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1、我 把 Introduction to flight的 第 四 章 Basicaerodynamics 略读了一遍，提炼了其中的重点要点，将其总结在一起分享给同学们，希望对大家空气动力学的学习有所帮助。这个文档内容涉及的气流都是无黏的（书 134228 页），没有包含黏性研究的部分。因为领域导论书对黏性没怎么研究，基本都是只给结论，所以就不总结了。本文档包括两部分，一是一些基本方程，二是这些方程的一些应用。我读书只是蜻蜓点水，对一些公式的理解可能有错误；写的只是大致的推导过程，难免有不细致严谨之处；对一些英文的翻译可能不标准，同时可能输入有误。希望大家批评指正、私下交流。真心希望我们共同为之润
2、色添彩，使其更加准确无误。同时，大家有什么学习资料都记得共享啊，让我们共同进步！大家可以再看看领域导论书，看了这个总结，再看书就比较简单了。看书最好也看看例题，例题不仅是对公式的简单应用，而且有些还包含新的知识，能增进我们对公式的理解。这些内容只能算是一些变来变去的简单代数问题，大家不要有压力。不过有几条注意事项：1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。2、大物书上的理想气体方程是 Pv=RT，其中的R 是普适气体常量（universal gas constant），领域导论书上的 P=RT 是经过变换的等价形式，其中的 R 是个别气体常量(specific gas constant)，等
3、于普适气体常量 R普适/M，大家变一下马上就懂了。2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要也不方便强调。在一、基本方程7、能量方程的推导中，v=1/，这里的 1 应理解为单位质量，后面的能量方程中的 V2也包含单位质量 1，不然与 h 的量纲就不统一了；在二、公式应用3、空速测定C、高速亚声速流中，我们可以看出在本书中，Pv=RT，同样把大物书上的状态方程Pv=R普适T 中的 m 当成单位质量 1，并利用普适气体常量和个别气体常量的关系 R个别=R普适/M，即可推出 Pv=RT。3、本书中涉及到比热（specific heat），用 cv（对于等
4、体过程）和cp（对于等压过程）在表示。我们在大物中也学有 cv和 cp，不过它们不一样，不要混淆。大物中那两个是摩尔热容（molar heatcapacity），分别为定体摩尔热容（molar heatcapacity at constant volume）和定压摩尔热容（molar heat capacity at constant pressure）。对比起来有（下式中 R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i 指分子自由度，指热容比）：比热摩尔热容cv=R个，cp=R个cv=R普，cp=R普cp-cv=R个cp-cv=R普=4、小写 v 代表体积，大写 V 代表速度，注意区分，其他字母
5、符号的意义大家应该都能弄懂。一、基本方程1、连续方程dm1=1 dv1=1A1V1 dt=2A2V2 dt=dm2则1A1V1=2A2V2即AV=const对于不可压缩流，1=2，则A1V1=A2V22、欧拉方程（忽略了黏性和重力）在一个边长分别为 dx dy dz 的长方体流体元的 x方向进行研究，忽略重力和黏性，朝向 x正方向的力为P dy dz压强的变化率为则朝向 x负方向的力为(P+dx)dy dz则合力F=P dy dz-(P+dx)dy dz=-又m=dv=(dx dy dz)，a=由F=ma化简得dP=-V dV3、伯努利方程（忽略了黏性和重力，适用于不可压缩流）=V(dx dy
6、 dz)对于不可压缩流，不变，对欧拉方程进行积分，易得P1+V12=P2+V22即 P+V2在一条流线上是常量，其中 V2就是传说中的动压，用q 表示，对于不可压缩流，P+V2等于总压，我们在方程的应用中会再提及。4、关于热力学第一定律系统的内能增量=外界传热+外界做功，即de=q+w其中w=-P dv(压缩，所以 v 减小，dv 是负值，所以有负号)则q=de+P dv定义焓h=e+Pv做微分得dh=de+v dP+P dv与上式一起消去 de 得q=dh-v dP5、内能与焓定义比热（specific heat）c=，即系统增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作 cv，等压过程的比热写
