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1、高中数学总复习教学案D：数列的求和 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020高中数学总复习题组法教学案编写体例高中数学总复习题组法教学案编写体例数列的求和新课标要求1、了解数列求和的意义，主要利用等差、等比数列的前 n 项和公式解决数列的求和问题；2、掌握常见数列的求和方法，尤其是要掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列的前 n 项和。重点难点聚焦数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和。高考分析及预策数列的求和也是高考
2、中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不会有太大的改变。题组设计再现型题组1.求数列11,1111 4,2 7,310,n1(3n 2),的前 n项和aaaa143n22.Sn2n2223.Sn1112231n(n1)0123n 4Cn 7Cn10Cn(3n 1)Cn4.求和W Cn5.（05 天津）an中a11,a2 2,an2an11 nN则S100n巩固型题组6.（07福建文）“数列an的前n项和为Sn，a11，an1 2Sn(n N*)（）求数列an的通项an；（）求数列nan的前n项和T
3、n7.设等差数列an的前n项和为Sn，S4 62,S6 75（1）求通项an及前n项和Sn；（2）求数列an前n项和Tn.8.大楼共 n 层，现每层指定一人，共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会，问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）提高型题组9.（06 湖北)已知二次函数 y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2。*数列an的前 n 项和为Sn，点(n,Sn)(n N)均在函数y f(x)的图像上。（）求数列an的通项公式；（）设bn3m，Tn是数列bn的前 n项和,求使得Tn对所有nN*anan120都成立的最
4、小正整数 m。10.已知数列an的各项为正数，其前 n 项和Sn满足Sn(an12)，2（I）求an与an1(n 2)之间的关系式，并求an的通项公式；（II）求证111 2.S1S2Sn反馈型题组11.在数列an中，anA91n n 1,若其前n项和Sn 9，则项数 n 为（）B10C99D10012数列1,12,1222,A2n1 n,122n1,的前 n 项和等于（）B2n1 n 2C2n n 1D2n n 2D2（）13设Sn1 2 3 4 (1)n1n,则S17 S33 S50=A1B0C114数列 1，（）A111,的前n项和为1 2 1 231 23 nnn1B2nn1C2n(n
5、 1)D4n(n 1)22 an15数列an的前 n 项和Sn 2n1,则a12 a2（）A(2n1)21B(2n1)3C4n11D(4n1)316数列an的通项公式为an 4n 1,令bn项和为a1 a2 an,则数列bn的前 nn（）An2Bn(n 2)Cn(n 1)Dn(2n 1)17.已知an的前 n 项和Sn n2 4n 1,则|a1|a2|a10|的值为18.求下面数列的前 n 项和（1）数列1,4,7,10,(1)n(3n 2),（2）数列2n 3.2n3（3）数列1,1a,1aa2,1aan1,。19数列an的前 n 项和为Sn，且满足a11,2Sn(n 1)an,（I）求an
6、与an1的关系式，并求an的通项公式；（II）求和Wn111.222a21a31an11数列的求和(解答部分)再现型题组【提示或答案】设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an(3n 2)an1111Sn(12n1)1 4 7 (3n 2)aaa1(13n 2)n3n2 n当a 1时，Sn n 221n(13n 2)nan1(3n 1)nan当a 1时，Snn1122a a1a1【基础知识聚焦】当数列的通项由两部分组成，每一部分都是易于求和的特殊数列，可以用拆项求和的方法。注意在应用等比数列的求和公式时，要对公比分类讨论。2.【提示或答案】Sn114Sn23222143n53n22n1n222
7、23n53n2nn1221 3n23n53n5 2S 4nnn1n1n222211 11两式做差得Sn3232222【基础知识聚焦】解题的关键是抓住式子的结构特征，选择合适的求和方法。若数列an为等差数列，bn为等比数列，则求anbn的和用拆项法，1用错位相减，a bn n用裂项相消。ananknn122211【答案】Sn nn224【变式与拓展】Sn1n23.【提示或答案】设数列的通项为bn，则bn111bn(1)()2231n1n1n1111n(n1)nn1Sn b1b211()nn1【基础知识聚焦】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加
8、过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.【变式与拓展】求数列11,12 123,112(n1),前 n项和【答案】an1211 2()1 2(n 1)(n 1)(n 2)n 1n 211111111nSn 2()()()2()2334n 1n 22n 2n 2012n1n 4Cn 7Cn(3n 2)Cn(3n 1)Cn4.【提示或答案】W Cn，nn1n210(3n 2)Cn(3n 5)Cn 4Cn Cn(3n 1)Cn01n210W (3n 1)Cn(3n 2)Cn(3n 5)Cn 4Cn Cn，012n Cn Cn Cn)(3n 2)2n,+得2W (3n 2)(CnW (3n 2)2n1.
