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1、第第4章章 一阶动态电路分析一阶动态电路分析 4.1 电压和电流初始值的计算电压和电流初始值的计算 4.2 RC电路的响应电路的响应 4.3 RL电路的响应电路的响应 4.4 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法 *4.5 微分电路和积分电路微分电路和积分电路 本章小结本章小结 4.1 电压和电流初始值的计算电压和电流初始值的计算4.1.1 动态电路的概念动态电路的概念 实际上，电路中除了电阻元件以外，常用的还有电容元件和电感元件，由于电容元件和电感元件的伏安特性为微分或积分关系，当电路发生变化时，由于电容和电感是储能元件，其电流、电压的变化不会即刻完成，需要一个过渡过程，所以我们把电容和电感
2、称为动态元件，含有动态元件的电路称为动态电路。若描述动态电路的方程为一阶微分方程，就称这个电路为一阶动态电路，简称一阶电路。我们首先观察一个实验现象，在图41所示电路中，电感、电容与灯泡组成了三条支路，Us是直流电压源，S为电源开关。开关S断开时，三条支路都没有电流，这是一种稳定状态。当开关S闭合时，白炽灯EL1立刻正常发光，说明这一支路很快进入新的稳定状态；与电感串联的白炽灯EL2逐渐变亮，经过一段时间达到与白炽灯ELl同样的亮度，说明该支路经历了一个明显的过渡过程；白炽灯EL3一闪亮后就渐渐变暗，然后就不亮了，说明电容支路也经历了过渡过程。白炽灯ELl是个纯电阻，设其阻值为RL。开关S闭合
3、后，该支路电流立刻达到稳定值 ，其电流随时间基本不变，如图42所示。白炽灯EL2与电感串联，开关S闭合后，由于电感对电流的阻碍作用，电流I2由零逐渐增大，最后电路达到稳定状态，所以白炽灯EL2逐渐变亮，最后和ELl同样亮，电流变化如图42所示。白炽灯EL3与电容串联，开关S闭合后，由于电容的储能作用，电容两极板间的电压从零逐渐增大到Us，电容器被充电，流过电容的电流I3由最大值逐渐减小到零，最后电路达到稳定状态，所以白炽灯EL3由最亮逐渐变暗，最后熄灭，电流变化如图42所示。分析电感和电容的性质可知电感和电容是储能元件，能量不能突变，这是产生动态过程的原因。图41 过渡过程演示电路 图4.2
4、三条支路中电流曲线4.1.2 换路定律换路定律 为分析方便，我们约定换路时刻为计时起点，即t0；并把换路前的最后时刻记为t ，换路后的初始时刻计为t 。、0、实质上是三点合一，但有区别，我们约定换路瞬间是不花费时间的。由于动态元件的储能不能突变，所以对电容元件换路前后的储能应相等，换路前后电容元件的储能分别为：而电容C是常数，所以就有同样，电感元件在换路前后的储能为他们也应相等，而电感L是常数，所以就有注意：此电路与原动态电路只在 瞬间等效；等效电路是一个电阻电路。(4)由 等效电路，求各元件的电压和电流初始值。特别注意，电阻上的电流、电压；电容上的电流；电感上的电压在换路时是可以跃变的。例例
5、4.1 在图43（a）所示的电路中，直流电压源的电压Us10V，R15，R23，开关S合上前电容电压 为零。在 时合上S，试求各 的初始值。（a）原电路图（b）时的等效电路 （c）时的等效电路图4.3 例4.1的图解解 因为开关S合上前电容没有接入电路，则如电路如图4.3（b）所示，则有根据换路定律得开关S闭合后，电容C接入电路，画出其 时刻的等效电路如图4.3（c）所示。可求得因 故有 0，V 2A，2A 例例4.2 在图4.4（a）所示的电路中，U10V，R12，R23，R36。换路前电路己稳定，t=0时，开关S闭合，试求电路中 的初始值。原电路图（b）时的等效电路 （c）时的等效电路图4
