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1、用心 爱心 专心 1 上海南汇中学 2011 学年第二学期期中考试 高二数学 满分：100 分 完成时间：90 分钟 一、填空题（每小题 3 分，共 36 分）1、直线013yx的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为 12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为_.3、经过点(1,0)A且与直线10 xy 平行的直线l的方程为 _.4、双曲线22149xy的虚轴长是 _.5、已知直线220310 xyxy 和的夹角是 _.6、直线1xy被圆221xy所截得的弦长等于 _.7、已知方程 221104xykk表示双曲线，则实数k的取值范围为 _.8、过点(1,2)且与圆221xy相切的直线的方程是
2、_.9、已知双曲线2214yx 的两个焦点分别为1F、2F,P为双曲线上一点，且122FPF,则12F PF的面积是 .10、设F为抛物线24yx的焦点，,A B C为该抛物线上三点，若点(1,2)A，ABC的重心与抛物线的焦点F重合，则BC边所在直线方程为 .11、若方程210 xkx只有一个解，则实数k的取值范围是 _.12、下列五个命题：直线l的斜率 1,1k，则直线l的倾斜角的范围是,4 4 ；直线:1l ykx与过(1,5)A，(4,2)B两点的直线相交，则4k 或34k ；如果实数,x y满足方程22(2)3xy，那么yx的最大值为3；直线1ykx与椭圆2215xym恒有公共点，则
3、m的取值范围是1m；用心 爱心 专心 2 方程052422mymxyx表示圆的充要条件是41m或1m；正确的是_ _.二、选择题（每小题 3 分，共 12 分）13、直线320 xym与直线2310 xy 的位置关系是（）（A）相交 （B）平行 （C）重合 （D）由m决定 14、若椭圆14222ayx与双曲线12222yax有相同的焦点，则实数a为（）（A）1 （B）1 （C）1 （D）不确定 15、已知抛物线xyC2:与直线1:kxyl，“0k”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C：22|
4、1x xy yab，下列叙述中错误的是（）（A）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点（B）直线ykxm（,k mR）与曲线C最多有三个交点（C）曲线C关于直线yx对称（D）若111(,)P x y，222(,)P xy为曲线C上任意两点，则有12120yyxx 三、解答题（第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14 分，共 52 分）17、已知ABC的三个顶点是(3,4)A、(0,3)B、(6,0)C，求（1）BC边所在直线的一般式方程；(4 分)（2）BC边上的高AD所在直线的一般式方程.(4 分)18、求经过(3,0)A,且与圆22(3
5、)64xy内切的圆的圆心M的轨迹方程.(8 分)19、已知双曲线1C：2214yx （1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线2C的标准方程；（5 分）（2）直线l：yxm分别交双曲线1C的两条渐近线于A、B两点。当3OA OB时，用心 爱心 专心 3 求实数m的值.（5 分）20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30处，10OP 千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l以便建立水陆交通网（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；（5 分）（
6、2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到 0.001 千米）.（7 分）21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆221:14xCy.（1）若椭圆222:1164xyC，判断2C与1C是否相似？如果相似，求出2C与1C的相似比；如果不相似，请说明理由；（4 分）（2）写出与椭圆1C相似且短半轴长为b的椭圆bC的方程；若在椭圆bC上存在两点M、N关于
7、直线1yx对称，求实数b的取值范围？（6 分）（3）如图：直线yx与两个“相似椭圆”2222:1xyMab和22222:xyMab(0,ab01)分别交于点,A B和点,C D，试在椭圆M和椭圆M上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使CDF和ABE组成以为相似比的两个相似三OP用心 爱心 专心 4 角形，写出具体作法。（不必证明）.（4 分）上海南汇中学 2011 学年第二学期期中考试 高二数学（答案）满分：100 分 完成时间：90 分钟 命题人：吴世星 周华 审核人：潘静红 一、填空题（每小题 3 分，共 36 分）1、直线013yx的倾斜角 6 .2、若椭圆的长轴长为 12，一个焦点是(
8、0,2)，则椭圆的标准方程为_2213236xy_.3、经过点(1,0)A且与直线10 xy 平行的直线l的方程为 10 xy _.4、双曲线22149xy的虚轴长是 9 _.5、已知直线220310 xyxy 和的夹角是 4 _.6、直线1xy被圆221xy所截得的弦长等于 2 _.7、已知方程 221104xykk表示双曲线，则实数k的取值范围为_410kk或 .8、过点(1,2)且与圆221xy相切的直线的方程是 3450 xy或1x _.9、已知双曲线2214yx 的两个焦点分别为1F、2F,P为双曲线上一点，且122FPF,则12F PF的面积是 4 .10、设F为抛物线24yx的焦
9、点，,A B C为该抛物线上三点，若点(1,2)A，ABC的重心与抛物线的焦点F重合，则BC边所在直线方程为 210 xy .11、若方程210 xkx只有一个解，则实数k的取值范围是 1,1)2 .12、下列五个命题：直线l的斜率 1,1k，则直线l的倾斜角的范围是,4 4 ；直线:1l ykx与过(1,5)A，(4,2)B两点的直线相交，则4k 或34k ；如果实数,x y满足方程22(2)3xy，那么yx的最大值为3；用心 爱心 专心 5 直线1ykx与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是1m；方程052422mymxyx表示圆的充要条件是41m或1m；正确的是_ _.二、选择
