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1、投资学投资学 第第7章章优化风险投资组合优化风险投资组合青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月2本章逻辑：本章逻辑：风险资产组合与风险分散化原理风险资产组合与风险分散化原理风险资产组合的优化风险资产组合的优化从资本配置到证券选择从资本配置到证券选择青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月37.1 分散化与投资组合风险分散化与投资组合风险投资组合的风险来源：投资组合的风险来源：来自一般经济状况的风险来自一般经济状况的风险(系统系统风险，风险，systematic risk/nondiversifiable risk)特别因素风险特别因素风险(
2、非系统风险非系统风险,unique risk/firm-specific risk/nonsystematic risk/diversifiable risk)图图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio4青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月67.2 两种风险资产的投资组合两种风险资产的投资组合青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月7情况一：情况一：青岛大学经济学院
3、青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月8情况二：情况二：青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月10组合的机会集与有效集组合的机会集与有效集资产组合的机会集合资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。和方差。有效组合有效组合（Efficient portfolio）：给定风险水）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。下具有最小风险的组合。每一个组合代表每一个组合代表E(r
4、)和和空空间间中的中的一个点。一个点。有效集有效集（Efficient set）：又称为：又称为有效边界有效边界、有有效前沿效前沿（Efficient frontier）,它是有效组合的它是有效组合的集合（点的连线）。集合（点的连线）。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月11命题命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线。是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得证明：由资产组合的计算公式可得青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月13两种完全负相关资产的可行集两种完全负相关资产的可行集两种资
5、产完全负相关，即两种资产完全负相关，即DE=-1，则有，则有青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月15青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月16 两种证券完全负相关的图示两种证券完全负相关的图示收益收益rp风险风险pDE青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月18各种相关系数下、两种风险资产构成的各种相关系数下、两种风险资产构成的资资产组合机会集合产组合机会集合(portfolio opportunity set)D收益收益E(rp)风险风险p=1=1=0.3=0.3=-1=-1E表表7.1 两只共同基金的描述性
6、统计两只共同基金的描述性统计19青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月表表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差通过协方差矩阵计算投资组合方差20青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月表表7.3 不同相关系数下的不同相关系数下的期望收益与标准差期望收益与标准差21青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月图图7.3 组合期望收益为投资比例的函数组合期望收益为投资比例的函数22青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月图图7.5 投资组合的期望收益投资组合的期望收益为标准差的函数为标准差的函数
7、24青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月257.3 资产在股票、债券与国库券之间资产在股票、债券与国库券之间的配置的配置p组合方法：组合方法：两项风险资产先组合形成新两项风险资产先组合形成新的风险资产组合，然后再向组合中加入无的风险资产组合，然后再向组合中加入无风险资产风险资产p形成的形成的资本配置线资本配置线(CAL)中斜率最高的，中斜率最高的，效用水平最高效用水平最高图图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可债券与股票基金的可行集和两条可行的行的CALs26青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗
8、强张宗强 2009年年9月月图图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio28青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月图图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio29青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月31小结：两种风险资产与无风险资产小结：两种风险
9、资产与无风险资产组合的配置程序组合的配置程序p确定各类证券的收益风险特征确定各类证券的收益风险特征p建造风险资产组合建造风险资产组合 根据式根据式(7-13)计算最优风险资产组合计算最优风险资产组合P的构成比例的构成比例根据式根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合计算资产组合P的收益风险特征的收益风险特征p配置风险资产组合和无风险资产配置风险资产组合和无风险资产根据式根据式(7-14)计算风险资产组合计算风险资产组合P与无风险资产的组合权与无风险资产的组合权重重计算最终投资组合中具体投资品种的份额。计算最终投资组合中具体投资品种的份额。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009
