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1、 高中数学选修 1-1 第三章 变化率与导数 2_导数的概念及其几何意义 2_2 导数的几何意义 第 2 页 2.2 导数的几何意义 一、教学目标：1通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2理解曲线在一点的切线的概念；3会求简单函数在某点处的切线方程。二、教学重点：了解导数的几何意义 教学难点：求简单函数在某点出的切线方程 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）复习：导数的概念及求法。（二）探究新课 设函数)(xfy 在x0，x0 x的平均变化率为xy，如右图所示，它是过A（x0，)(0 xf）和B（x0 x，)(0 xxf）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线)(xfy 在点A
2、处的一条割线。如右图所示，设函数)(xfy 的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当x取不同的值时，可以得到不同的割线；当x趋于 0 时，点B将沿着曲线)(xfy 趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线)(xfy 在点A处“相切”，称直线l为曲线)(xfy 在点A处的切线。该切线的斜率就是函数)(xfy 在x0处的导数)(0 xf。函数)(xfy 在x0处的导数，是曲线)(xfy 在点（x0，)(0 xf）处的切线的斜率。函数)(xfy 在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。1.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的
3、斜率，即 0000()()()limxf xxf xfxkx 第 3 页 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)求出P点的坐标;(2)求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxf xxf xfxkx ，得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率；(3)利用点斜式求切线方程.2.导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxf xxf xfxyx 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数 3.函数()f x在点0 x处的
4、导数0()fx、导函数()fx、导数 之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数 f(x)的导函数 (3）函数()f x在点0 x处的导数0()fx就是导函数()fx在0 xx处的函数值，这也是 求函数在点0 x处的导数的方法之一。例 1.已知函数2)(xxfy，x02。（1）分别对x2xy 在区间x0，x0 x上的平均变化率，并画出过点（x0，)(0 xf）的相应割线；（2）求函数2xy 在x02 处的导数，并画出曲线2xy 在点（2，4）处的切线。
5、解：（1）x=2，1，0.5 时，区间x0，x0 x相应为-2，0，-2，-1，-2，-1.5。2xy 在这些区间上的平均变化率分别为 第 4 页 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3.（2）2xy 在区间-2，-2x上的平均变化率为 令x趋于0，知函数2xy 在x02处的导数为-4。曲线2xy 在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。例 2 求函数32)(xxfy在x=1 处的切线方程。解：先求32xy 在x=1 处的导数：令x趋于 0，知函数32xy 在x=1 处的导数为6)1(f。这样，函数32xy 在点（1，)1(f）=(1，2)处的切线斜率为 6.即该切线经过点（1，2），斜率为 6.因此切线方程为 y-2=6(x-1).即 y=6x-4.切线如图所示。（三）小结：函数)(xfy 在x0处的导数，是曲线)(xfy 在点（x0，)(0 xf）处的切线的斜率。函数)(xfy 在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。（四）练习：课本 P62 练习：1、2.（五）作业：课本 P63 习题 2-2 中 A 组 4、5 五、教后反思：