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1、1/7 历届华杯赛决赛试题剖析 华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）真题尝试 感悟心得、填空(每题 10 分，共 80 分)2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 1、计算：416024340143214016940146=。答案：2 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 2、林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了31，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次，林又喝了31，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)。答案：8165 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 3、下图是小明用一些半径为 1 厘米、2 厘米、4 厘米和
2、8 厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为 平方厘米。答案：64 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 4、悉尼与北京的时差是 3 小时，例如：悉尼时间 12:00 时，北京时间是 9:00，某日，当悉尼时间 9:15 时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间 19:33 分到达北京。小马和小杨路途上时间之比为 7:6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是 。答案：20:39 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 5、将六个自然数 14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都到质，则至少需要将这些数分
3、成 组。答案：3 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 6、对于大于零的分数，有如下 4 个结论：(1)两个真分数的和是真分数；(2)两个真分数的积是真分数；(3)一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；(4)一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。2/7 真题尝试 感悟心得 其中正确结论的编号是 。答案：(2)(3)2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 7、记 A21+43+87+1615+10241023，那么比 A 小的最大自然数是 。答案：9 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 8、黑板上写着 1 至 2008 共 2008 自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的
4、平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是 。答案：2005 二、解答案下列各题(每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程)2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 9、小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题。职位 会计与出纳 出纳与秘书 秘书与主管 主管与主任 主任与会计 月薪和 3000 元 3200 元 4000 元 5200 元 4400 元 答案：2900 元 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 10、请将四个 4 用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于 5、6、7、8、9。答案：(44+4)4=
5、5，4+(4+4)2=6，4+4-44=7，4+4+4-4=8，4+4+44=9 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 11、图 2 中，ABCD 和 CGEF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H，已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积。答案：49.5 平方厘米 2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 12、设六位数abcdef满足fabcde=fabcdef，请写出所有这样的六位数。答案：111111，102564 三、解答下列各题(每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)2008 年第十三届“华罗庚金杯”决
6、赛 13、甲乙两人沿一个周长为 400 米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需要 4 分钟，乙行走一圈需 7 分钟。他们同时同地同向出发，甲走完 10 圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人A B C D G E F H 3/7 真题尝试 感悟心得 都击掌示意。问：当两人第 15 次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？答案：甲走了 66112分钟，乙走了 3781119米。2008 年第十三届“华罗庚金杯”决赛 14、右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字 1、2、3、4、5、6、7、8 和 9，不同的汉字代表不同的数字，如果“北”和“京”分别代表 1 和 9，请
