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1、n代数系统定义代数系统定义n同类型与同种的代数系统同类型与同种的代数系统n子代数子代数n积代数积代数5.2 代数系统及其子代数、积代数代数系统及其子代数、积代数1代数系统定义与实例代数系统定义与实例定义定义非空集合非空集合S 和和S 上上k 个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2,fk 组成的系统称为一个组成的系统称为一个代数系统代数系统,简称简称代代数数，记做，记做 V=.例：例：有的代数系统定义指定了有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为中的特殊元素，称为特异元素特异元素或或代数常数代数常数,例如二元运算的幺元例如二元运算的幺元.有有时也将代数常数作为系统的成分时也将代数常数作为系
2、统的成分.例：例：2实例实例1.,是代数系统，是代数系统，+和和分别表示普通加法和乘法分别表示普通加法和乘法.2.是代数系统，是代数系统，+和和分别表示分别表示n 阶阶(n2)实矩阵的加法和乘法实矩阵的加法和乘法.3.是代数系统，是代数系统，Zn0,1,n-1，和和 分别表示模分别表示模n 的加法和乘法，的加法和乘法，x,yZn，x y=(xy)modn，x y=(xy)modn4.也是代数系统，也是代数系统，和和为并和交，为并和交，为绝对补为绝对补3子代数子代数定义定义设设V=是代数系统，是代数系统，B 是是S 的的非空子集非空子集，如果，如果B 对对f1,f2,fk都是封闭的，且都是封闭的
3、，且B 和和S 含有相同的代数常数，则称含有相同的代数常数，则称是是V 的子代数系统，简称的子代数系统，简称子代数子代数.例例是是的子代数的子代数.(因为因为N对封闭，而且都没对封闭，而且都没有代数常项有代数常项)。同样，。同样，是是的子代数的子代数.是是的子代数的子代数.(因为因为N对封闭，而且都对封闭，而且都有相同的代数常项有相同的代数常项0)不是不是的子代数的子代数.说明：说明：对于任何代数系统对于任何代数系统V，其子代数一定存在，其子代数一定存在.4关于子代数的术语关于子代数的术语最大的子代数最大的子代数就是就是V 本身本身.如果如果V 中所有代数常数构成集合中所有代数常数构成集合B，
4、且，且B 对对V 中所有运算中所有运算封闭，则封闭，则B 就构成了就构成了V 的的最小的子代数最小的子代数.最大和最小子代数称为最大和最小子代数称为V 的的平凡的子代数平凡的子代数.若若B 是是S 的真子集，则的真子集，则B 构成的子代数称为构成的子代数称为V 的的真子代数真子代数.例例2设设V=，令，令nZ=nz|zZ，n 为自然数，则为自然数，则nZ 是是V 的子代数的子代数.当当n=1和和0时，时，nZ 是是V 的平凡的子代数，其他的都是的平凡的子代数，其他的都是V 的非平凡的真子代数的非平凡的真子代数.5积代数积代数定义定义设设V1=和和V2=是代数系统，其中是代数系统，其中 o 和和
5、 是二元运算是二元运算.V1与与V2的的积代数积代数是是V=,S1 S2,=例例3V1=,V2=,积代数积代数,Z M2(R),o=6积代数的性质积代数的性质定理定理设设V1=和和V2=是代数系统，其中是代数系统，其中o 和和 是二元运算是二元运算.V1与与V2的的积代数积代数是是 V=(1)若若o和和 运算是可交换的，那么运算是可交换的，那么运算也是可交运算也是可交换的的(2)若若o和和 运算是可结合的，那么运算是可结合的，那么运算也是可运算也是可结合的合的(3)若若o和和 运算是幂等的，那么运算是幂等的，那么运算也是运算也是幂等的等的(4)若若 o 和和 运算分别具有单位元运算分别具有单位
6、元 e1和和e2，那么，那么运算运算也具有也具有单位元位元(5)若若o和和 运算分别具有零元运算分别具有零元 1和和 2，那么，那么运算运算也具有零元也具有零元(6)若若x 关于关于 o 的逆元为的逆元为x 1,y 关于关于 的逆元为的逆元为y 1，那，那么么关于关于运算也具有逆元运算也具有逆元75.3 代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构n同态映射的定义同态映射的定义n同态映射的分类同态映射的分类单同态、满同态、同构单同态、满同态、同构自同态自同态n同态映射的性质同态映射的性质8同态映射的定义同态映射的定义定义定义设设V1=和和V2=是代数系统，其是代数系统，其中中 和和 是二元运算是二
7、元运算.f:S1S2,且且 x,y S1,f(x y)=f(x)f(y),则称则称f为为V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态.9更广泛的同态映射定义更广泛的同态映射定义定义定义设设V1=和和V2=是代数系统，是代数系统，其中其中 和和 是二元运算是二元运算.f:S1S2,且且 x,y S1 f(x y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y)则称则称f为为V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态.设设V1=和和V2=是代数系统，是代数系统，其中其中 和和 是二元运算是二元运算.和和是一元运算，是一元运算，f:S1S2,且且 x,y S1 f(x y)=f(x
