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1、3.6 考虑边界效应的镜像反映法直线供给边界附近一口井直角断层中间一口井圆形供给边界中间两口井3.6 考虑边界效应的镜像反映法 边界效应：实际油气田中，在生产井和注水井边界效应：实际油气田中，在生产井和注水井的附近，往往存在着各种边界，这些边界的存在对渗的附近，往往存在着各种边界，这些边界的存在对渗流场中的等势线分布、流线分布和井的产量都会产生流场中的等势线分布、流线分布和井的产量都会产生影响。称这种影响为影响。称这种影响为“边界效应边界效应”。3.6 考虑边界效应的镜像反映法求解方法势叠加原理求解利用镜像反映理论，转化为无穷大地层多井生产问题。利用保角变换，转化为无穷大地层中的单井或多井问题
2、。利用复势理论求解渗流规律3.6 考虑边界效应的镜像反映法边界类型等势边界(如：供给边缘)直线供给边缘圆形供给边缘不渗透边界(如：断层)单一直线断层复杂直线边界3.6 3.6 考虑边界效应的镜像反映法考虑边界效应的镜像反映法 汇源反映法汇源反映法 在求解直线供给边缘附近一口生产井在求解直线供给边缘附近一口生产井的渗流问题时，的渗流问题时，可以供给边缘为对称轴，可以供给边缘为对称轴，在其另一侧，与生产井对称的位置上虚设在其另一侧，与生产井对称的位置上虚设一口等产量的注入井，一口等产量的注入井，把问题转化为把问题转化为无穷无穷大地层中等产量一源一汇大地层中等产量一源一汇来求解，所得解来求解，所得解
3、的一部分即为所求。的一部分即为所求。对称等强度异号反映汇源反映法：汇源反映法：以等产量的异号像代替供给边缘作用以等产量的异号像代替供给边缘作用的方法，称为汇源反映法。的方法，称为汇源反映法。势的分布、产量公式势的分布、产量公式地层中任一点地层中任一点M的势为：的势为：供给边缘上，供给边缘上，则：则：供给边缘附近一口井供给边缘附近一口井势分布表达式为：势分布表达式为：生产井井壁上，生产井井壁上，则产量公式为：则产量公式为：直线供给边缘附近一口井产量公式3.6 3.6 考虑边界效应的镜像反映法考虑边界效应的镜像反映法2.2.圆形供给边缘一口偏心井的反映圆形供给边缘一口偏心井的反映 条件分析条件分析
4、 流体在边界流体在边界S S及井壁之间的势及井壁之间的势差差 的作用下发生流动的。的作用下发生流动的。其流动的边界条件相当于其流动的边界条件相当于无穷大无穷大地层存在等产量一源一汇时，渗地层存在等产量一源一汇时，渗流场中的两条等压线流场中的两条等压线。圆形供给边缘内一口偏心井生产 同样可利用反映法将其转化为无穷大地层中存在同样可利用反映法将其转化为无穷大地层中存在等产量一源一汇的问题进行求解。等产量一源一汇的问题进行求解。等势线 井像位置的确定井像位置的确定圆形供给边缘内一口偏心井反映井像的位置应满足使得圆S为等势线由无限大地层等产量一源一汇等由无限大地层等产量一源一汇等势线方程势线方程 在供
5、给边界上在供给边界上两点必满足：两点必满足：整理整理即：即：满足该式的井像位置B即为所求定义：从圆心定义：从圆心D D出发的同一条射线上两点出发的同一条射线上两点A A和和B B，若满足，若满足 则称则称A A点和点和B B点是关于半径为点是关于半径为r re e的圆的圆S S的的对称点对称点，即共，即共轭点，圆轭点，圆S S称为称为反演圆反演圆。由由 得：得：圆形供给边缘内一口偏心井反映另：由直角坐标系下等势圆方程：另：由直角坐标系下等势圆方程：井像与真实井间的距离整理整理为使偏心距为为使偏心距为l,l,半径为半径为r re e的圆为等势的圆为等势圆，得到如下方程组：圆，得到如下方程组：求解