6、.4 例4.2的图4.2 RC电路的响应电路的响应 电阻电路没有独立源就没有响应；而动态电路即使没有独立源，只要电容元件的电压或电感元件的电流不为零，就会由他们的初始储能引起响应。我们把动态电路在没有独立电源作用下产生的响应称为零输入响应，即无电源激励，输入信号为零；如果换路前储能元件没有储能,仅由外加激励引起的响应叫做零状态响应。4.2.1 RC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 （a）（b）图4.5 RC串联电路的零输入响应 RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。如图4.5(a)所示的RC串联电路，在换路前，开关S是合在位置1上的，电源对电容元件充电。在t=0时将开关从位
7、置1合到位置2，使电源脱离电路，此时，电容元件已储有能量，其上电压的初始值uC(0+)=US；于是电容元件经过电阻R开始放电，电路如图4.5(b)所示。此后电容电压不断下降，其所储存的能量由电能转变为热能。由图4.5(b)列KVL方程：而 代入上式可得整理上式得 (4.2)式(4.2)是关于uC（t）的一阶常系数线性齐次微分方程，由微分方程的概念，得出该微分方程的通解为例例4.3 供电局向某企业供电电压为10kV，在切断电源瞬间，电网上遗留有 kV的电压。已知送电线路长L30km，电网对地绝缘电阻为 500M，电网的分布每千米电容为 ，求（1）拉闸后1分钟，电网对地的残余电压为多少？（2）拉闸
8、后10分钟，电网对地的残余电压为多少？解解 电网拉闸后，储存在电网电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电，这是一个RC串联电路的零输入响应问题。电网总电容为：放电电阻为：时间常数为：电容上的初始电压为：电容放电过程中，电压变化的规律为 V，故，由此可见，电网断电，电压并不是立即消失。电网断电经历1分钟，仍有8.6kV的高压，断电10分钟，仍有95.3V的电压。解得式中，A为积分常数，由电路的初始条件确定。由换路定律有所以电容器两端的电压为 V，(4.5)电阻两端的电压为 V，(4.6)电容电流为A，(4.7)式中 =RC为时间常数，单位是（s），反映了电容器的充电速率。越大，充电过程越缓慢；越小
9、，充电过程越快。，、在瞬态过程中随时间变化的曲线，如图4.8所示。图4.8 RC串联电路零状态响应波形例例4.4 在图4.7所示的电路中，开关S闭合前，电容C未储能，已知US10V，R1M，C10 F，试求：（1）电路的时间常数 ；（2）开关S闭合10s时，电容两端的电压(t)。解解（1）时间常数 10s （2）开关S闭合后，电源对电容C充电，电容充电的规律为 V，t10s时 6.32V 例例4.5 在图4.9(a)所示的电路中，开关S处于1的位置，电路已处于稳态；当t0时，开关换路至2的位置，试求电容上的电压 。已知：R3k，C3F，U13V，U25V。(a)(b)图4.9 例4.5的图解解
10、（1）求初始值和时间常数 当t0时，有 V由换路定律有 3V电路时间常数 s2）由式(4.3)得电容电压的零输入响应为 V，(3)换路后，等效电路如图4.9(b)所示。由式(4.5)得电容电压的零状态响应为 V，(4)电容电压的全响应为 V，4.3 RL电路的响应电路的响应4.3.1 RL串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应图4.10 RL串联电路的零输入响应 如图410所示的RL串联电路，开关S原来合在位置1上，电感中有电流。在 时刻，将开关S从位置1合到位置2上，使电路脱离电源，RL电路被短接，此时，由于电感元件中已储有能量，其中电流的初始值，电感L将通过电阻R释放能量。根据KVL得
11、解得 A，(4.9)V，(4.10)V，式中，时间常数 ,L的单位取（H），R的单位取（），的单位为秒(s)。，随时间变化曲线如图4.11所示。图4.11 RL串联电路的零输入响应波形 可见，电感线圈在放电时，其电流是按指数规律衰减，衰减的快慢由时间常数 决定。时间常数越大，衰减得越慢，反之越快。时间常数与自感系数L成正比，与电阻R成反比，其物理意义是：在电流Io一定时，L越大，储能就越多，释放完所储能量需要的时间就越长，即暂态过程越长；R越大，电流的初始功率损耗I2oR就大，能量释放越快，暂态过程越短。RL串联电路实为一线圈的电路模型，如果在图4.10电路中，开关S将线圈与电源直接断开而不是
