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1、第 5 讲 直线、平面垂直的判定及其性质 基础达标 1(2019嘉兴市七校联考)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直是“直线a与平面M垂直”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B。根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以,所以应该是必要不充分条件 2。如图，O为正方体ABCD.A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(）AA1D BAA1 CA1D1 DA1C1 解析：选 D.由题易知A1C1平面BB1D1D.又B1O 平面BB1D1D,所以A1C1B1
2、O.3(2019温州中学高三模考)如图，在三棱锥D。ABC中,若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（)A平面ABC平面ABD B平面ABD平面BCD C平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE D平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE 解析：选 C。因为ABCB,且E是AC的中点，所以BEAC,同理，DEAC，由于DEBEE,于是AC平面BDE.因为AC 平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC 平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选 C.4（2019浙江省名校协作体高三联考)已知正三棱柱ABC.A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面AC
3、C1A1所成角的正弦值等于（）A64 B错误!C错误!D错误!解析：选 A。如图所示,取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则可知B1D平面ACC1A1，所以DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为 2,所以在 RtAB1D中，sinDAB1错误!错误!错误!,故选 A。5（2019浙江省高中学科基础测试）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAAD，ADBC，ABBC2，PA3，PA底面ABCD,E是棱PD上异于P，D的动点，设错误!m,则“0m2”是“三棱锥C.ABE的体积不小于 1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
4、也不必要条件 解析：选 B。过E点作EHAD,H为垂足,则EH平面ABCD。因为VC.ABEVE.ABC，所以三棱锥C。ABE的体积为错误!EH。若三棱锥C。ABE的体积不小于 1，则EH错误!，又PA3，所以错误!m1，故选 B.6(2019绍兴市柯桥区高考数学模拟)如图,四边形ABCD是矩形，沿直线BD将ABD翻折成ABD,异面直线CD与AB所成的角为，则()AACA BACA CACD 解析：选 B.因为ABCD，所以ABA为异面直线CD与AB所成的角 假设ABBC1,平面ABD平面ABCD.连接AC交BD于点O，连接AA，AC,AO，则AO平面ABCD，AOAOBOCODO错误!AC错
5、误!，所以AAACABAD1，所以ABA，ACD是等边三角形，ACA是等腰直角三角形，所以ACA45，ACDABA60，即ACA,ACD.排除 A，C，D.故选 B.7.如图,在ABC中，ACB90,AB8，ABC60，PC平面ABC,PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_ 解析：作CHAB于H，连接PH。因为PC平面ABC，所以PHAB，PH为PM的最小值，等于 2错误!。答案：2错误!8。如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC,CD两两垂直，且BCCD1。直线BD与平面ACD所成的角为 30，则线段AB的长度为_ 解析:如图，过点B作BHAC，垂足为点H,连接DH.因为CDAB
6、，CDBC，所以平面ACD平面ABC，所以BH平面ACD。所以BDH为直线BD与平面ACD所成的角 所以BDH30，在 RtBDH中，BD错误!，所以BH错误!。又因为在 RtBHC中，BC1，所以BCH45。所以在 RtABC中,ABBC1。答案:1 9(2019台州市书生中学月考）如图，在四棱锥P.ABCD中,PD平面ABCD,ABCD，ADCD，PDADDC2AB,则异面直线PC与AB所成角的大小为_;直线PB与平面PDC所成角的正弦值为_ 解析：因为ABCD，所以PCD即为异面直线PC与AB所成的角,显然三角形PDC为等腰直角三角形，所以PCD错误!.设AB1,则可计算得，PB3，而点
7、B到平面PDC的距离d等于AD的长为 2,所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为错误!错误!。答案:错误!错误!10（2019浙江名校新高考联盟联考）如图，已知正四面体D.ABC，P为线段AB上的动点（端点除外），则二面角D。PC.B的平面角的余弦值的取值范围是_ 解析：当点P从A运动到B,二面角D。PC。B的平面角逐渐增大，二面角D。PC。B的平面角最小趋近于二面角DAC.B的平面角，最大趋近于二面角D.BC。A的平面角的补角，故余弦值的取值范围是错误!。答案：错误!11.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点 (1)求证：平面PAC平面PBC；(2
8、）若PAAC,D为PC的中点求证:PBAD。证明:(1)设O所在的平面为，由已知条件PA，BC在内，所以PABC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径，所以BCA是直角，即BCAC。又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC平面PBC.（2）因为PAAC，D是PC的中点，所以ADPC.由(1)知平面PAC平面PBC，且平面PAC平面PBCPC.因为AD 平面PAC。所以AD平面PBC。又PB 平面PBC，所以PBAD。12（2019浙江名校协作体高三质检）如图，在四棱锥P。ABCD中，底面ABCD为梯形，AD
9、BC，ABBCCD1，DA2，DP平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点 (1)求证：PD平面OCM；(2)若AP与平面PBD所成的角为 60，求线段PB的长 解:(1）证明：设BD交OC于N，连接MN,OB，因为O为AD的中点,AD2，所以OAOD1BC。又因为ADBC，所以四边形OBCD为平行四边形,所以N为BD的中点,因为M为PB的中点，所以MNPD.又因为MN 平面OCM，PD 平面OCM，所以PD平面OCM.（2）由四边形OBCD为平行四边形，知OBCD1，所以AOB为等边三角形，所以A60，所以BD错误!错误!，即AB2BD2AD2，即ABBD。因为DP平面ABP，所以ABPD.
