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1、专题专题三角函数三角函数【高考导航】在对口高考中，对三角函数的考查重点掌握以下三种题型：1、求三角函数值；2、理解正弦函数、余弦函数及正弦型函数的图像和性质；3、解三角函数应用题。【真题回访】1、将函数 y=sinx(xR)的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原6来的一半，然后再把所得各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍，得到函数 y=f(x)的图像，则函数 f(x)=(A),xR B)3sin(2x-),xR66xC)3sin(2x+),xR D)3sin(+),xR1226A)3sin(2x+2、sin2150+sin2750+sin150sin750=(C)A)1+3335
2、 B)C)D)1+24243、设点 P(2sin,sin2)位于第二角限,则角所在的象限是(C)A)第一象限 B)第二象限 C)第三象限 D)第四象限【仿真题型】一、求三角函数值求三角函数值，首先要熟练掌握三角函数公式，了解各公式应用的易错点，探索推导新的三角函数公式。221、平方关系：sin+cos=1在应用平方关系求三角函数时，要根据角的象限讨论三角函数的值。同时，将它变形可得：21+tan=11222=sec,1+cot=csc。22cossin2、两角和差公式通过两角和差公式可得，asinwx+bcoswx=a2b2sin(wx+)或a2b2cos(wx+)。3、二倍角公式22在二倍角
3、公式的应用中，应用cos2=cos-sin=2221-2sin=2cos-1 是 一 个 难 点。将 它 变 形 可 得：2sin=1-cos2，2cos2=1+cos2，sin1cos1 cos2tan=,cos=。另一方面，由 tan2=,可联想22221 tan21 tan22tan到 sin2=,cos2=。221 tan1 tan根据两角和差公式和二倍角公式可得：sin3=3sin-4sin3,cos3=4cos3-3cos。【例 1】已知 sin2=【解】(157,(,),求 sin(+)+tan2的值。84238,)，2(，)422157sin2tan2=-78cos2cos2=
4、1sin22=-sin=1cos21 cos2115=cos=2244原式=3317sin+cos+tan2=2828其次,求比较复杂的三角函数值，关键要找准变形的切入点，灵活进行三角函数公式的变形，三角函数变换常用的切入点有：1、三角函数名称的变换（如化弦、化切）；2、角度变换（角的拆变或设辅助角）；3、三角函数降序或升幂变换；4、三角函数的运算形式变换。【例 2】已知 tan(+)=1,且 tan=1,求 sin2的值。3tan()tan1=1 tan()tan2【解】方法 1、tan=tan(+)-=cos=2 511=5sec 1 tan2 sin2=2sincos=2tancos2=
5、45方法 2、tan=tan(+)-=tan()tan1=1 tan()tan2cos=2 511=5sec 1 tan22tan34cos2=2cos2-1=又 tan2=21 tan35sin2=tan2cos2=45tan()tan1=1 tan()tan2方法 3、tan=tan(+)-=cos2=sin=1141=又 tan=222sec1 tan5142cossin2=2sincos=cos=25tan()tan1=1 tan()tan2方法 4、tan=tan(+)-=sin2=2tan4=1 tan25【点评】求三角函数值是对口高考中常见的题型，解题的关键，一方面要根据角所在的
6、象限确定三角函数值的符号，另一方面要合理利用公式，避免三角函数值符号的讨论。二、三角函数的图像与性质掌握三角函数的图形与性质，关键要灵活应用 y=sinx 的图像和性质,理解正弦函数与正弦型函数图像之间的变换关系。【例 3】1）求函数 y=2cos2xsin2x2的定义域。，再把所得的图像上各点的横坐标扩大到原来的 34倍，所得到的图像对应的函数表达式为y=4sin(-x)，则=()4A)y=-4cos B)y=-4cos3x3xC)y=4sin(+)D)y=4sin(3x+)34433）函数 y=sin(2x+)的对称轴不可能是()22）已知函数 y=f(x)的图像向右平移3 B)x=-C)