12、短接，电路的情况又如何呢？当电源与线圈断开的瞬间，由于电感中的电流不能突变，而在断开的瞬间电流要一下子下降到零，这时电流的变化率 很大，当线圈的自感系数L很大时，线圈中的自感电动势就很大，这个自感电动势将击穿开关两触点之间的空气造成电弧以延缓电流的中断，此时不仅触点会被电弧烧坏，对人身也会带来伤害。因此在具有大电感的电路中，不能随便拉闸，并需要采取一些防止拉闸产生电弧的措施：（1）在RL电路与电源断开的同时接通一个低值泄放电阻R,如图4.12（a）所示，通常RR，这样在线圈两端就不会出现过电压，同时也便于加速线圈的放电过程。（2）将R改成二极管，如图4.12（b）所示，利用二极管的单向导电、正
13、向电阻小的特点，在开关S处于1位置时，二极管处于截止状态，电流由电源流向线圈，在开关S处于2位置时，电感线圈中的电流通过二极管构成放电回路，形成线圈的放电过程。例例4.6 发电机中用来产生磁场的线圈通常电感较大，线圈有一定的电阻，因此实际它是一个RL串联电路，如图4.13所示。其中可变电阻Rf是用来调整电流的，当将电源开关断开时，为了不让电弧烧坏开关触点，在开关处于2位置时，接通泄放电阻R。己知电源电压Us220V，L5H，R60，Rf40，如果要使线圈两端的电压不超过电源电压，则R应选多大？图4.13 例4.6 的图图4.13 例4.6 的图解：解：电路换路前，Rf调到最大值(40)，线圈中
14、的电流为在t0时，将开关合到位置2，由于电感中的电流不能突变，即此时线圈两端的电压即为Rf和R上的电压降之和，其绝对值为所以R604.3.2 RL串联电路的零状态响应串联电路的零状态响应 图4.14 RL串联电路零状态响应电路 如图4.14所示的RL串联电路与直流电源连接，开关S断开时电路处于稳态，且L中无储能。在开关S闭合的瞬间，此时RL串联电路与外激励接通，电感L将不断从电源吸取电能转换为磁场能储存在线圈内部。当S闭合后，由KVL及元件的伏安关系得 ，得电路的微分方程为 (4.11)解得根据换路定律，解得电流A，(4.12)电感电压为V，(4.13)式中时间常数 。越大，电路达到稳定值所需
15、要的时间就越长。根据数学表达式，做出 随时间变化的曲线，如图4.15所示。4.3.3 RL电路的全响应电路的全响应 如果RL串联电路既有初始储能，又有外加激励，这样的响应就是RL电路的全响应。在计算全响应的时候也可以参照RC电路全响应的计算方法，即全响应零输入响应零状态响应如图4.14所示电路，如果电感L在S闭合前就具有电流，换路后初始条件由式(4.9)得电感电流的零输入响应为 A，由式(4.12)得电感电流的零状态响应为 A，故得电感电流的全响应为 A，(4.14)例例4.8 在图4.16(a)所示的电路中，开关S处于1的位置，电路已处于稳态；当t0时，开关换路至2的位置，试求电感中的电流
16、。己知R2，L20mH，U110V，U220V。图4.16 例4.8 的图解解（1）求初始值和时间常数 当t0时，有 A由换路定律有 5A电路时间常数 s(2)由式(4.9)得到电感电流的零输入响应为 A，当电路中的电源都是恒定的直流电源时，一阶电路的过渡过程通常是电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且是按照指数规律逐渐趋向新的稳态值。指数曲线弯曲程度与反映趋向新稳态值的速率与时间常数密切相关。这样，我们找出一种方法，只要知道换路后的稳态值、初始值和时间常数这三个要素就能直接写出一阶电路过渡过程的解，这就是一阶电路的三要素分析法。若用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示该量的初始值，f()表
17、示该量的新稳态值，表示电路的时间常数，则三要素表示法的通式为 (4.15)当f()=0时，上式f(t)=f(0+)e-t/，此为零输入响应。当f(0+)=0时，上式f(t)=f()-f()e-t/，此为零状态响应。只要知道这三个量就可以根据式（4.15）直接写出一阶电路瞬态过程中任何变量的变化规律。在同一电路中，各条支路电流和电压变化规律的时间常数 都是相同的。在RC电路中，；在RL电路中，。式中R为从L或C两端看进去的等效电阻，可用戴维南定理求得。4.4.2 三要素分析法三要素分析法 式(4.15)对求电容、电感、电阻的电流、电压都是适用的。但是，其中的 ，只有 ，可直接由换路定则求得，而电
