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1、高考总复习高考总复习数学数学9.1 直线的倾斜角、斜率和方程直线的倾斜角、斜率和方程高考总复习高考总复习数学数学1、直线的倾斜角、直线的倾斜角：（1）定义定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转逆时针方向转到和直线直线l重合重合时所转的最小正角最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。（2）倾斜角的范围倾斜角的范围 。高考总复习高考总复习数学数学2、直线的斜率、直线的斜率：（1）定义定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan (90)；倾斜角为90的直线没有斜率；高考总复习
2、高考总复习数学数学（2）斜率公式斜率公式：经过两点 、的直线的斜率为 ；（3）直线的方向向量：直线的方向向量：，高考总复习高考总复习数学数学（4）求直线斜率的方法：）求直线斜率的方法：定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，则斜率k=.方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.（5）斜率的应用应用：证明三点共线：。高考总复习高考总复习数学数学3.直线方程的几种形式：直线方程的几种形式：a=b=0时,y=kx 不垂直x,y轴和过原点a,b 分别为x,y轴上截距 截距式A,B,C为0时,直
3、线的特点 任意直线 A,B不同时为0 Ax+By+C=0 一般式 x1=x2时,x=x1y1=,y2时,y=,y1 不垂直x,y轴(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点且(x1x2,y1,y2)两点式 k不存在时,x=x0 k存在 k斜率,b为y轴上截距 y=kx+b 斜截式 k不存在时,x=x0 k存在 k斜率,(x0,y0)为直线上定点 y-y0=k(x-x0)点斜式 备注 适用范围 常数的意义 方程形式 直线名称 高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学 对倾斜角、斜率概念的理解对倾斜角、斜率概念的理解 （1）直线3yx2=0的倾斜角是 （）A30 B60 C120
4、 D150解：（1）因为直线的斜率即倾斜角的正切 值，即为故选D。D高考总复习高考总复习数学数学（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （）A3，4 B2，3 C4，3 D4，3解:利用斜率计算公式k=，可求得x2，y3 依次是4，3，故选C高考总复习高考总复习数学数学（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是，则l2的 斜率是 （）A B C D77解:（3）因直线l1与l2关于x轴对称，因此两直线的倾斜角互补，所以两直线的斜率互为相反数故选A。A高考总复习高考总复习数学数学（4）从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增
5、量是3，横坐标增量是2，则该直线的斜率是 解:（4）由直线的斜率的定义可知 =3/2 故填：3/2高考总复习高考总复习数学数学 、直线 的倾斜角的取值范围是_。解:直线的斜率【点评与感悟】【点评与感悟】斜率与倾斜角的范围之间不能 想当然,要 根据具体情况而定高考总复习高考总复习数学数学 已知ABC的三个顶点是A(3,-4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三条边所在的直线方程.各种形式的直线方程的恰当选择各种形式的直线方程的恰当选择高考总复习高考总复习数学数学思路分析：思路分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形
6、式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式.高考总复习高考总复习数学数学解：如右图,因ABC的顶点B与C的坐标分别为(0,3)和(-6,0),故B点在y轴上,C点在x轴上,即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,利用截距式,直线BC的方程为 +=1,化为一般式为x-2y+6=0.高考总复习高考总复习数学数学 由于B点的坐标为(0,3),故直线AB在y轴上的截距为3,利用斜截式,得直线AB的方程为 y
7、=kx+3.又由顶点A(3,-4)在其上,所以-4=3k+3.故k=-于是直线AB的方程为 y=-x+3,化为一般式为 7x+3y-9=0.高考总复习高考总复习数学数学由A(3,-4)、C(-6,0),得直线AC的斜率kAC=利用点斜式得直线AC的方程为 y 0=(x+6),化为一般式为 4x+9y+24=0.也可用两点式,得直线AC的方程为 =再化简即可.点评与感悟点评与感悟：本题考查了求直线方程的基本方法,正确选用直线方程的几种形式可使计算简化，过程简捷，有利于提高解题的速度.高考总复习高考总复习数学数学 一条直线经过点P（3，2），且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，求该直线方程。tan =1
8、/4 解:设所求直线倾斜角为 ，已知直线的倾斜角为 ，则 =2 ，tan =tan2 从而所求直线方程为 即高考总复习高考总复习数学数学 一条直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。【解法一】设直线在x、y轴上的截距分别为a,b，（1）当ab0时，设所求直线为x/a+y/b=1，由已知得a+b=6,2/a+1/b=1,解得a=b=3或a=4,b=2,此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。高考总复习高考总复习数学数学（2）当a、b中有一个是0时，直线方程分别为x=2或y=1，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和 是6”，因而舍去。故所求的直线方程
9、为x+y-3=0或x+2y-4=0。高考总复习高考总复习数学数学【解法二】若所求直线的斜率存在且不为0，设直线斜 率为k，在y轴上的截距为b，直线方程为y=kxb,由题知：1=2kb,且bb/k=6 ，解之得：k=1时b=3,或k=1/2时b=2，此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。当k=0或k不存在时，不合题意。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。高考总复习高考总复习数学数学【解法三】当斜率存在时，设所求直线的斜率为k。则直线方程为y-1=k(x-2)，化为一般式得：kx-y-2k+1=0。分别令x=0，y=0得截距-2k+1，(2k-1)/k，于是由题意得-2k
10、+1+(2k-1)/k=6。解得 k=-1或k=-1/2。分别得直线x+y-3=0与x+2y-4=0。当斜率不存在时，直线方程为x=2，不合题意，舍去。综合上面的讨论知，直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。高考总复习高考总复习数学数学【解法四】由题知直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，显然斜率存在，设直线方程为ax+y+c=0，不难求得该直线在x、y轴上的截距分别为c/a和c，以下求解基本同解法二。点评与感悟：点评与感悟：利用点斜式求直线时，要验证斜率k不存在的情况.高考总复习高考总复习数学数学 直线方程与其它知识的整合直线方程与其它知识的整合 直线经过点P（3，2），
11、且与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小（O为坐标原点），求直线方程。思路分析：思路分析：将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.高考总复习高考总复习数学数学解法一：设直线方程为 ，(a0,b0),点P（3，2）代入得得 ab24从而 高考总复习高考总复习数学数学等号当且仅当 时成立，这时 ，从而所求直线方程为高考总复习高考总复习数学数学解法二：设直线方程为 ，(a0,b0),点P（3，2）代入得解得 （a3)高考总复习高考总复习数学数学则 等号当且仅当 即 a=6 时成立，这时 b=4 即 从而所求直线方程为高考总复习高考总复习数学数学【思考】【思考】本例中若求 及 分
12、别取得最小值时的直线方程，又该怎么解？解：显然直线斜率存在。设直线方程为y-2=k(x-3)(k0)得点A(),B(0,2-3k)，高考总复习高考总复习数学数学PAPB=此时k=-1，即直线为x+y-5=0OA+OB=()+(2-3k)此时 即直线为 高考总复习高考总复习数学数学 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到1m2）解：在线段AB上任取一点P，过P作CD、DE的垂线，则AB的方程为(0 x30)高考总复习高考总复习数学数学设P(x,20-),则S=(100-x)80-(20-)(0 x30)得 (0 x30)配方得：x=5，y=50/3时，S取最大值6017平方米。高考总复习高考总复习数学数学