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1、能量算符和平移算符具有共同的本征函数能量算符和平移算符具有共同的本征函数平移算符彼此对易平移算符彼此对易平移算符和能量算符对易平移算符和能量算符对易周期势场模型下的晶体中，电子波函数为：周期势场模型下的晶体中，电子波函数为：周期势场中的电子的运动状态：周期势场中的电子的运动状态：平移算符的本征值是波矢平移算符的本征值是波矢k的周期函数的周期函数:k=2/a平移算符的本征值及其物理意义平移算符的本征值及其物理意义原胞之间电子波函数位相的变化原胞之间电子波函数位相的变化（2）平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位
2、相差不同（1）简约波矢改变一个倒格子矢量简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符的本征值平移算符的本征值（3）近似条件：周期势场随位置的变化很小，引起的电近似条件：周期势场随位置的变化很小，引起的电子势能比动能小，这种情况下采取子势能比动能小，这种情况下采取“准自由电子准自由电子”近似法，用微扰来处理。近似法，用微扰来处理。5.3准自由准自由电电子近似法子近似法1.零级近似零级近似零级近似的波动方程：零级近似的波动方程：一一.一维情形（非简并态）一维情形（非简并态）零级近似零级近似 微扰微扰零级近似的解为恒定场零级近似的解为恒定场V中的自由粒子的解，即中的自由粒子的解，即本征函数和本征值：本征函数和
3、本征值：L=Na，N为原胞数为原胞数k为本征值的量子数为本征值的量子数零级近似下的解为自由电子，故称为零级近似下的解为自由电子，故称为近自由电子近似近自由电子近似满足归一化条件：满足归一化条件：2、微扰计算、微扰计算 根据微扰理论：根据微扰理论：本征值的一级修正：本征值的一级修正：本征值的二级修正：本征值的二级修正：波函数一级修正：波函数一级修正：求解矩阵元求解矩阵元因为因为V(x)晶格的周期性，所以对整个晶格的积分可以晶格的周期性，所以对整个晶格的积分可以化为对每个原胞积分的和。化为对每个原胞积分的和。第第n个原胞：个原胞：=0按原胞划分按原胞划分:对不同元胞对不同元胞n引入积分变数引入积分
4、变数(1)对应周期场对应周期场V（x）的傅立叶展开得到的第）的傅立叶展开得到的第n个系数个系数(2)一维倒格矢一维倒格矢一级修正得到的电子函数表现出了具有类似于布洛赫函数一级修正得到的电子函数表现出了具有类似于布洛赫函数的形式：的形式：由自由粒子的波函数乘上具有晶格周期性的函数由自由粒子的波函数乘上具有晶格周期性的函数考虑微扰后的波函数考虑微扰后的波函数(k-k=n2/a)当当x变化变化a的整数的整数倍的时候，波函倍的时候，波函数的值不变数的值不变受微扰市场的影响，波函数受微扰市场的影响，波函数 中掺入了满足中掺入了满足 的所有零级近似下的波函数的所有零级近似下的波函数 ，掺，掺入量的大小由入
5、量的大小由k和和k对应的能量之差决定，对应的能量之差决定，能量差越能量差越小，掺入的量越大，即小，掺入的量越大，即k和和k的能级越近，两个波函的能级越近，两个波函数越互相影响数越互相影响。即：此时矩阵元存在，且即：此时矩阵元存在，且k和和k的的能量不相等能量不相等。考虑微扰后的能量（考虑微扰后的能量（k-kk-k=n2=n2/a/a）：）：但是，当但是，当利用非简并态的微扰理论得到的能量二级修正在利用非简并态的微扰理论得到的能量二级修正在n/a附近附近发散，此时应采用发散，此时应采用简并微扰简并微扰。由于修正项一般较小，所以色散关系接近由于修正项一般较小，所以色散关系接近抛物线抛物线形式形式对
6、称的分布在对称的分布在布里渊区边界布里渊区边界总结上述，总结上述，在非简并情况下，利用一般微扰论得在非简并情况下，利用一般微扰论得到，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：到，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：若要两个表达式有意义，级数应该收敛，那么：若要两个表达式有意义，级数应该收敛，那么：说明：说明：（1）|Vn|=|要小，即微扰矩阵元要小；要小，即微扰矩阵元要小；（2）|EkEk,|要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。3.简并微扰计算简并微扰计算（k=n/a，k=-n/a）将能量简并的各状态线性组合构成新波函数作为零级将能量简并的各状态线性组合构成新波函数作为零级近似近似
7、0，代入波动方程，代入波动方程(k和和k)：满足本征方程：足本征方程：假设假设 是简并的，那么属于是简并的，那么属于 的本征值为的本征值为 的本征函数为的本征函数为n个归一化的本征函数个归一化的本征函数:其中取：其中取：带入波动方程：带入波动方程：分别乘以分别乘以 和和 并积分，得到下式：并积分，得到下式：a，b有解的条件是：有解的条件是：讨论：讨论：(设设 )离离 较远较远(1)将能量将能量 按按 展开：展开：只考虑了在微只考虑了在微扰中简并态之扰中简并态之间的相互影响间的相互影响使原来能量较高的使原来能量较高的 态能量提高，原来能量较低的态能量提高，原来能量较低的 态态能量降低。能量降低。