18、容中的电流、电感上的电压、电阻中的电压只能在换路后，应用电路的基本定律或其他方法分析求得。，三者统称为一阶电路的全响应的三要素。分别计算出三要素，代入式(4.15)直接求得响应的方法称为三要素法。三要素法解题的一般步骤是：（1）画出换路前（t0）的等效电路。求出电容电压uC(0)或电感电流iL(0)；（2）根据换路定律uC(0+)=uC(0)，iL(0+)=iL(0)，画出换路瞬间（t=0+）时的等效电路，求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+)，即f(0+)；（3）画出t=时的稳态等效电路（稳态时电容相当于开路，电感相当于短路），求出稳态下响应电流或电压的稳态值i（）或u()，即f(
19、)；（4）求出电路的时间常数。RC或L/R，其中R值是换路后，从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻；（5）根据所求得的三要素，代入式（4.15）即可得响应电流或电压的瞬态表达式。例例4.9 电路如图4.17（a）所示，已知Us18V，R13k,R26k,C=10uF，开关S闭合前，电路已处于稳态，在t0时刻将开关S闭合，试用三要素法求电容电压 变化规律，并画出 随时间变化的曲线。(e)曲线图4.17 例4.9的图 解解（1）求初始值画出换路前（t0）的等效电路如图4.17(b)所示，V 根据换路定律得 V （2）求稳态值画出t=时的稳态等效电路如图4.17(c)所示，电容相当于开路，由换路后的
20、稳定电路求得 V （3）求电路时间常数 求戴维南等效电阻的电路如图4.17(d)所示，可得 电路时间常数为 （4）求 ，由公式(4.15)有 V，变化曲线如图4.17（e）所示。例例4.10 如图4.18（a）所示电路中，换路前电路呈稳态。t=0时，开关S从位置1扳到位置2，求iL(t)和i(t)。(a)原电路图(b)等效电路(c)t=0+等效电路 (d)t=时等效电路 (e)求等效电阻图4.18 例4.10的电路图 解：解：（1）画出t=0时的等效电路，电感L相当于短路，如图4.18(b)所示，由换路定律可得 （2）画出t=0+时的等效电路，如图4.18（c）所示，由KVL得由KCL得解得(
21、3)画出t=时的等效电路，如图4.18(d)所示，（4）画出电感开路时求等效内阻的电路，如图4.18（e）所示。(5)由公式(4.15)有 由上述例题可见，三要素法是普遍实用的一种方法。不过公式(4.15)只能适用于直流电源激励的一阶电路。*4.5 微分电路和积分电路微分电路和积分电路4.5.1 微分电路微分电路 在脉冲技术中，常用尖脉冲作为触发信号。微分电路可以把方波变为尖脉冲。微分电路如图4.19（a）所示。在t0时，将开关S合到位置a，使电路与电源接通，电容充电；在tt1时，将开关S合到b位置上，电容放电，这样，在输入端实际得到的是如图4.19（b）所示的一个矩形脉冲电压。在实际电路中，
22、不是利用开关，而是在输入端直接输入一个矩形脉冲电压，矩形脉冲电压的幅度为U，脉冲宽度为tp，如果是周期性的，则脉冲周期为T。实际微分电路如图4.19（c）所示。图4.19 微分电路 在t0至t1这段时间内，输入矩形脉冲电压的幅度为U，对电容器充电；在tt1至t2这段时间内，输入矩形脉冲电压的幅度为零，电容器通过电阻放电。矩形脉冲电压对RC电路的作用，就是使RC电路不断充电、放电的过程。要组成RC微分电路，必须满足两个条件：（1）取电阻两端的电压为输出电压；（2）电容器充放电的时间常数 远小于矩形脉冲宽度tp。因为电阻与电容串联，因此电阻两端电压也按指数规律变化。输入电压波形如图4.20(a)所
