cos(n-a)*w);subplot(223);plot(w/pi,A/max(A),linewidth,2);grid;axis(-1,1,-0.3,1),title(汉明窗幅度函数汉明窗幅度函数)xlabel(om
47、ega/pi);ylabel(A(omega)/A_max(omega);win=blackman(N);A=win*cos(n-a)*w);subplot(224);plot(w/pi,A/max(A),r,linewidth,2);grid;axis(-1,1,-0.3,1);title(布莱克曼窗幅度函数布莱克曼窗幅度函数)xlabel(omega/pi);ylabel(A(omega)/A_max(omega)51数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science矩形窗、矩形窗、汉汉宁窗、宁窗、汉汉明窗和布莱克曼窗的幅度函数明窗和布莱克曼窗的幅度函数图图52数
48、字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 例例题题8.5 请请根据数字低通根据数字低通滤滤波器的技波器的技术术指指标标设计一个有限一个有限长脉冲响脉冲响应的的线性相位性相位滤波器。波器。解解 因因为阻阻带最最小小衰衰减减=-20lg(0.01)=40dB，过渡渡带宽度度=s-p=0.02；从从表表8.2来来看看，汉宁宁窗窗既既满足足阻阻带衰衰减减要要求求，又又是是长度度N最最短短的的，所所以以选择汉宁宁窗窗，它它的窗口的窗口长度度(8.68)(8.69)53数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 用用汉宁宁窗窗截截取取理理
49、想想低低通通滤波波器器的的脉脉冲冲响响应式式(8.51)，就可得到，就可得到滤波器的脉冲响波器的脉冲响应其幅其幅频特性可利用特性可利用MATLAB绘制，程序制，程序为：程序运行程序运行结果果为(8.71)N=331;n=0:N-1;a=(N-1)/2;wc=0.2*pi;hd=sin(wc*(n-a+eps)./pi./(n-a+eps);wh=hanning(N);%舍弃头尾舍弃头尾0值的汉宁窗值的汉宁窗h=hd.*wh;H,w=freqz(h,1,1999);plot(w/pi,abs(H),k);grid;axis(0.17,0.23,0,1.1);xlabel(omega/pi);yl
50、abel(|H(omega)|);54数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 用用长N=331设计的的低低通通滤波波器器的的幅幅频特特性性如如图8.15所示，它所示，它优于通于通带波波动0.01和阻和阻带波波动0.01的要求。的要求。这说明明，N还可可以以缩短短。继续尝试缩短短序序列列的的长度度，最后得到最后得到实际长度度为302。图图8.1546节节55数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science8.4 在在频域域设计滤波器波器（讲方法）方法）对于于频谱复复杂的的滤波波器器，从从频域域设计滤波波器器或或许更直接、更方便。下