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1、北师大课标九上北师大课标九上3.2(1)3.23.2特殊的平行四边形特殊的平行四边形(1)(1)矩形的性质及判定矩形的性质及判定证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”;(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“果果”索索“因因”);(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程晰地写出证明过程;(6
2、)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.回顾与思考回顾与思考w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.w证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.BDCA四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理定理:夹在两条平等线间的平等线段相等夹在两条平等线间的平等线段相等.
3、MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ平行四边形的性质平行四边形的性质w定理定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.wAB=CD,AD=BC,w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.wAO=CO
4、,BO=DO,w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.wA=C,B=D.w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.平行四边形的判定平行四边形的判定w定理定理:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理定理:等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,wAB=DC,wAC=DB.w在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,wAB=DC,wA=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.等腰梯形的性质等腰梯形的性质定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCD中
5、中,ADBC,A=D或或B=C,AB=DC.定理定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.等腰梯形的判定等腰梯形的判定w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三且等于第三边的一半边的一半.w这个这个定理定理提供了证明线段平行提供了证明线段平行,和线和线段成倍分关系的根据段成倍分关系的根据.模型模型:连接任意四边形各边中点连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形所成的四边形是平行四边形.要重视这
6、个要重视这个模型模型的证明过程反映出来的的证明过程反映出来的规律规律:对角线的关系是关键对角线的关系是关键.改变四边形改变四边形的形状后的形状后,对角线具有的关系对角线具有的关系(对角线相对角线相等等,对角线垂直对角线垂直,对角线相等且垂直对角线相等且垂直)决决定了各中点所成四边形的形状定了各中点所成四边形的形状.wDE是是ABC的中位的中位,DEBCADEBC,ABCHDEFG三角形中位线性质三角形中位线性质w四边形之间有何关系？四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关
7、系吗能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形两组对边两组对边分别平行分别平行有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等一组对边平行另一组对边平行另一组对边不平行一组对边不平行梯形梯形两腰相等两腰相等等腰梯形等腰梯形腰与底垂直腰与底垂直直角梯形直角梯形四边形之间的关系四边形之间的关系w定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是矩形是矩形.w分析分析:由矩形的定义由矩形的定义,利用对角利用对角相等相等,邻角互补可使问题得证邻
8、角互补可使问题得证.证明证明:四边形四边形ABCD是矩形是矩形,A=900,四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.C=A=900,B=1800-A=900,D=1800-A=900.求证求证:A=B=C=D=900.A=B=C=D=900DBCA想一想想一想:正方形的四正方形的四个角都是直角吗个角都是直角吗?矩形的性质矩形的性质w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.已知已知:如图如图,AC,BD是矩形是矩形ABCD的两条对角线的两条对角线.求证求证:AC=BD.证明证明:四边形四边形ABCD是矩形是矩形,AB=DC,ABC=DCB=900.w分析分析:根据矩形的性质性质
9、根据矩形的性质性质,可转可转化为全等三角形化为全等三角形(SAS)来证明来证明.DBCABC=CB,ABCDCB(SAS).AC=DB.矩形的性质矩形的性质w议一议议一议:设矩形的对角线设矩形的对角线AC与与BD交于点交于点E,那么那么,BE是是RtABC中一条怎样的特殊线段中一条怎样的特殊线段?w它与它与AC有什么大小关系有什么大小关系?为什么为什么?DBCAEw由此可得由此可得推论推论:直角三角形斜边上直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的中线等于斜边的一半.wBE是是Rt ABC中中斜边斜边AC上的中线上的中线.wBE等于等于AC的的一半一半.AC=BD,BE=DE,直角三角形的性质直角
10、三角形的性质w已知已知:如图如图,AC,BD是矩形是矩形ABCD的两条对角线的两条对角线,AC,BD相交于点相交于点O,AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长求矩形对角线的长.解解:四边形四边形ABCD是矩形是矩形,BD=2AB=22.5=5(cm).AC=BD,且且DAB=900,DBCAOAOD=1200,ODA=OAD=你认为例你认为例1还可以还可以怎么去解？怎么去解？例题讲解例题讲解w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,A=B=C=900.w分析分析:利用同旁内角互补利用同旁内角互补,两直线
11、平行来证明四边形两直线平行来证明四边形是平行四边形是平行四边形,可使问题得证可使问题得证.证明证明:A=B=C=900,A+B=1800,B+C=1800.ADBC,ABCD.求证求证:四边形四边形ABCD是矩形是矩形.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.DBCA四边形四边形ABCD是矩形是矩形.矩形的判定矩形的判定w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.已知已知:如图如图,在在ABCD中中,对角线对角线AC=BD.求证求证:四边形四边形ABCD是矩形是矩形.DBCAw分析分析:要证明要证明ABCD是矩形是矩形,只只要证明有一个角是直角即可要证明有一个角
12、是直角即可.w证明证明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB,ABCDCB.ABC=DCB.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.ABC+DCB=1800.ABC=900.四边形四边形ABCD是矩形是矩形.矩形的判定矩形的判定w定理定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半半,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.w求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形已知已知:CD是是ABC边边AB上的中线上的中线,且且EABCDw分析分析:要证明要证明ABC是直角三角形是直角三角形,可以点可以点A,B,C构造平行四边形构造平行四边
13、形,然后然后证明其对角线相等证明其对角线相等,即可证明是矩形即可证明是矩形.w证明证明:延长延长CD到到E,使使DE=DC,连接连接AE,BE.四边形四边形ACBE是平行四边形是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD,CE=AB.四边形四边形ACBE是矩形是矩形.AD=BD,CD=ED,ACB=900.ABC是直角三角形是直角三角形.直角三角形的判断直角三角形的判断w定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.推论推论(直角三角形性质直角三角形性质):直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半.w四边形
14、四边形ABCD是矩形是矩形,A=B=C=D=900.DBCADBCAwAC,BD是矩形是矩形ABCD的两条对的两条对w角线角线.AC=BD.在在ABC中中,ACB=900,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.w定理定理:如果一个三角形一边上的中如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半线等于这边的一半,那么这个三角那么这个三角形是直角三角形形是直角三角形.wA=B=C=900,四边形四边形ABCD是矩形是矩形.DBCADBCAwAC,BD是是ABCD的两条对角线的两条对角线,且且AC=DB.四边形四边形ABCD是矩形是矩形.ABCDACB=900.在在ABC中中,AD=BD=CD,矩形的判定矩形的判定独立独立作业作业P97习题3.4 1,2,3题.