10、年年9月月327.4 马科维茨的资产组合选择模型马科维茨的资产组合选择模型均值均值-方差（方差（Mean-variance）模型是由）模型是由Harry Markowitz于于1952年建立的，其目的是寻找年建立的，其目的是寻找投资投资组合的有效边界。组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据投资组合比较的占优原则，这可因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化）给定收益的条件下，风险最小化（2
11、）给定风险的条件下，收益最大化）给定风险的条件下，收益最大化青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月33青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月34对于上述带有约束条件的优化问题，可以对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子和和来解决这一优化来解决这一优化问题。构造问题。构造拉格朗日函数如下拉格朗日函数如下上式左右两边对上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件求导数，令其一阶条件为为0，得到方程组，得到方程组青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月35和方程和方程 青岛大学经济学院青岛大学经
12、济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月36这样共有这样共有n2方程，未知数为方程，未知数为wi（i1，2,n）、）、和和，共有，共有n2个未知量，其解个未知量，其解是存在的。是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。过线性代数加以解决。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月37正式证明正式证明:n项风险资产组合有效前沿项风险资产组合有效前沿假定假定1：市场上存在：市场上存在 种风险资产，令种风险资产，令代表投资到这代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：种资产上的财富的相对份额，则有：且卖空不受限制
13、，即允许且卖空不受限制，即允许2.也是一个也是一个n维列向量，它表示每一种资维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益产的期望收益率，则组合的期望收益青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月383.使用矩阵使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有表示资产之间的方差协方差，有注：方差协方差矩阵是注：方差协方差矩阵是正定、正定、非奇异非奇异矩阵。所以，矩阵。所以，对于任何非对于任何非0的向量的向量青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月39青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月40其中，其中，是所有元素为是
14、所有元素为1 1的的n n维列向量。维列向量。由此构造由此构造LagrangeLagrange函数函数青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月41因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，又是充分条因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，又是充分条件件0=0,0,0T青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月42青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月43青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月44青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月45青岛大学经济学院青岛大学经济学院
15、 张宗强张宗强 2009年年9月月46有效组合集的几何特征有效组合集的几何特征性质：有效组合集是均方平面上的双曲线性质：有效组合集是均方平面上的双曲线青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月47青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月48青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月49这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（方差曲线（min variance curve）。双曲线的中）。双曲线的中心是（心是（0，A/C），渐近线为），渐近线为青岛大学经济学院青岛大学经济学
16、院 张宗强张宗强 2009年年9月月50g点是全局最小方差组合点（点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point）均值均值方差方差wg青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月51注意点注意点wg以下的部分，由于它违背了均方以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点小方差点wg以上的部分（子集），被称为以上的部分（子集），被称为均方效率边界均方效率边界(mean-variance efficient frontier)均值均值方差方差wg青岛大学经济
17、学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月52不同理性投资者具有不同风险厌恶程度不同理性投资者具有不同风险厌恶程度青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月53结合投资者效用曲线的最优组合选择结合投资者效用曲线的最优组合选择最优资产组合位于无差异曲线最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切与有效集相切的切点处。由点处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月54资产组合理论的优点资
18、产组合理论的优点首次对风险和收益进行精确的描述，解决首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。组合的风险。开创了数量分析方法在金融学当中的应用开创了数量分析方法在金融学当中的应用青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月55资产组合理论的缺点资产组合理论的缺点当证券的数量较多时，计算量非常大，当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型