6、求解3.6 3.6 考虑边界效应的镜像反映法考虑边界效应的镜像反映法3.3.供给边缘形状和井所处位置对井产量的影响供给边缘形状和井所处位置对井产量的影响实际边缘实际供给边缘简化示意图中心井直线供给边界直线供给边界附近一口井附近一口井偏心井偏心井油井所处位置对井产量的影响油井所处位置对井产量的影响 其它条件相同时，井距直线边界越近产量越大；对圆形供给其它条件相同时，井距直线边界越近产量越大；对圆形供给边界，偏心距对产量有影响：边界，偏心距对产量有影响：实际边缘实际供给边缘简化示意图 取取 ，计算如下表：，计算如下表：100m1000m说明：说明：偏心井产量比中心井高；偏心井产量比中心井高；011
7、0.1110.251.011.000.500.751.131.081.041.02 偏心距小于偏心距小于0.50.5时，偏心距对产量的影响时，偏心距对产量的影响可以不考虑，偏心距越大产量越高；可以不考虑，偏心距越大产量越高；供给边缘越大，井偏心影响越小。供给边缘越大，井偏心影响越小。3.6 3.6 考虑边界效应的镜像反映法考虑边界效应的镜像反映法二、直线断层附近一口生产井的镜像反映法直线断层附近一口井生产条件分析条件分析 实际油田中的断层是不渗透边界，实际油田中的断层是不渗透边界，由于液流不能穿过不渗透边界，所以，由于液流不能穿过不渗透边界，所以，不渗透边界起着分流线的作用。这种流不渗透边界起
8、着分流线的作用。这种流动条件与无穷大地层中存在等产量两汇动条件与无穷大地层中存在等产量两汇y y轴一侧的流动条件完全相同，因此，二轴一侧的流动条件完全相同，因此，二者的流动规律也应相同。者的流动规律也应相同。直线断层附近一口井的反映汇点反映法汇点反映法 在求解直线断层附近一口生产井生产的渗流问在求解直线断层附近一口生产井生产的渗流问题时，题时，可以直线断层为镜面，在其另一侧反映出一可以直线断层为镜面，在其另一侧反映出一口对称、等产量、同号的镜像口对称、等产量、同号的镜像，把问题转化，把问题转化为无穷为无穷大地层中存在等产量两汇大地层中存在等产量两汇来求解，所得解的一部分来求解，所得解的一部分即
9、为所求。即为所求。汇点反映法：汇点反映法：以等产量同号像的作以等产量同号像的作用代替直线断层作用的方法，称为汇用代替直线断层作用的方法，称为汇点反映法。点反映法。其势的分布和产量公式的形式与无穷大地层中存在等产量两汇的公式形式完全一样。综上所述，简单边界的镜像反映就是：综上所述，简单边界的镜像反映就是：对称（位置）、等强度（虚实井产量相等）、对称（位置）、等强度（虚实井产量相等）、同号（对直线断层）或异号（对供给边界）的同号（对直线断层）或异号（对供给边界）的反映反映。反映完取消边界后，。反映完取消边界后，地层中的渗流场不地层中的渗流场不变变，即原边界所在位置仍然保持边界存在时的，即原边界所在
10、位置仍然保持边界存在时的渗流条件。渗流条件。3.6 3.6 考虑边界效应的镜像反映法考虑边界效应的镜像反映法三、复杂三、复杂直线边界的直线边界的镜像反映法镜像反映法成直角的两断层中间一口井 反映方法反映方法 井对边界反映时，遵循汇源反映法或汇井对边界反映时，遵循汇源反映法或汇点反映法；点反映法；对井有影响的边界都必须进行镜像反映对井有影响的边界都必须进行镜像反映;井对其中一个边界反映时，必须把其它边井对其中一个边界反映时，必须把其它边界一同反映到边界的另一侧界一同反映到边界的另一侧(或将边界延长或将边界延长););虚拟井对虚拟边界（或延长的边界）也要虚拟井对虚拟边界（或延长的边界）也要反映，直
11、到反映后的井点位置重合，有时需反映，直到反映后的井点位置重合，有时需无数次反映才能取消边界，在反复反映过程中，不能有虚拟井无数次反映才能取消边界，在反复反映过程中，不能有虚拟井落入所研究区域。落入所研究区域。成成120 夹夹角两断层中一口井角两断层中一口井120复杂直线边界镜像反映的适用条件复杂直线边界镜像反映的适用条件虚拟井虚拟井 成成 （n为整数）夹角的两为整数）夹角的两直线断层，能进行反映的条件是：直线断层，能进行反映的条件是：n n为偶数时，井可在所研究区为偶数时，井可在所研究区域中的任意位置；域中的任意位置；n n为奇数时，井只有在所研究区为奇数时，井只有在所研究区域角的平分线上才能