7、作 cp对于等体过程dv=0代入q=de+P dv可得de=q=cv dT从 e=0 和 T=0 积分得e=cvT我们在大物中学的是 e=R普T，m 还是要当做单位质量 1，推出 e=R个T=cvT。因此，它们是等价的。对于等压过程dP=0代入q=dh-v dP则dh=q=cpdT从 h=0 和 T=0 积分得h=cpTde=cv dT，e=cvT，dh=cpdT，h=cpT四式虽然是从等体过程和等压过程推出的，但对于理想气体是普遍适用的。6、等熵过程（适用于等熵过程）对于等熵流（绝热可逆）q=0代入q=de+P dv 和q=dh-v dP则-P dv=de=cv dT，v dP=dh=cpd
8、T两式相除得=-其中定义了热容比=cp/cv对于空气，=，应该是因为空气的绝大部分是氮气和氧气，都是双原子分子，分子自由度 i=5，根据大物中学的热容比=再积分=得=()把体积换成密度得=()同时借助状态方程=P/(RT)在有的那个式子中消去或借助我们熟悉的形式（大物书上的）Pv=RT在有 v 的那个式子中消去 v，可得=。可得=（）/(-1)总结：=()=（）/(-1)，即 P=常量，P-1T=常量-把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完全一样了7、能量方程（适用于无黏）对于绝热过程q=dh-v dP=0代入欧拉方程dP=-V dV得dh+vV dV=0v=1/（这里的 v 应理解为单
9、位质量的体积）则dh+V dV=0做积分得h1+V21=h2+V22，即 h+V2=常量代入h=cpT得cpT1+V21=cpT2+V22，即 cpT+V2=常量对于非绝热过程q0可得q=dh+V dV做积分=得h1+V21+Q12=h2+V22也可写为cpT1+V21+Q12=cpT2+V228、一个重要结论对于等熵流，总温 T0，总压 P0，总密度0是定值总温（total temperature），总压（total pressure），总密度（total density）定义：Total temperature/pressure/density at a given point in+a
10、flow is the temperature/pressure/density thatwould exist if the flow were slowed downisentropically（等熵地）to zero velocity二、公式应用1、声速公式的推导由于声波穿过气流与气流以声速穿过声波等价，因此可用后者来研究在声波两侧，设气流压强分别为 P 和 P+dP密度和+d温度 T 和 T+dT速度 a 和 a+da应用连续方程有A1a=（+d）A2（a+da）A1=A2，则a=（+d）（a+da）展开，再忽略无穷小量 dda,可得a=-代入欧拉方程dP=-a da，即 da=-可得
11、a2=通过声波的气流是等熵流，则P/=const=c因此=c=c-1代入 c=P/,得a2=对于理想气体，可以再代入状态方程 P=RT最终得出a=可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关2、低速亚声速风洞设 Settling chamber（reservoir）和 Test section的气流速度分别为 V1，V2压强分别为 P1，P2面积分别为 A1，A2通过低速亚声速风洞的气流可以看作不可压缩流，由连续方程和伯努利方程可得V1=V2，P1+V12=P2+V22联立两式消去 V1，可得V2=A2/A1对于给定风洞是定值，要想调节 Test section的速度大小，可以调节 P1-P2。以前
12、人们用 U 型管分别连接 Settling chamber（reservoir）和 Test section来测 P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传感器实现3、空速测定A、设备：总压管（Pitot tube），空速管（Pitot-static tube）B、对于低速亚声速流(M在上图中空速管上的 A 点压强为静压 P，速度为 V1在 B 点压强为总压 P0，速度为 0应用伯努利方程得P0=P+V12可得V1=定义动压q=V2（此定义式对所有气流都成立）可得P0=P+q（注意此式和 P0=P+V12只对不可压缩流成立）可见：只要设法获得 P0-P 和的值，就能求出速度，P0-P 的测定通过
13、空速管或总压管可以实现。对于，若使用真值（true value，即设法测的飞机周围的），则获得真实空速（true airspeed）Vtrue=但是测定飞机周围的比较难，所以低速飞机计算时都是用的标准海平面密度s，获得当量空速（equivalent airspeed）Ve=其实当量空速有更深层次的意义：Consider an airplaneflying at some true airspeed at some altitude.Itsequivalent airspeed at this condition is defined asthe velocity at which it wou