10、题（每小题 3 分，共 12 分）13、直线320 xym与直线2310 xy 的位置关系是（A ）（A）相交 （B）平行 （C）重合 （D）由 m 决定 14、若椭圆14222ayx与双曲线12222yax有相同的焦点，则实数a为（C）（A）1 （B）1 （C）1 （D）不确定 15、已知抛物线xyC2:与直线1:kxyl，“0k”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（B ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C：22|1x xy yab，下列叙述中错误的是（C ）（A）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点（B）直线ykxm（,k
11、 mR）与曲线C最多有三个交点（C）曲线C关于直线yx对称（D）若111(,)P x y，222(,)P xy为曲线C上任意两点，则有12120yyxx 三、解答题（第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14 分，共 52 分）17、已知ABC的三个顶点是(3,4)A、(0,3)B、(6,0)C，求（3）BC边所在直线的一般式方程；(4 分)（4）BC边上的高AD所在直线的一般式方程.(4 分)解；（1）(6,3)BC 是 BC 边所在直线的方向向量 故3:63BCxyl，即:260BClxy 4 分（2）(6,3)BC 高 AD 所在直线
12、的法向量 故:6(3)3(4)0ADlxy，即:220ADlxy8 分 用心 爱心 专心 6 18、求经过(3,0)A,且与圆22:(3)64Cxy内切的圆的圆心M的轨迹方程.(8 分)解：根据题意得，8MAMCAC,2 分 由椭圆定义得4,3ac，所以27b 4 分 所以所求的圆心M的轨迹方程为221167xy8 分 19、已知双曲线1C：2214yx （1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线2C的标准方程；（5 分）（2）直线l：yxm分别交双曲线1C的两条渐近线于A、B两点。当3OA OB时，求实数m的值.（5 分）解：（1）双曲线1C的焦点坐标是(5,0),(5,0
13、)，1 分 设双曲线2C的标准方程为22221xyab，则222211631abab 解得2241ab3 分 所以双曲线2C的标准方程为2214xy 5 分（2）双曲线1C的两条渐近线方程为2,2yx yx 6 分 由2yxyxm 得(,2)A mm 由2yxyxm 得2(,)33mmB 8 分 2224333mmOA OBm，得3m 10 分 20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30处，10OP 千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l以便建立水陆交通网（
14、1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；（5 分）（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到 0.001 千米）.（7 分）用心 爱心 专心 7 解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系1 分 由题意得，0.42p3 分 所以，抛物线2:1.6C yx5 分（2）设抛物线C的焦点为F 由题意得，5,5 3P7 分 根据抛物线的定义知，公路总长9.806QFQPPF10 分 当Q为线段PF与抛物线C的交点（如图）时，公路总长最小，11 分 最小值为 9.806 千米12 分 21、定义：由椭圆的两个焦点
15、和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆221:14xCy.（4）若椭圆222:1164xyC，判断2C与1C是否相似？如果相似，求出2C与1C的相似比；如果不相似，请说明理由；（4 分）（5）写出与椭圆1C相似且短半轴长为b的椭圆bC的方程；若在椭圆bC上存在两点M、N关于直线1yx对称，求实数b的取值范围？（6 分）（6）如图：直线yx与两个“相似椭圆”2222:1xyMab和22222:xyMab OP用心 爱心 专心 8(0,ab01)分别交于点,A B和点,
16、C D，试在椭圆M和椭圆M上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使CDF和ABE组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）.（4 分）（1）椭圆2C与1C相似。-2 分 因为椭圆2C的特征三角形是腰长为 4，底边长为4 3的等腰三角形，而椭圆1C的特征三角形是腰长为 2，底边长为2 3的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1-4 分（2）椭圆bC的方程为：22221(0)4xybbb-6 分 设:MNlyxt ，点1122(,),(,)M x yN xy，MN中点为00(,)xy，则222214yxtxybb ，所以222584()0 xtxtb 则12004,255xxttxy -8 分 因为中点在直线1yx上，所以有4155tt，53t -9 分 即直线MNl的方程为：5:3MNlyx ，由题意可知，直线MNl与椭圆bC有两个不同的交点，即方程2225558()4()033xxb有两个不同的实数解，所以224025()4 5 4()039b ，即53b-10 分（3）作法 1：过原点作直线(1)ykx k，交椭圆M和椭圆M于点E和点F，则CDF和ABE即为所求相似三角形，且相似比为。-14 分 作法 2：过点 A、点 C 分别做x轴（或y轴）的垂线，交椭圆M和椭圆M于点E和点F，则CDF和ABE即为所求相似三角形，且相似比为。-14 分