12、反映；域角的平分线上才能反映；成成 （n为整数）夹角的两混为整数）夹角的两混合边界，能进行反映的条件是：合边界，能进行反映的条件是：n应为应为4的倍数。的倍数。复杂直线边界镜像反映的检验方法复杂直线边界镜像反映的检验方法 反映完取消边界后，原渗流场不变，即供给边界所在位置为反映完取消边界后，原渗流场不变，即供给边界所在位置为等势线，断层所在位置为流线，可分别用势的叠加和速度的合成等势线，断层所在位置为流线，可分别用势的叠加和速度的合成方法来验证。方法来验证。成直角的混合边界中间一口井断层断层供给边界供给边界成成60夹角两断层中间一口井夹角两断层中间一口井60镜像反映实例60方法一方法一方法二方
13、法二两平行断层中间一口井两平行断层中间一口井镜像反映实例 反映后成为无穷大地层中多口井，利用势叠加原理求解。反映后成为无穷大地层中多口井，利用势叠加原理求解。直线断层附近两口生产井直线供给边界附近两口生产井圆形供给边界内两口偏心井直线供给边界附近一等产量直线井排圆形供给边界内同心环形井排两平行断层中两平行断层中间多排井生产间多排井生产3.7 3.7 等值渗流阻力法等值渗流阻力法 等值渗流阻力法：利用水电相似原理，以电路图来描绘渗流场，然后应用电路定律求解，称这种方法为等值“渗流阻力法”。一、水电相似原理 水电相似原理：水（流体）和电是两种不同的物质，但它们的流动可用同一种数学模型来描述，称之为
14、水电相似原理。渗流和电流流动的比较渗流和电流流动的比较单相不可压缩流体稳定渗流单相不可压缩流体稳定渗流没有电容的电流流动没有电容的电流流动达西定律达西定律欧姆定律欧姆定律渗流速度渗流速度连续性方程：连续性方程：基本微分方程：基本微分方程：电流密度电流密度 水电相似原理的应用 电模拟实验。在实验室中，用电场中电流的流动来模拟各种边界条件下地下流体的渗流。打开程度不完善电模拟实验装置平面径向渗流模型生产井供给边界铜棒环形铜片 用电场中电流的流动定律来研究地下流体的渗流问题。低电位高电位3.7 等值渗流阻力法二、等值渗流阻力法（应用方法）包含两方面的内容：将复杂的实际流动看成若干简单流动的组合；用电
15、路图来描述渗流过程，并建立渗流方程。3.7 等值渗流阻力法1.两种简单流动供给边界排液道平面径向流单相流电路图电路图3.7 等值渗流阻力法2.地层中布平行的一排生产井和一排注水井一排井井数为n单井产量为q一排井产量为Q生产单元生产单元实际的渗流形态 实际流动的简化简化的渗流形态简化 实际的流动形态可看成三段简单流动的组合：第一段：注水井井底到注水井坑道的平面径向流，其阻力称为注水井内阻，表示为 ；第二段：注水井坑道到生产井坑道的单向流，其阻力称为井排间外阻，表示为 ；第三段：生产井坑道到生产井井底的平面径向流，生产内阻 。注水井坑道生产井坑道 电路图及电路方程简化的渗流形态流量为q电路图 由克
16、希霍夫电路定律得：坑道半径 渗流阻力的确定：外阻：内阻：先由每口井控制区域宽度等于坑道周长来确定坑道半径。即：假想平面径向流阻力公式 则得到单口井内阻为：井排产量n个阻力并联井排电路图 井排外阻：由阻力并联得整个井排内阻：由克希霍夫电路定律得：则井排产量为：3.7 等值渗流阻力法3.圆形供给边界的地层中布一环形井排环形井排井数为n生产单元生产单元实际的渗流形态简化的渗流形态简化 实际的流动形态可看成两段简单流动的组合：供给边界到生产井坑道为扇形区域中大的平面径向流，其阻力为：生产单元 实际流动的简化 生产坑道到生产井井底的小平面径向流。先由每口井控制区域的弧长等于坑道周长确定坑道半径：坑道半径