7、x=D)x=-22244）在 RtABC 中，C 为直角，则 sinAsinB ()11A)最大值与最小值之和为 B)有最大值，但无最小值22A)x=C)有最大值 1，最小值-1 D)有最大值 1，但无最小值【解】1）y=cos2x sin2x 1=2 sin(4 2x)12sin(2k+2-2x)-10 sin(-2x)2443(kZ)-2x2k+444-k-x-k(kZ)4函数的定义域为x|k-xk,(kZ)。42）B 3）D 4）B【点评】分析正弦型函数的性质，关键要通过换元后再根据正弦函数的图像和性质解题。在函数图像变换上，若从函数 y=f(x)得到 y+k=f(x+h)，只须 y=f
8、(x)的图像向左平移 k 个单位，再向下平移 k 个单位。三、三角函数的应用解三角函数应用题，关键是在实际情景中，提炼有关信息，建立三角形，找到三角形中边与角对应关系。再根据条件灵活选用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式及三角函数的定义，求有关三角形的边和角。【例 4】在一条由西向东流的大河北岸，有建筑物A 和 B，其距离无法直接测量，于是间接测量如下：首先，在南岸C 点处，测得 A 位于正北向，B 位于北偏西 450的方向上；然后，沿河岸向正西方向移动 l00m，到了点D观察到A 位于北偏东 450的方向上，B 位于北偏西300的方向上试求建筑物A 和 B 的距离【解】方法 1、如图,根据
9、题意可得 CD=100,ADC=45,BCD=45.00BC 是 AD 的垂直平分线,BAD=ADB=750，ABD=300，又 AD=DC=10020cos45ADABADsinBDA=,AB=100+1003sinABDsinBDAsinABD方法 2、如图,根据题意可得 CD=100,ADC=450 AD=DC=1002,又得BCD=450,CDB=12000cos4550 2BDDC=BD=0sin15sinBCDsinCBDCBD=150,AB=BD2 AD22BD ADcos750=100+1003方法 3、如图,根据题意可得 CD=100,ADC=450,BCD=450,BC 是
10、 AD 的垂直平分线,BAD=ADB=750.AD又 AD=DC=1002,AB=2=100+100300cos75cos45答:建筑物 A 和 B 的距离为 100+1003m.【点评】解三角函数应用题，常用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式求有关边长与角，但如能找到相关的直角三角形，应用三角函数的定义求边和角就更容易了。【考场练兵】练习 1、已知 sin 2+sin2cos-cos2=1，且 0 x2，求。2练习 2、函数 y=sin xcosx+的值域是。|sin x|cosx|练习 3、下列函数是以为最小正周期的偶函数的是()x2 C)y=sin2x+cos2x D)y=1-2sin
11、 x2练习 4、函数 y=f(x)的图像向左平移，再把所得的图像上各点的横坐标扩大到原来的 23倍，所得到的图像对应的函数表达式为y=2sin(-x)，则 f(x)=。341练习 5、设为锐角，cos=,tan(-)=-,求 cos2的值。53A)y=sin2x B)y=cos0练习 6、如图，在海岸 A 处发现北偏东 45 方向，距 A 处（3-1）海里的 B 处有一艘走私0船在A 处北偏西 75 方向，距A 处 2 海里的 C 处的我缉私船，奉命以103海里时的速度追截走私船，此时走私船正 10 海里时的速度，从 B 处向北偏东 30 方向逃窜。问：缉0私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船
12、？并求出所需时间【考场练兵参考答案】2 2、1,0,-1 3、D 4、-4sin(2x-)36435、为锐角，cos=,sin=1cos2=55sin3tan=，cos41、tan=tan-(-)=tan tan()13=,1 tantan()9441 tan2cos2=-21 tan1256、设缉私船应沿 CD 方向行驶 t(小时)，才能最快截获(在 D 点)走私船,则CD=103t,BC=10t.BC=AB2 AC2 2AB ACcos A=6又CDBD10=sinDCB=,DCB=302sinCBDsinDCB610CDB=300CD=2BCcosDCB=103tt=答：缉私船沿东偏北 300方向行驶才能最快截获走私船，求出所需时间6小时10