10、又因为BDPDD，所以AB平面BDP，所以APB为AP与平面PBD所成的角，即APB60，所以PB错误!.能力提升 1如图,梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E,F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面BDF平面BCF；平面DCF平面BCF，则上述结论可能正确的是（）A B C D 解析：选 B。对于，因为BCAD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；对于，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234 可使条件满足，所以正确；对于，当点D在平面BCF上
11、的射影P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；对于,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以不成立 2（2019绍兴诸暨高考模拟）已知三棱锥A。BCD的所有棱长都相等，若AB与平面所成角等于错误!，则平面ACD与平面所成角的正弦值的取值范围是(）A错误!B错误!C错误!D错误!解析：选 A。因为三棱锥A。BCD的所有棱长都相等，所以三棱锥ABCD为正四面体,如图:设正四面体的棱长为 2，取CD中点P，连接AP，BP，则BAP为AB与平面ADC所成角 APBP错误!，可得 cosBAP错误!,sinBAP错误!。设BAP.当CD与平行且AB在平面ACD上面时
12、，平面ACD与平面所成角的正弦值最小，为sin错误!sin错误!cos cos错误!sin 错误!错误!错误!错误!错误!；当CD与平行且AB在平面ACD下面时，平面ACD与平面所成角的正弦值最大，为sin错误!sin错误!cos cos错误!sin 错误!错误!错误!错误!错误!，所以平面ACD与平面所成角的正弦值的取值范围是错误!.故选 A.3(2019杭州市高三期末）在ABC中,ABC错误!,边BC在平面内,顶点A在平面外，直线AB与平面所成角为。若平面ABC与平面所成的二面角为错误!,则 sin _ 解析：过A作AO，垂足是O，过O作ODBC，交BC于D，连接AD,则ADBC,所以AD
13、O是平面ABC与平面所成的二面角，即ADO错误!，ABO是直线AB与平面所成的角,即ABO，设AO 3，所以AD2，在 RtADB中,ABD3，所以AB错误!错误!，所以 sin 错误!错误!错误!。答案：错误!4(2019浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角三角形ABC的两条直角边AC2,BC3，P为斜边AB上一点,沿CP将此三角形折成直二面角A.CP。B，此时二面角P。AC.B的正切值为错误!,则翻折后AB的长为_ 解析：如图，在平面PCB内过P作直二面角A。CP。B的棱CP的垂线交边BC于E,则EP平面ACP.于是在平面PAC中过P作二面角P。AC.B的棱AC的垂线，垂足为D,连接D
14、E，则PDE 为二面角P.ACB的平面角,且 tanPDE错误!错误!，设DPa,则EP错误!a.如图,设BCP，则ACP90，则在直角三角形DPC中，PC错误!错误!,又在直角三角形PCE中，tan 错误!，则错误!tan 错误!a,sin 错误!cos2,所以45，因为二面角A。CP。B为直二面角，所以 cosACBcosACPcosBCP，于是错误!cosACPsinACP错误!，解得AB错误!。答案：7 5（2019浙江模拟）如图,在四棱锥E。ABCD中，平面CDE平面ABCD，DABABC90,ABBC1，ADED3，EC2.（1）证明:AB平面BCE;（2)求直线AE与平面CDE所
15、成角的正弦值 解：(1)证明：因为DABABC90，所以四边形ABCD是直角梯形,因为ABBC1，ADED3，EC2.所以CD错误!错误!，所以CE2DC2DE2，所以ECCD，因为平面EDC平面ABCD，平面EDC平面ABCDDC，所以CE平面ABCD，所以CEAB，又ABBC,BCCEC,所以AB平面BCE。（2)过A作AHDC，交DC于H，则AH平面DCE，连接EH，则AEH是直线AE与平面DCE所成的角,因为错误!DCAH错误!AB错误!ABBC,所以AH错误!错误!，AEAB2（CE2BC2）错误!，所以 sinAEH错误!,所以直线AE与平面CDE所成角的正弦值为错误!.6（201
16、9鲁迅中学高考方向性测试)四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形,ABC60，E为AB的中点，PA平面ABCD，PC与平面PAB所成的角的正弦值为错误!.（1)在棱PD上求一点F,使AF平面PEC;(2)求二面角D。PE.A的余弦值 解：（1)分别取PD,PC的中点F，G，则FGCDAB，FG错误!CD错误!ABAE，所以四边形AEGF为平行四边形，所以AFEG，又EG 平面PEC，所以AF平面PEC，所以PD的中点F即为所求(2)易知,CPE即为PC与平面PAB所成的角，在 RtPEC中,错误!错误!,即错误!错误!,解得：PA2，过D作BA的垂线,垂足为H,过H作PE的垂线,
17、垂足为K，连接KD，因为PA平面ABCD，所以PADH，又DHBA，所以DH平面PBA，所以DHPE，所以PE平面DHK，所以PEDK，所以DKH即为所求的二面角的平面角，在 RtDHK中，DH错误!,由于PEHKEHPA，所以HK错误!错误!，从而DK错误!错误!，所以 cosDKH错误!错误!，即二面角D.PE.A的余弦值为错误!.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。T
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