8、但修正项较小，所以能量改变不明显，能量但修正项较小，所以能量改变不明显，能量曲线曲线接近抛物线接近抛物线。(2)即即 接近接近 时时当当 时时将将 按按 展开：展开：(2)不能取两者之间的值。不能取两者之间的值。其能量不连续间隔为：其能量不连续间隔为：(1)电子的能量在布里渊电子的能量在布里渊区界区界 从从 跳变跳变到到 。当当k kn n/a/a，能量曲线断开，能级间发生排斥作用，能量曲线断开，能级间发生排斥作用，产生突变，使准连续的产生突变，使准连续的能级分裂成一系列的带，即能能级分裂成一系列的带，即能带。带。4.4.布里渊区、能带和能隙布里渊区、能带和能隙b b.在准自由电子模型中，由于
9、周期势场的微扰作用，在准自由电子模型中，由于周期势场的微扰作用，波函数具有波函数具有布洛赫函数布洛赫函数的形式，能量有所修正：的形式，能量有所修正：a a.在零级近似下电子被看成自由粒子，能量与波矢在零级近似下电子被看成自由粒子，能量与波矢呈呈抛物线型抛物线型 ，而波函数则是，而波函数则是平面波形式平面波形式。当当k k不在不在n n/a/a附近，能量修正较小；附近，能量修正较小；当当k k在在n n/a/a附近，能量修正值较大；附近，能量修正值较大；c.各能带之间的间隔为各能带之间的间隔为“带隙带隙”或或“能隙能隙”或或“禁带禁带”，能隙大小为，能隙大小为2Vn，在能隙中不存在能级，每，在能
10、隙中不存在能级，每个带大小为一个倒格子原胞长度即个带大小为一个倒格子原胞长度即2/a，包含等于晶，包含等于晶体原胞数目体原胞数目N的状态的状态。d.每一个能量连续区域称为每一个能量连续区域称为布里渊区布里渊区。当。当N很大的时很大的时候，候，k取值密集，可以看成能量准连续。取值密集，可以看成能量准连续。V(x)变化越剧烈，变化越剧烈，Vn越大，能隙越宽。越大，能隙越宽。带带3带带2扩展布里渊区扩展布里渊区带带1第一布里渊区第一布里渊区 带带1第二布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第三布里渊区带带2带带3简单验证：简单验证：每一个能带所占的每一个能带所占的k空间为一个布里渊区：空间为一个布里渊区：
11、每一个能带中每一个能带中k取值可能数取值可能数每一个能带包含每一个能带包含个量子态个量子态考虑考虑自旋自旋e.每个能带包含每个能带包含2N个量子态（个量子态（考虑自旋考虑自旋）的取值：的取值：相邻相邻k取值间隔：取值间隔：每一个能带中的状态数：每一个能带中的状态数：N考虑考虑电子波波矢的周期性电子波波矢的周期性，将各个布里渊区平移，将各个布里渊区平移 ，合并到第一布里渊区，得到合并到第一布里渊区，得到简约布里渊区简约布里渊区；将简约布里；将简约布里渊区图形按周期展开，得到渊区图形按周期展开，得到周期布里渊区；周期布里渊区；带带3带带2带带1周期布里渊区周期布里渊区简约布里渊区简约布里渊区扩展布
12、里渊区扩展布里渊区二二.三维情形三维情形1.零级近似零级近似其中：其中：2.微扰计算微扰计算其中其中(倒格矢倒格矢)有能量跳跃：有能量跳跃：当当或或时，时，从原点出发与从原点出发与GnGn的连线的连线的垂直平分面方程的垂直平分面方程o3.布里渊区和能带交叠布里渊区和能带交叠a.布里渊区布里渊区在在 空间，原点空间，原点 与所有倒格点连线的垂直平分与所有倒格点连线的垂直平分 面将面将 空间分割成的各个区域；空间分割成的各个区域；在布里渊区内，能量准连续变化；在布里渊区内，能量准连续变化；每个布里渊区的大小为：每个布里渊区的大小为：空间的维数空间的维数每个布里渊区每个布里渊区(对应一个能带对应一个
13、能带)所包含电子态数：所包含电子态数：2N在布里渊区边界处，能量发生突变；在布里渊区边界处，能量发生突变；以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布大小大小第一布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第二布里渊区大小大小每个布里渊区的体积相同每个布里渊区的体积相同等于倒空间一个原胞的体积等于倒空间一个原胞的体积原点和原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体 简单立方的第一布里渊区简单立方的第一布里渊区三维情况：三维情况：原点和原点和1212个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体个近邻格点连线的垂直平分面围
14、成的正十二面体体心立方晶体的第一布里渊区体心立方晶体的第一布里渊区原点和原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的体的六个角，形成的14面体面体 八个面是正六边形，六个面是正四边形八个面是正六边形，六个面是正四边形面心立方晶体的第一布里渊区面心立方晶体的第一布里渊区简简立立方方 面面心心立立方方 体体心心立立方方 一区一区 二区二区 三区三区b.能带交叠：能带交叠：不同能带在能量上不能完全分隔开，能不同能带在能量上不能完全分隔开，能带间（主要是相邻能带）发生交叠现象。带间（主要是相邻能带）发生交叠现象。这是三维与一维的一个重要区别这是三维与一维的一个重要区别。说明：说明：B是第二布里渊区能量最低点，与第一布里是第二布里渊区能量最低点，与第一布里渊区边界点渊区边界点A相邻，但能量是断开的，相邻，但能量是断开的，C是第一布是第一布里渊区能量最高点，且里渊区能量最高点，且 ,此时发生能带此时发生能带1与与能带能带2的交叠现象。的交叠现象。带带2带带1EE沿沿OA方向方向BAkCk沿沿OC方向方向