17、 则得到单口井内阻为：圆形供给边缘到环形井排电路图 由克希霍夫电路定律得：则环形井排产量：环形井排井数为n 环形井排产量 供给边界到半径为 的大井，整个 区域上的渗流阻力（外阻）为：整个环形井排内阻：3.7 等值渗流阻力法三、等值渗流阻力法在多排井上的应用 等值渗流阻力法应用于多排井时要求：同一排井上，各井井距、井半径相同，各井井底压力、井产量相等。例3-7 设有一个三面封闭，一面有液源供给的带状油藏，有三排井同时生产，求产量或求井底压力。解答：.绘出电路图电路图 .计算渗流阻力 .根据电路图，由电路定律分别对每个回路列方程：电路图 求解可得产量或井底压力。列方程说明：可选取不同的回路来列方程
18、，但每个回路必须有新的支路参加；当选定的压力降方向与流量方向相反时，则该支路所对应项的前面应加负号；流量Q的流向可以任意假定，只要满足流入各节点流量的代数和为零即可，当解出的产量为负时，说明实际的流动方向和假定的方向相反。例3-7 带状油藏中两排注水井中间有三排井，求产量或求井底压力。解答：设中间井排为分流井排。则：.绘出电路图电路图 .计算渗流阻力 .列方程 例3-8 相交90的两直线断层，角部有一口注水井，中间有两排生产井一排注水井，外面是供给边缘，求产量或求井底压力。解答：每排生产井都由两面供液。.绘出电路图电路图 .计算渗流阻力 外阻：内阻：.列方程 1.如图所示，三面封闭一面有液源供
19、给的带状油藏中一口井以定产量 生产，试确定井底压力 的表达式，并画出其镜像反映结果图。PePwPwPwPwRin1Q1Q2Rin2Q3Rin3Q4Rin412343.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用复变函数的简单复习 复数：对于任意二实数x、y，称z=x+iy为复数。有如下表示方法：复平面上的坐标点：z=x+iy；复平面 复平面上过原点指向点（x,y）的向量；三角函数形式：指数函数形式：复变函数：设有一复数z=x+iy的集合G，如果有一确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每个复数z，就有一个或几个相应的复数w=u+iv随着确定，那么称复变数w是复变数z的函数（复变函数），表示为：
20、w=f(z)。定理一：函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在其定义域D内解析的充要条件是：u(x，y)、v(x，y)在D任一点(x，y)可微，且满足柯西-黎曼条件：定理三：如果f(z)=u(x，y)+iv(x，y)是解析函数，那么 必互相正交。解析函数的导数：定理二：任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程：3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用一、用复势描述平面渗流场1.势函数、流函数与复势等压线流线平面径向流渗流场图势函数等势线方程 流线能否也用相应的函数来描述 表征流线特征的函数称为流函数，用 表示。流线方程 势函数与流函数的关系：沿流线取流函数全微分：沿流线所取微小长度
21、单元 由流速和其分速度组成的三角形与微小长度单元和其x、y轴方向上的投影组成的三角形相似得：即：流线满足的方程 比较式和式有：又由达西定律微分：对比、式则：势函数与流函数满足柯西-黎曼条件 以势函数为实部、流函数为虚部构成的复变函数：是解析函数，称此解析函数为平面渗流场的复势。任一平面单相不可压缩液体的稳定渗流都可用复势来描述。即：若求出了平面渗流场的复势，分解出实部和虚部，就可得到该渗流场的势函数和流函数，则整个渗流场的渗流规律和特征就清楚了。3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用2.复势与复速度的关系 平面渗流场（向量场）可用复变函数表示为：称v(z)为平面渗流场的复速度。其模 表示渗