19、应用受到限制。使模型应用受到限制。均值方差分析的成立条件：收益正态均值方差分析的成立条件：收益正态分布或二次型效用函数分布或二次型效用函数图图7.10 The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets56青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月图图7.11 The Efficient Frontier of Risky Assets with the Optimal CAL57青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月图图 7.12 The Efficient Portfolio Set58青岛大学经济
20、学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月图图7.13 Capital Allocation Lines with Various Portfolios from the Efficient Set59青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月607.4.2 两基金分离定理两基金分离定理（mutual-fund separation theorem）表述：表述：在均方效率曲线上任意两点的线性组合，在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。都是具有均方效率的有效组合。或：有
21、效组合边界上任意两个不同的点代或：有效组合边界上任意两个不同的点代表两个不同的有效投资组合，而其他任意表两个不同的有效投资组合，而其他任意点均可由该两点线性组合生成点均可由该两点线性组合生成几何含义：过两点生成一条双曲线。几何含义：过两点生成一条双曲线。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月61青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月62青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月63两基金分离定理的意义两基金分离定理的意义定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不同的，即
22、收益是不同的，即两基金分离两基金分离。金融含义：金融含义：若有两家基金都投资于风险资产，若有两家基金都投资于风险资产，且经营良好且经营良好(即达到有效边界即达到有效边界)，则按一定比例投，则按一定比例投资于该两基金，可达到投资于其他基金的同样资于该两基金，可达到投资于其他基金的同样结果。这就方便了投资者的选择。结果。这就方便了投资者的选择。CAL、CML实际上是在有风险资产组合和无风实际上是在有风险资产组合和无风险资产组合之间险资产组合之间又进行了一次两基金分离又进行了一次两基金分离。此。此时投资者仅需确定时投资者仅需确定一个有风险组合一个有风险组合，即可达到即可达到各种风险收益水准的组合。资
23、本配置更加方便。各种风险收益水准的组合。资本配置更加方便。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月64分离定理对组合选择的启示分离定理对组合选择的启示v若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策）和资产选择决策（Asset allocation decision）。）。v资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。合之间的分
24、配。v资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。风险资产构成资产组合。v基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。定最优的风险组合。青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月657.4.3 分散化的力量分散化的力量表表7.4 Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios in Correlated and Uncorrelated Universes66青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2
25、009年年9月月青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月677.4.4 资产配置与证券选择资产配置与证券选择投资管理的复杂化投资管理的复杂化投资工具的复杂化投资工具的复杂化大规模投资管理的高业绩大规模投资管理的高业绩青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月687.5 风险聚集、风险分担与风险聚集、风险分担与长期投资的风险长期投资的风险保险公司持有大量相互独立的保单，保险公司持有大量相互独立的保单，并不能并不能有效分散有效分散风险，相反却是风险聚集风险，相反却是风险聚集从收益率的角度看，一系列打赌的收益标准差小于从收益率的角度看，一系列打赌的收
26、益标准差小于单次打赌单次打赌从收益金额来看，美元收益的标准差会随着打赌次从收益金额来看，美元收益的标准差会随着打赌次数的增加而增加数的增加而增加即：资产组合的美元方差增大，而收益率方差下降了即：资产组合的美元方差增大，而收益率方差下降了结论：结论：若存在固定的投资预算，要更多地考虑美元方若存在固定的投资预算，要更多地考虑美元方差。亦即简单的风险聚集不能实现风险分担。差。亦即简单的风险聚集不能实现风险分担。7.5 风险聚集、风险分担与风险聚集、风险分担与长期投资的风险长期投资的风险考虑如下保险事件考虑如下保险事件:1 p=.999p=.001Loss:payout=$100,000No Loss
27、:payout=069青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月7.5.1 保险原则与风险聚集保险原则与风险聚集考虑组合方差考虑组合方差:似乎卖掉越多的保险，风险就会被分散，似乎卖掉越多的保险，风险就会被分散，此即保险原则此即保险原则 此种想法的缺点类似于长期股票投资的风此种想法的缺点类似于长期股票投资的风险会变小险会变小70青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月保险原则与风险聚集保险原则与风险聚集Continued将将n个不相关的保单组合到一起，单个保单个不相关的保单组合到一起，单个保单的期望收益的期望收益 额为额为$,则期望总收益与标准则
28、期望总收益与标准差与差与n保持同比例增长保持同比例增长:71青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月7.5.2 风险分担风险分担真正意义上的风险分担是：真正意义上的风险分担是：将一个固定数额的风险在众多投资者中分将一个固定数额的风险在众多投资者中分配配72青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月青岛大学经济学院青岛大学经济学院 张宗强张宗强 2009年年9月月73本章小结本章小结p风险资产组合分散化原理风险资产组合分散化原理pMarkowitz投资组合理论、最优效率边界投资组合理论、最优效率边界p资本配置与证券选择资本配置与证券选择p两基金分离定理两基金分离定理p保险原则保险原则