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1、专题专题4 4现代机械工程控制系统的现代机械工程控制系统的稳定性分析方法稳定性分析方法2023/2/192主要内容主要内容1.概述概述2.什么是控制系统的稳定性什么是控制系统的稳定性3.SISO连续控制系统的稳定性分析连续控制系统的稳定性分析4.MIMO连续控制系统的稳定性分析连续控制系统的稳定性分析5.离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析2023/2/1931.概述概述2023/2/1941.概述概述2023/2/1961.概述概述2023/2/1971.概述概述2023/2/1981.概述概述2023/2/19101.概述概述2023/2/19111.概述概述2023/2/19
2、13 SISO系统稳定的数学描述：系统稳定的数学描述：2.什么是控制系统的稳定性？什么是控制系统的稳定性？设设线线性性系系统统在在零零初初始始条条件件下下输输入入一一个个理理想想脉脉冲冲函数函数(t)，如果，如果xo(t)随着时间的推移趋于零，即：随着时间的推移趋于零，即：，则系统，则系统稳定稳定；，则系统，则系统不稳定不稳定。若：若：2023/2/1915（3）系统稳定条件的证明：）系统稳定条件的证明：2.什么是控制系统的稳定性？什么是控制系统的稳定性？系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为：2023/2/19162.什么是控制系统的稳定性？什么是控制系统的稳定性？部分分解部分分解拉氏反变
3、换拉氏反变换2023/2/1918Control Systems Engineering,Fourth Edition by Norman S.NiseCopyright 2004 by John Wiley&Sons.All rights reserved.a.稳稳定系定系统统闭环极点分布与时间相应闭环极点分布与时间相应:2.什么是控制系统的稳定性？什么是控制系统的稳定性？b.不稳定系统不稳定系统2023/2/1919时间时间响响应应 vs.极点分布极点分布UnstableStable2.什么是控制系统的稳定性？什么是控制系统的稳定性？2023/2/19203.SISO连续控制系统的稳定性分
4、析连续控制系统的稳定性分析3.1 代数稳定性判据代数稳定性判据3.2 代数稳定性判据代数稳定性判据3.3 系统的相对稳定性系统的相对稳定性3.4 稳态误差分析方法稳态误差分析方法2023/2/19213.1 代数稳定性判据代数稳定性判据3.1.1 赫尔维茨（赫尔维茨（Hurwitz）判据）判据3.1.2 劳斯（劳斯（Routh）判据）判据3.1.3 谢绪凯判据谢绪凯判据2023/2/19223.1.1 赫尔维茨判据赫尔维茨判据系统的特征方程式系统的特征方程式系统的传递函数系统的传递函数2023/2/19243.1.1 赫尔维茨判据赫尔维茨判据2023/2/1925例例 单位负反馈系统的开环传递
5、函数为单位负反馈系统的开环传递函数为3.1.1 赫尔维茨判据赫尔维茨判据2023/2/19263.1.1 赫尔维茨判据赫尔维茨判据2023/2/1928 判断特征根是否全部具有负实部的充要条判断特征根是否全部具有负实部的充要条件首先列出下面的劳斯表件首先列出下面的劳斯表其中，前两列中不存在的系数可以填其中，前两列中不存在的系数可以填“0”，元素，元素根据下列公式计算得出根据下列公式计算得出3.1.2 劳斯判据劳斯判据2023/2/1930 显然，计算显然，计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二、三行组成的二行阵的第表右侧第二、三行组成的二行阵的第1列与第列与第i
6、+1列构成的，同样，系数列构成的，同样，系数c的计算一直进行到其的计算一直进行到其余值为零为止。余值为零为止。3.1.2 劳斯判据劳斯判据2023/2/1931例例 系统的特征方程为系统的特征方程为用劳斯判据判断系统是否稳定。用劳斯判据判断系统是否稳定。解：解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下个参数如下3.1.2 劳斯判据劳斯判据2023/2/1932劳斯表为劳斯表为3.1.