23、示，当矩形脉冲电压到来时，由于电容两端的电压不能突变，所以输出电压 。由于 tp，则在到达t1之前，电容器充电过程很快结束，即电容器两端电压 ，而电阻两端电压 很快下降到零。在tt1时刻，电容器要通过电阻放电，同样，由于 很小，在下一个脉冲电压到来之前，电容器的放电已经结束，所以输出电压为两个极性相反的尖脉冲，如图4.20(b)所示。图4.20 选取不同的微分电路时间常数的输出波形 改变电路参数RC，可以改变时间常数 。输出电压uo的波形与电路的时间常数和脉冲宽度tp的大小有关。改变 和tp的比值，电容元件充电、放电的快慢就不同，输出电压的波形也就不同，如图4.20所示。当 tp时，输出电压波
24、形如图4.20(c)所示，为一个尖脉冲；当tp时，电容器充放电很慢，输出电压uo接近输入电压ui的波形，如图4.20(d)所示，它常用于多级放大电路的阻容耦合电路中。经过推导可得 由此可见，输出电压 与输入电压 近似为微分关系，因此这种电路称为微分电路 4.5.2 积分电路积分电路 在脉冲技术中常需要将矩形脉冲信号变为锯齿波信号，作扫描等用。这种变换可用积分电路完成。积分电路也是RC串联电路，但条件正好与微分电路相反，组成积分电路的条件为：（1）取电容两端的电压为输出电压；（2）电路的时间常数 远大于矩形脉冲宽度tp。(a)(b)图4.21 矩形脉冲作用于积分电路 积分电路如图4.21(a)所
25、示，输入电压波形如图4.21(b)所示。当矩形脉冲电压由零跳变到U时，电容器开始充电；由于时间常数 很大，电容器两端电压 在0至t1这段时间内缓慢增长，还没达到U时，矩形脉冲电压已由U跳变到0，电容器通过电阻缓慢放电，逐渐下降，在输出端得到一个近似锯齿波的电压，如图4.22所示。时间常数 越大，充放电越缓慢，所得的三角波电压的线性也就越好。图4.22 矩形脉冲作用于积分电路的输出波经过推导可得 由上式可见，输出电压 与输入电压 近似为积分关系，因此这种电路称为积分电路。本章小结本章小结（1）电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等），统称为换路。含有储能元件的电路如果发
26、生换路，电路将从换路前的稳定状态经历一段过渡过程达到另一新的稳定状态。（2）换路定律：电路换路时，各储能元件的能量不能跃变。具体表现在电容电压不能跃变；电感电流不能跃变。换路定律的数学表达式为 uC(0+)=uC(0)iL(0+)=iL(0)(3)描述动态电路的方程是微分方程。利用KCL、KVL和元件的VAR可列出待求响应的微分方程。利用换路定律和 等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。(4)零输入响应是激励为零，由电路的初始储能产生的响应，它是齐次微分方程满足初始条件的解。零状态响应是电路的初始状态为零，由激励产生的响应，它是非齐次微分方程满足初始条件的解，包含齐次解和特解两部分。假设
27、电路的初始状态不为零，在外加激励电源作用下，电路的响应为完全响应，它等于零输入响应与零状态响应之和。动态电路的响应也可以分为自由响应与强迫响应。对于稳定电路，在直流电源或正弦电源激励下，强迫响应为稳态响应，它与激励具有相同的函数形式。自由响应即为暂态响应，它随着时间的增加逐渐衰减到零。(5)利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源或阶跃信号作用下的电路响应。三要素公式为 （t0）求三要素的方法为 初始值 ：利用换路定律和等效电路求得。稳态响应 ：在直流电源或阶跃信号下，电路达到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应 。时间常数：电路，=；电路，=。式中R为断开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻。（6）要组成RC微分电路，必须满足两个条件：取电阻两端的电压为输出电压；电容器充放电的时间常数 远小于矩形脉冲宽度tp。（7）要组成积分电路，必须满足两个条件：取电容两端的电压为输出电压；电路的时间常数 远大于矩形脉冲宽度tp。