14、ld have to fly atstandard sea level to experience the same dynamicpressure.给定了当量空速，就相当于给定了动压。当量空速的概念十分重要，在研究飞行表现时很有用。C、对于高速亚声速流（M1）由h=e+Pv=e+RT,即 cpT=cvT+RT可得cp-cv=R根据=cp/cv可得cp=气 流 在 空 速 管 或 总 压 管 前 的 探 针 前 的 停 滞 点（stagnation point）处从最开始温度 T1和速度 V1的状态等熵静止,速度变为 0，因此温度为总温（totaltemperature）T0，压强为总压（to
15、tal pressure）P0，在此过程应用能量方程得cpT1+V12=cpT0变换等式可得=1+代入cp=可得=1+又声速a12=RT1则=1+=1+M12(只要求是绝热过程)结合等熵过程方程=()=（）可得=（1+M12）/(1)，=（1+等熵过程）由上式可得M12）1/(1)（要求是/(1)M12=()(-1)/-1因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数代入M1=V1/a1则V1=也可写为V12=(+1)(-1)/-12()(-1)/-1因为实践中一般获得 P0-P1,所以上式用得较多而且，由于T 难以测量，即a 难以获得，静压P1也难测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和
16、压强 as和 Ps代入上式。airspeed indicator 会感应 P0-P1的值。从而获得校正空速（calibrated airspeed）Vcal2=D、对于超声速流(+1)(-1)/-1在超声速流中，物体前会产生激波（shock wave），在一个流体元穿越激波前后：马赫数减小静压增加静温增加速度减小总压减小总温不变由于激波的产生（产生的大致原理在 P206），穿越激波的气流不是等熵流。空速测定的理论非常复杂，书上只给了最后结果，称为 Rayleigh Pitottube formula:=/(-1)其中，P02为激波后的总压，P1为自由流静压,由飞机表面的静压孔（static p
17、ressure orifice）测量，由此推出马赫数。若想推出空速，还需要其他信息。4、超声速风洞和火箭发动机由连续方程知AV=const取对数再做微分，得+=0由欧拉方程 dP=-V dV 得=-代入上式，可得-+=0由于气流是等熵流,所以=代入上式，可得=(-1)即=(M2-1)=称为 area-velocity relation由此关系式可知：对于亚声速流（M1），要使速度增加，面积必须增大若 M=1=咋一看无限大了，不过显然是有限大的，因此：需使=0，构成 0/0 型不定型极限，以此来使得的值为有限大反过来可以看出：当 dA/A=0 时，M=1，即 stream tube 有最小面积时
18、，M=1，称此处为 throatTherefore,to expand a gas to supersonic speeds，starting with a stagnant gas in a reservoir，thepreceding discussion that a duct of sufficientlyconverging-diverging shape must be used。For rocket engine，the flow quality at the exit is notquite as important；but the weight of the nozzle i
19、s amajor concern.For the weight to be minimized，theengines length is minimized，which give rise to arapidly diverging，bell-like shape for the supersonicsection。流过超声速风洞或火箭发动机的气流可近似为等熵流，因此=1+=（1+=（1+又有对于等熵流，总温 T0，总压 P0，总密度0是定值且在始端，V0，所以其温度，压强，密度即为T0，P0，0因此，以上三式可作为始端与任一点的关系式，也可写为T1=T01+(-1)M12-11=01+(-1)M12-1/(-1)P1=P01+(-1)M12-/(-1)另外，马赫数 M 与截面面积 A 和 throat 面积 At的比值 的关系(书上没有推导过程)为=1+M1）M1）22M12/(-1)1/(-1)成立（）=可推出下图的曲线2(1+M)2(+1)/(1)