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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高二数学上学期第二次月考试题（含解析）精选高二数学上学期第二次月考试题（含解析）(1)(1)数学试题数学试题第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分在每小题给分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 等差数列中， ， ，则前 9 项和的值为（ ）A. 66 B. 99 C. 144 D. 297【答案】B【解析】试题分析：由已知得,所以， ，,故选 B.考点：等差数列的
2、性质与求和公式.2. 在中，若， ，则的外接圆半径是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为正弦定理内容可以计算出外接圆的半径. ，由正弦定理知故选 D.考 点: 同角的三角函数关系 正弦定理- 2 - / 143. 不等式的解集为（ ）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】 ，选 A.4. 设数列的前项和， （ ）A. 124 B. 120 C. 128 D. 121【答案】D【解析】当时， ，当时， ，不符合，则 ， ，选 D.【点睛】已知数列的前 n 项和，求通项公式分两步，第一步 n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前 n 项和与前 n-1 项和作差求
3、出第 n 项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题求和要注意首项不满足，数列从第二项开始成等差数列，从第二项以后利用等差数列前 n 项和公式求和，而第一项要要单独相加.5. 在中，若，则的形状一定是（ ）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C6. 设是非零实数，若，则一定有（ ）- 3 - / 14A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为是非零实数， ，所以，所以，所以，故选 C.考点：不等式的性质.7. 在中， ， ， ，则角（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】A【解析】试
4、题分析：由题意得，根据正弦定理可知，又因为，所以 ，故选 A考点：正弦定理.8. 设数列满足，通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时， ，.(1) ， .(2),(1)-(2)得： ， ，符合，则通项公式是，选 C.9. 若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. - 4 - / 14【答案】D【解析】试题分析：，变形为，即，当且仅当时取等号，则的取值范围是,故选 D考点：1.指数式的运算性质；2.基本不等式求最值.【方法点睛】本题主要考查的是指数式的运算性质，利用基本不等式求最值，属于中档题，解决此类题目利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出
5、该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握，除此之外，对式子的观察能力变形能力也是解决此类问题的关键.10. 在中，角所对的边分别为，若， ， ，则的面积为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】 ， ， ， ， 或，则，或；当时， ，则， ， ；当时， ， ，为等边三角形， ，选 D.- 5 - / 1411. 的内角的所对的边成等比数列，且公比为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意， ， ，由于 ， ， ， ，则，根据二次函数的相关知识求出的取值范围为.【点睛】由于三角形三边 a
6、,b,c 成等比数列，满足等比数列的要求，另外需要注意三角形本身的要求，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此产生了范围要求，把原式化为关于的二次函数，根据 t 范围要求，借助于二次函数图像，求出相应的取值范围.12. 数列的通项公式为， ，是数列的前项和，则的最大值为（ ）A. 280 B. 308 C. 310 D. 320【答案】C【解析】 已知数列的通项公式为，可知数列是递减的，前项为正，从第项以后为负，因此数列的前项为正，所以数列前 n 项和当时，最大值为.选 C.【点睛】已知数列的通项公式，立即可以表达出数列的通项公式，展开通项公式求数列的前 n 项和，需要利用公式法，涉及
7、三个求和公式，- 6 - / 14及利用导数求最值，因此比较繁琐，不适合选填题，所以本题采用分析数列各项的符号及各项的值，小题小做，分析数列各项及前 n 项的和，找出最大值.第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 在中，三边所对的角分别为，若，则角的大小为_【答案】 （或 135）【解析】 ， ，则.14. 在数列中，其前项和，若数列是等比数列，则常数的值为_【答案】-3【解析】 ， ，当时， ，要求符合，则.15. 已知， ， ，不等式恒成立，则的取值范围是_ （答案写成
8、集合或区间格式）【答案】【解析】因为， ， ，则， （当且仅当时取等号） ， ，不等式恒成立，即：只需，则，则的取值范围是.- 7 - / 14【点睛】关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等” ，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值时，这两个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“的妙用” ，第二是“做乘法” ，第三是“等转不等”.16. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围_ （答案写成集合或区间格式）【答案】【解析】由题意可得