8、)f(y),f(xy)=f(x)f(y),f(x)=f(x)则称则称f为为V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态.10例例V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模是模n 加加.令令f：ZZn，f(x)=(x)modn则则f是是V1到到V2的同态的同态.x,yZ有有f(x+y)=(x+y)modn=(x)mod n (y)mod n =f(x)f(y)例例V1=，V2=f：RR,f(x)=ex11例题例题例例1 V=,判断下面的哪些函数是判断下面的哪些函数是V 的自同态的自同态？(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x (3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=
9、x(6)f(x)=x+1解解(2),(5),(6)不是自同态不是自同态.(1)是同态，是同态，f(x y)=|x y|=|x|y|=f(x)f(y)(3)是同态，是同态，f(x y)=(x y)2=x2 y2=f(x)f(y)(4)是同态，是同态，f(x y)=1/(x y)=1/x 1/y=f(x)f(y)12特殊同态映射的分类特殊同态映射的分类 f为为V1=到到V2=的同态，则的同态，则1.是是V1在在f下下的的同态像同态像，2.同态映射同态映射f如果是单射，则称为如果是单射，则称为单同态单同态；3.如果如果f是满射，则称为是满射，则称为满同态满同态，记作记作V1 V2；4.如果如果f是双
10、射，则称为是双射，则称为同构同构，也称代数系统，也称代数系统V1同同构于构于V2，记作，记作V1 V2.5.对于代数系统对于代数系统V，它到自身的同态称为，它到自身的同态称为自同态自同态.类似地可以定义类似地可以定义单自同态单自同态、满自同态满自同态和和自同构自同构.13同态映射的实例同态映射的实例例例2设设V=，a Z，令，令fa：ZZ，fa(x)=ax那么那么fa是是V的的自同态自同态.因为因为 x,y Z，有，有fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当当a=0时称时称f0为为零同态零同态；当当a=1时，称时，称fa为为自同构自同构；除此之外其他的除此之外其他的f
11、a 都是都是单自同态单自同态.14例例3设设V1=,V2=，其中其中Q*=Q 0，令令f：QQ*,f(x)=ex那么那么f 是是V1到到V2的同态映射，因为的同态映射，因为 x,y Q有有f(x+y)=ex+y=ex ey=f(x)f(y).不难看出不难看出f 是单同态是单同态.同态映射的实例（续）同态映射的实例（续）15同态映射的实例（续）同态映射的实例（续）例例4V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模是模n 加加.令令f：ZZn，f(x)=(x)modn则则f是是V1到到V2的的满同态满同态.x,yZ有有f(x+y)=(x+y)modn=(x)mod n (y)mod n =f(x)f
12、(y)16例例5设设 V=，可以证明恰有，可以证明恰有n 个个G 的自同态，的自同态，fp：ZnZn,fp(x)=(px)modn，p=0,1,n 1例如例如n=6,那么那么f0为零同态为零同态,同态像是同态像是；f1与与f5为同构；为同构；f2与与f4的同态像是的同态像是；f3的同态像是的同态像是.同态映射的实例（续）同态映射的实例（续）17定义定义：设设V1=和和V2=是代数系统，是代数系统，其中其中 和和 是二元运算是二元运算.k1是是S1的代数常数，的代数常数，k2是是S2的代的代数常数，数常数，f:S1S2,如果满足如果满足（1）x,y S1,f(x y)=f(x)f(y),（2）f
13、(k1)k2则称则称f为为V1到到V2的的同态同态例例V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模是模n 加加.令令f：ZZn，f(x)=(x)modn x,yZ有有f(x+y)=(x+y)modn=(x)mod n (y)mod n =f(x)f(y)同时，同时，f(0)=018同态映射保持运算的算律同态映射保持运算的算律设设V1,V2是代数系统是代数系统.o,是是V1上的二元运算，上的二元运算，o,是是V2上上对应的二元运算，如果的二元运算，如果f：V1V2是同是同态，那么那么(1)若若o运算是可交运算是可交换的（可的（可结合、合、幂等的），等的），则o运运算也是可交算也是可交换的（可的（可
14、结合、合、幂等的）等的）.(2)若若o运算运算对 运算是可分配的，运算是可分配的，则o运算运算对 运算运算也是可分配的；若也是可分配的；若o 和和 运算是可吸收的，运算是可吸收的，则o和和 运算也是可吸收的。运算也是可吸收的。19(3)若若e为o 运算的运算的幺幺元，元，则f(e)为o运算的运算的幺幺元元.(4)若若 为o 运算的零元，运算的零元，则f()为o运算的零元运算的零元.(5)设u V1，若，若u 1是是 u关于关于o运算的逆元，运算的逆元，则f(u 1)是是 f(u)关于关于o运算的逆元。运算的逆元。同态映射保持运算的特异元素同态映射保持运算的特异元素20同态映射的性质同态映射的性
15、质说明：说明：上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相关性质在同态像中成立那么相关性质在同态像中成立.同态映射不一定能保持消去律成立同态映射不一定能保持消去律成立.例如例如f:ZZn 是是V1=到到V2=的的同态，同态，f(x)=(x)modn,V1中满足消去律，但是当中满足消去律，但是当n为合数时为合数时,V2中不满足消去律中不满足消去律.21例题例题证证假设假设 f 是是V2到到V1的同构，那么有的同构，那么有f：V2V1，f(1)=0.于是有于是有f(1)+f(1)=f(1)(1)=f(1)=0从而从而f(1)=0，又有，又有f(1)=0，这与，这与 f 的单射性矛盾的单射性矛盾.例例3设设V1=，V2=，其中，其中Q 为有理数为有理数集合，集合，Q*=Q 0，+和和分别表示普通加法和分别表示普通加法和乘法乘法.证明不存在证明不存在V2到到V1的同构的同构.22