22、流速度的大小。由柯西-黎曼条件所以：或：负的共轭复速度负的复势导数的共轭3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用二、复势的叠加原理1.单向流的复势 单向流各点的运动速度相等为：复速度为：由复势与复速度的关系得：积分得：单向流的复势 其中：复常数 分开实部和虚部：可得：势函数 流函数 等势线方程：流线方程：其中A、B为常数。流线等势线3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用2.平面点汇和点源的复势 有两种确定无穷大地层中一点汇生产所形成平面渗流场复势的方法：方法：利用复势与复速度的关系求复势。复平面上任一点z的复速度：积分得：复常数无穷大地层中点汇生产所形成平面渗流场的复势 对点源：分开实部
23、和虚部。势函数 流函数 若点汇或点源不在坐标原点，在复平面上 处。则所形成平面渗流场的复势为：方法：利用柯西-黎曼条件求复势。势函数 由柯西-黎曼条件得：求导积分对x求导又：代入得或：所以复势为：3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用3.复势叠加原理 复势叠加原理：多井同时工作时，所形成平面渗流场的复势等于各井单独工作时形成复势的代数和。即：势函数 流函数3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的应用三、复势理论在解决多井生产问题中的应用1.平面上等产量一源一汇的问题等产量一源一汇 由复势的叠加原理：分开实部和虚部。势函数 流函数 等势线方程：流线方程：或：3.8 复变函数理论在平面渗流问题中
24、的应用2.平面上等产量两汇的问题等产量两汇 分开实部和虚部。将z=x+iy代入上式得：则：势函数 流函数等势线方程：流线方程：例3-9 相交90的两直线断层的地层中有一口生产井生产，求所形成平面渗流场的复势、势函数、流函数。解答：由复势的叠加原理，地层中任一点z的复势为：势函数：流函数：3.9 平面渗流场的保角变换求解方法一、保角变换（映射）的概念 保角变换：变换前后，两条相交曲线之间的夹角不变。解析函数所作的变换是保角变换。变换前后的对应关系 变换前后的模及复角间的关系：对变换函数求导：z平面上的线段dz变换到 平面上的线段 ，其模扩大M倍，旋转 角。变换前后井半径的关系：变换前后井产量不变
25、。对解析函数求导：3.9 平面渗流场的保角变换求解方法二、保角变换在平面渗流场中的应用以两平行断层中间一口井生产为例。割线上岸割线下岸 由复势的叠加原理，平面上的复势为：则在z平面上的复势为：由于：所以有：为无穷大地层中井距为2a，等产量的一排生产井的复势。对于注水井排其复势为：可利用复势叠加求多排井的复势和油井产量。思考题1.什么是稳定渗流？写出单相液体稳定渗流的基本微分方程。2.有哪些方法可得到稳定渗流渗流规律？3.什么是渗流场图？画渗流场图时应作何规定？4.由单向流和平面径向流的压力分布曲线，说明其压力消耗的特点？5.写出单向流和平面径向流的渗流阻力，并说明其物理意义？6.写出平面径向流的产量公式，并说明提高油井产量的途径？7.什么是水动力学完善井？油井的不完善有哪几种表示方法，其关系是什么？8.什么是稳定试井？其指示曲线有哪几种典型情况，产生的原因是什么？9.什么是采油指数？其物理意义是什么？10.什么是多井干扰现象？其实质是什么？11.写出势叠加原理的数学表达式。12.等产量一源一汇和等产量两汇形成渗流场的特点是什么？有何特殊现象。13.什么是汇点反映法和汇源反映法？遵循的原则是什么？14.什么是等值渗流阻力法？什么是水电相似原理？15.分别写出直线井排和环形井排的内阻和外阻。