9、， ，即求的最大值，所以当 n=3 时， ，所以，填。【点睛】对于不等式恒成立的题型，我们常用分离参数的方法，如本题分离参数 k，得，所以只需求的最大值，而对于 f(n)，我们采用作差的方法找到 f(n)的单调区间，从而求到最大值。三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 ） 17. 已知.（1）当时，解不等式；（2）若，解关于的不等式.- 8 - / 14【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：把代入到二次函数中，解一元二次不等式写出解集；第二步解含参的一元二次
10、不等式，先分解因式，针对两根的大小及相等进行讨论，写出相应的解集；解一元二次不等式的步骤：第一步：看二次项的系数，负值化为正，使抛物线的开口向上，第二考查判别式，两根、一根、无根？第三有根求根，第四化抛物线标根，第五写出解集.试题解析：（1）当时，有不等式，不等式的解集为（2）不等式当时，有，不等式的解集为；当时，有，不等式的解集为；当时，有，不等式的解集为.【点睛】解一元二次不等式的步骤：第一步：看二次项的系数，负值化为正，使抛物线的开口向上，第二考查判别式，两根、一根、无根？第三有根求根，第四化抛物线标根，第五写出解集.截含参的一元二次不等式要进行讨论，讨论的切入点要注意：第一注意二次项的
11、系数的正负，第二注意判别式的大小，第三注意两根的大小.18. 设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.- 9 - / 14【答案】 （1） ；（2）.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理、三角形内角和定理及同角三角函数关系，将条件化为sinBsin（AC）sinAcosCcosAsinC，再利用两角和与差的三角函数公式化简，求得 cosA，从而确定角的大小；（2）由题设利用正弦定理将的周长表示民关于角 B 的三角函数，然后利用三角函数的性质求周长的取值范围试题解析：解：（1）由 acosCcb 和正弦定理得，sinAcosCsinCsinB，又 sinBsin
12、（AC）sinAcosCcosAsinC，sinCcosAsinC，sinC0，cosA，0A，A（2）由正弦定理得，bsinB，csinC，则 labc1（sinBsinC）1sinBsin（AB）12（sinBcosB）12sin（B） A，B（0， ） ，B（， ） ，sin（B）（，1，ABC 的周长 l 的取值范围为（2,3考点：1、正弦定理；2、三角函数的性质；3、同角三角函数的基本关系；4、两角和与差的三角函数- 10 - / 1419. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知休闲区的面积为 4000 平方米，人
13、行道的宽分别为 4 米和 10 米.（1）若设休闲区的长米，求公园所占面积关于的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？【答案】 （1） ；（2）要使公园所占面积最小，休闲区的长为 100 米，宽为 40 米.【解析】试题分析：本题为函数应用问题，首先要要认真细致的审题，逐字逐句的读题，建立函数模型，把实际问题转化为数学问题.注意函数的定义域，实际问题要注意实际要求，建立函数关系后，有时利用基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件，有时利用二次函数求最值,有时还需要借助导数研究函数的单调性求最值.试题解析：由，知（2） 当且仅当即时取等号要使公园所占面积最小，休闲区
14、的长为 100 米，宽为 40 米.【点睛】函数应用问题，首先要要认真细致的审题，逐字逐句的读题，建立函数模型，把实际问题转化为数学问题.函数问题定义域优先考虑，实际问题要注意实际要求，建立函数关系后，有时利用基本不等- 11 - / 14式求最值，但要注意等号成立的条件，有时利用二次函数求最值,有时还需要借助导数研究函数的单调性求最值.20. 已知数列中， ，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】 （1）见解析；（2）.试题解析：（1） ，则，由题则 是公差为 3，首项为 1 的等差数列， （2）设 则 相减得.【点睛】由于题目提供了数列的递推公式，分析递推关系转化为等差数
15、列或等比数列，这是转化思想，把一般数列转化为特殊数列，陌生- 12 - / 14的问题转化为熟悉的问题，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.21. （1）在锐角中， ， ，求的值及的取值范围；（2）在中，已知，试判断的形状.【答案】 （1） ；（2）直角三角形.【解析】试题分析：根据 B=2A 和正弦定理求出的值，从而表达出 AC的长，利用三角形是锐角三角形得出角的范围，进而求出 AC 的范围；第二步判断三角形的形状，首先把题目所提供的已知条件利用平方关系化余弦的关系为正弦的关系，再利用正弦定理进行角转边，根据勾
16、股定理判断出三角形为直角三角形.试题解析：（1）设，由正弦定理得，.由锐角得，又，故.（2）由题， ，由正弦定理得，为直角三角形.【点睛】有关三角形中的最值和取值范围问题，有时从边的角度借助基本不等式去求，有时边转角借助辅助角公式化为三角函数的最值和- 13 - / 14范围去求，但要根据题意求出角的范围，再求三角函数值的范围，判断三角形形状问题，一般要借助正弦定理和余弦定理进行“边转角” ，找出角的大小或关系，判断出三角形形状，或借助正弦定理和余弦定理进行“角转边” ，找出边与边的关系，判断出三角形形状.22. 设正项数列的前项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，数列的前项和为
17、，求证：.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得，两式相减得，即可，得到数列为等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知，得到，利用裂项法求解，进而可证的结论.试题解析：（1）由题意可得，两式相减得， ，所以，即，又因为数列为正项数列，所以.即数列为等差数列，又时， ，所以.（2）由（1）知，又因为，所以- 14 - / 14所以.考点：等差数列的通项公式；数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列求和，其中解答中涉及到等差数列的概念、等差数列的通项公式、数列的裂项法求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中，利用数列的饿递推关系式，得出数列为等差数列是解答的关键，属于中档试题.