9、【基础知识聚焦】选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.题目中knk Cn,而运用反序求和方法是比较好的想法an 3n1，又Cn【变式与拓展】已知函数函数f(x)11。(m 0),x,x R,当x x 1时，f(x)f(x)121212x4 m2（1）求 m 的值；12（2）已知数列an满足an f(0)f()f()f(n1)f(1),求annnn【答案】m 2，ann4.5.【提示或答案】当n为奇数时，an2 an,a1 a3 a991；当n为偶数时，an2an 2,a2 2,a4 4,a100100.S1002410050 2600
10、.【基础知识聚焦】对通项公式中含有1n的一类数列，在求Sn时，要注意讨论n的奇偶性。【变式与拓展】试求Sn.nn4n为偶数【答案】S 4nn+1.24n为奇数巩固型题组6.解：（）aSn1n1 2Sn,Sn1 2Sn,S 3S1 a11n数列S1n是首项为，公比为的等比数列：Sn 3n(nN*)当n 2时，an 2S2n1 23n(n 2),a 1,n 1n23n2,n 2（）Tn a1 2a23a3nan,当n 1时，T11；当n 2时，Tn14306312n3n2,3T11n 343 6322n3n,2T2n 2 4 2(3132 3n)2n3n1 1(12n)3n111(n)3n1(n
11、2)，又当n 1时，上式也成立。2211Tn(n)3n1(nN*)22【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和，这是高考命题的热点，在复习中务必引起充分的重视。3437.解（1）由S4 A42 B4，S6 A62 B6得Snn2n，an 3n2322Tn（2）由an 0，n1 0得n 7.所以当n 7时Tn(a1a2Tn(a1 a2343an)n2n，当n 7时22 a7)(a8 a9an)Sn2S73243n n15422 3243n n 7 22从而Sn343n2n154n722【点评】解题的关键时分清从那一项开始an 0，然后再对n讨论。本题容易忽略
12、对n的讨论，而直接得出Sn3243n n154出错。221n 1【变式】an则Sn3n1n 23n2n2【答案】Sn28.解：设相邻两层楼梯长为aa，则S a(1 2 k 1)0(1 2(n k)n2 n ak(n 1)k 22当n为奇数时，取k n1时，S 达到最小值.2nn2当n为偶数时，取k 或时，S 达到最大值.22【点评】最值问题转化为函数问题，是解决问题的基本解法，在解题过程中要注意k取值的实际意义，即应取正整数，所以对n应分情况讨论。提高型题组9.解：（I）依题意可设f(x)ax2bx(a 0),则f(x)2ax b由f(x)6x 2得a 3,b 2,所以f(x)3x2 2x.又
13、由点(n,Sn)(n N*)均在函数y f(x)的图像上得Sn 3n2 2n2当n 2时an Sn Sn1 3n2 2n 3(n 1)2(n 1)6n 5当n 1时a1 S1 312 21 615所以an 6n 5(n N*)（II）由（I）得bn33111(),anan1(6n5)6(n1)52 6n56n1故，Tn1 1111111(1)()()=(1).277136n56n126n111m1m因此使得(1)(n N*)成立的 m 必须且必须满足,即22026n 120m 10故满足最小的正整数 m 为 10【点评】本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能，
14、考查分析问题的能力和推理能力。10.（I）4Sn(an1)2，而4Sn1(an11)2，22 an得an1 2(an an1)0 (an an1)(an an1 2)0,an 0,an an1 2(n 2),an是公差d 2的等差数列，而4a1(a11)2 a11,an 2n 1;（II）Snn2,111111222S1S2Sn12n1111(n2),n2n(n1)n1n111111111(1)()()S1S2Sn223n1n212.n【点评】本题是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.课堂小结数列求和的基本方法：n a1
15、ann n 1na1d22q11.基本公式法：1等差数列求和公式：Snna1,2等比数列求和公式：Sna11qna1anq,q11q1q3Cn0Cn1Cn2nCn2n.2.错位相消法：一般适应于数列anbn的前n向求和，其中an成等差数列，bn成等比数列。3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：1若an是公差为d的等差数列，则2311111；anan 1danan 1111；2n 1 2n 12 2n 12n 111nknkn1n；4Cnm1C
16、nm1Cnm；5n n!n 1!n!.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。反馈型题组11C 12B 13C 14B 15D 16B 17.6718.（1）当 n 为奇数时，Sn（2）82n12n33n 13n；当 n 为偶数时，Sn；22n(n 1)n(n1)a an1（3）a 0时,Sn n;a 1时,Sn;a 0,1时,Sn.22(1a)2Sn(n 1)ann19.（I）,两式相减得anan1(n 2),2S nan 1n1n1anaaann 12nn12 n,an n;a1an1an2a1n 1 n 21（II）Wn11111111(1)()132435n(n 2)232411111 311()().35nn 22 2n 1n 2