7、写出“奥运会”所代表的所有三位整数，并且说明理由。京北=心想事成奥运会 答案：647、638 和 836 解析：1.原式 1164014940161220071820082211340143 60246200792008441220079200842162007920084（6）2.大家要先分析清楚的是不论我是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的13，要是能想清楚这一点那么这到题就变成了一道纯找规律的问题了。喝掉的牛奶 剩下的牛奶 第一次：13 11323 第二次：231329（喝掉剩下23的13）232349（剩下是第一次剩下23的23）第三次：4913427（喝掉剩下49的13）49
8、23827（剩下是第一次剩下49的23）第四次：82713881（喝掉剩下827的13）所以最后喝掉的牛奶为：12486539278181 4/7 真题尝试 感悟心得 3.半径为 1 厘米的圆的面积为：1 1 半径为 2 厘米的圆的面积为：2 2 4 半径为 4 厘米的圆的面积为：4 4 16 半径为 8 厘米的圆的面积为：8 8 64 所以阴影部分的面积为：4（164）8 8 146464（平方厘米）4.首先要知道悉尼和北京的时间差是：129 3（小时）小马从悉尼到达北京所用的时间为：19：33（9：153）13：18798（分）因为小马和小杨路途上所用的时间比为 7：6，小杨所用的时间为：
9、7987 6 684（分）11 小时 24 分11：24 那么小杨到达悉尼的时间为：9：1511：2420：39 5.先将所有数都分解质因数得：14=27 20=22 5 33=311 117=33 13 143=1113 175=55 7 注意到 33，117，143两两都不互质，所以至少应该分成 3 组，同样 14，20，175也必须分为 3 组，互相配合就行。6.1）错误，如 3/4+3/4=3/2 2）正确，因为一个数乘于一个不大于 1 的数肯定比原数小。3）正确，因为一个数加上一个数后肯定比原数大。4）错误，如 1/77/6=1/6。7.A（1-1/2）+（1-1/4）+（1-1/8
10、）+。+（1-1/1024）10-（1/2+1/4+1/8+。+1/1024）10-1023/1024 9 又 1/1024 所以比 A 小的最大的自然数是 9。8.先求剩下数的最大值，那么擦去的数应该尽量小，找到规律：首先擦去 1，3，写上 2 擦去 2，2，写上 2 擦去 2，4，写上 3 擦去 3，5，写上 4 擦去 4，6，写上 5 。擦去 2006，2008，写上 2007。所以剩下数的最大值为 2007。同理可知剩下数的最小值为 2。所以最大值和最小值的差是 2005。9.观察所有人的工资和发现每人的工资都计算了两次，所以将全部工资和相加后5/7 真题尝试 感悟心得 除于 2后得到
11、五人的工资和为：（3000+3200+4000+5200+4400）/2=9900。由于要求主任的月薪，所以将会计和出纳的 3200，秘书和主管的 4000减去即得主任的月薪为：9900-3000-4000=2900。10.（4 4 4）4 5 4(44)46 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8 4 4 4 4 9 11.连接上 AC、GF，则四边形 ACEG构成一个梯形 HCF面积为 6，所以AGH面积为 6（蝴蝶翅膀）CH为 HG 长度的一半，所以HCF地面积为HFG面积的一半，HFG面积为12。ABC面积=AGH面积CHF面积GHF面积=3.由图上所标知大正方形面积为 36，所以：H
12、G=4，又AGH面积为 6，AD=3，ABC面积为 4.5，总面积为：366 3 4.5=49.5 12.fabcde=abcdeff。方法一：f a b c d e f a b c d e f 拿 f 作突破口，试验当 f 分别为：1、2、3、4、5、6、7、8、9 时看哪个满足条件，经试验：当 f=1时，abcdef=111111 当 f=4时，abcdef=102564 方法二：令：abcdef=x,则：6/7 真题尝试 感悟心得 fabcde=abcdeff，100000f=（10 xf）f 推出:x=210ff10 1,经试验：当 f=1时，x=111111 当 f=4时，x=102
13、564 13.甲 乙 速度 100 4007 开始阶段，是甲不断落下乙一圈的过程，甲落下乙一圈需要时间：400（1004007）283，甲先与问题走 10 圈，会用 40 分钟。在这 40 分钟里，甲落下乙：40283=483，即甲和乙会相遇 4 次，同时会余下83 分钟。在这余下的83分钟里，甲会落下乙：83（1004007）8007。到此为止，甲乙相距8007，此时甲反，甲乙之间变为相遇问题。第五次相遇用时8007（1004007）811。以后剩下的十次相遇均用时：400（1004007）2811。所以总共用时间：4081128111026611 乙走的路程：266114007937811
14、1 14.91=梦想成真奥运会 9 奥运会=梦想成真，梦想成真为 9 的倍数 于是：“梦”“想”“成”“真”为 9 的倍数 而：“梦”“想”“成”“真”最大为：8 7 6 5=26 最小为：2 3 4 5=14 所以：“梦”“想”“成”“真”在 14 至 26 之间，且为 9 的倍数，推出：“梦”“想”“成”“真”=18“奥”、“运”、“会”、“梦”、“想”、“成”、“真”分别代表 2 8 所以：“奥”“运”“会”=23 8-18=17 可以得出：“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组：8、7、2 8、6、3 8、5、4 7、6、4 分别讨论，看哪组满足题意。分析，奥运会9=梦想成真，奥 运 会 0 奥 运 会 7/7 真题尝试 感悟心得 梦 想 成 真“奥”“梦”，所以，“运”必定比“奥”小，（这样“运”“奥”时需借位，这样才能保证“奥”“梦”）即 奥运会这个三位数的十位比百位小。若“奥”、“运”、“会”为 8、7、2 这一组，则 三位数“奥运会”可能为 872，827，728 。奥运会9=梦想成真 若：8729=7848 “奥”、“真”重复 所以：不行 8279=7843 “奥”、“想”重复 所以：不行 7289=6552 “想”、“成”重复 所以：不行、一样的思路试 其他三组经试验：三位数“奥运会”可以为：836，647，638