7、2 劳斯判据劳斯判据2023/2/1933劳斯表为劳斯表为 表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以得到得到4个根，分别为：个根，分别为：显然，后面一对复根在复平面右半平面，显然，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。因而系统不稳定。3.1.2 劳斯判据劳斯判据2023/2/19343.1.3 谢绪凯判据谢绪凯判据2023/2/19353.2 几何稳定性判据几何稳定性判据3.2.1 Nyquist判据判据3.2.2 Bode判据判据2023/2/19363.2
8、 几何稳定性判据几何稳定性判据系统的开环传递函数系统的开环传递函数设设2023/2/19373.2 几何稳定性判据几何稳定性判据2023/2/1938383.2.1 奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特路径是包围奈奎斯特路径是包围s平面右半面的顺时针方向的封闭平面右半面的顺时针方向的封闭曲线曲线Ls,，它由两段有向线构成，如图，它由两段有向线构成，如图5.3，其中，其中L1为沿为沿s的的虚轴由虚轴由 的直线，为以的直线，为以 为半径从虚轴的正向顺时针为半径从虚轴的正向顺时针转转角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。L1和和L2两段线包围了复平面两段线
9、包围了复平面s的右半面。的右半面。2023/2/1939(2)用系统闭环传递函数表示的奈奎斯特判据用系统闭环传递函数表示的奈奎斯特判据 当已知系统有当已知系统有Z Z个零点时，系统的传递函数可以个零点时，系统的传递函数可以表示为表示为(5.9)绘制出绘制出Ls的由的由Gb(s)映象的曲线绕原点按顺时针转的映象的曲线绕原点按顺时针转的周数周数N来判断系统的稳定性，来判断系统的稳定性，当当N=Z时，系统是稳定的时，系统是稳定的；当当N赫尔维茨稳定性判据赫尔维茨稳定性判据2023/2/191065.1.1 稳定性分析方法稳定性分析方法2023/2/191075.1.1 稳定性分析方法稳定性分析方法利
10、用赫尔维茨稳定性判据利用赫尔维茨稳定性判据2023/2/19108例例 分析图所示系统当分析图所示系统当K=10 时的稳定性，时的稳定性，求出能使系统稳定的求出能使系统稳定的K值范围值范围(T=1s)。5.1.1 稳定性分析方法稳定性分析方法2023/2/191095.1.1 稳定性分析方法稳定性分析方法2023/2/191105.1.1 稳定性分析方法稳定性分析方法2023/2/191115.1.2 极点分布与瞬态响应的关系极点分布与瞬态响应的关系2023/2/191125.1.2 极点分布与瞬态响应的关系极点分布与瞬态响应的关系2023/2/19113极点分布的影响|z|=1Longer
11、settling timeRe(s)Im(s)UnstableStableHigher-frequencyresponse5.1.2 极点分布与瞬态响应的关系极点分布与瞬态响应的关系2023/2/191145.1.2 极点分布与瞬态响应的关系极点分布与瞬态响应的关系2023/2/19115终值定理终值定理5.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/191165.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/191175.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/191185.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/1911
12、9例例5.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/19120查表（查表（6）5.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/191215.1.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 2023/2/191225.2 MIMO离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析设齐次离散状态方程为设齐次离散状态方程为 本节用李亚普诺夫方法分析系统在原点的稳定性本节用李亚普诺夫方法分析系统在原点的稳定性 在原点在原点 是平衡状态是平衡状态 取李亚普诺夫函数为取李亚普诺夫函数为2023/2/19123对离散系统用对离散系统用V的差分的差分代替连续系统代替连续系统 的导
13、数的导数 5.2 MIMO离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析2023/2/19124令令得得系统在原点处渐进稳定的条件是系统在原点处渐进稳定的条件是:必须是负定的。必须是负定的。式中式中 是正定矩阵。是正定矩阵。5.2 MIMO离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析2023/2/19125(2-1)(2-2)用李亚普诺夫方法判断离散系统稳定性的步骤如下：用李亚普诺夫方法判断离散系统稳定性的步骤如下：（1）选正定矩阵）选正定矩阵Q。如果（。如果（2-1）不恒等于零，则）不恒等于零，则Q可可 取为半正定矩阵；取为半正定矩阵；（2）按（）按（2-2）解出）解出P；（3）检查）检查P是否正定。如果是正定，则系统是稳定的，是否正定。如果是正定，则系统是稳定的，所选取的所选取的Vx(k)是李亚普诺夫函数。是李亚普诺夫函数。5.2 MIMO离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析