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1、1 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（文科）2018.5 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集1,2,3,4,5,6,U 集合1,2,4,1,3,5AB，则()UABI=（A）1 （B）3,5 （C）1,6 （D）1,3,5,6（2）已知复数z在复平面上对应的点为(1,1)，则（A）1 iz （B）1 iz （C）+iz是实数 （D）+iz是纯虚数（3）若直线0 xya是圆2220 xyy的一条对称轴，则a的值为（A）1 （B）1 （C）2 （D）2（4）已知0 xy，则（A）1
2、1xy （B）11()()22xy（C）coscosxy（D）ln(1)ln(1)xy（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n颗，其中落在阴影区域内的豆子共m颗，则阴影区域的面积约为（A）mn （B）nm（C）mn （D）nm（6）设C是双曲线，则“C的方程为2214yx”是“C的渐近线方程为2yx”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 2 （7）某校为了解高一年级 300 名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用 1，2，300 表示，并用(,iix y）表示第i名学生的选课情况.其中 01,
3、iiix第名学生不选历史第名学生选历史，01,iiiy第名学生不选地理第名学生选地理.，根据如图所示的程序框图，下列说法中错误的是（A）m为选择历史的学生人数 （B）n为选择地理的学生人数 （C）S为至少选择历史、地理一门学科的学生人数 （D）S为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和 （8）如图，已知直线ykx与曲线()yf x相切于两点，函数()(0)g xkxm m，则函数()()()F xg xf x（A）有极小值，没有极大值 （B）有极大值，没有极小值 （C）至少有两个极小值和一个极大值 （D）至少有一个极小值和两个极大值 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小
4、题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知抛物线C的焦点为(0,1)F，则抛物线C的标准方程为_.（10）已知平面向量a，b的夹角为3，且满足2a，1b，则a b=_，+2ab=.（11）将函数()sin()3f xx的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍。纵坐标不变，得到函数()sin()g xx的图象，则=_，=_.（12）在ABC中，:4:5:6a b c，则tan A .（13）A，B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院去参加献爱心活动.两个小区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：A 小区 B 小区 往返车费 3 元 5 元 服务老人的人数 5
5、 人 3 人 根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过 37 元，且 B 小区参加爱心活动的同学比 A 小区的同学至少多 1 人，则接受服务的老人最多有_人.3 （14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中，可能是 该几何体左视图的图形是_.（写出所有可能的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）已知等差数列na满足3221naann.（）求数列na的通项公式；（）若数列nnab是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列 nb的前n项和（16）（本小题 13 分）已知函数3()2cossin()32f xxx.
6、（）求曲线()yf x的相邻两条对称轴的距离；（）若函数()f x在0,上单调递增，求的最大值.（17）（本小题 14 分）如图 1，已知菱形AECD的对角线,AC DE交于点F，点E为AB的中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE位置，如图 2 所示.（）求证：DE 平面PCF；（）求证：平面PBC 平面PCF；（）在线段PD，BC上是否分别存在点,M N，使得平面CFM/平面PEN？若存在，请指出点,M N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.4 （18）（本小题 13 分）某中学为了解高二年级传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取 10 名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的
7、平均分作为该名学生的考核成绩记录的数据如下：1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号 第 一 轮 测试成绩 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第 二 轮 测试成绩 90 90 90 88 88 87 96 92 89 92()从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率；()从考核成绩大于等于 90 分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于 90 分的概率；()记抽取的 10 名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1x，21s，考核成绩的平均数和方差分别为2x，22s，
8、试比较1x与2x，21s与22s的大小.（只需写出结论）（19）（本小题 13 分）已知函数()()exaf xxx，aR.（）求()f x的零点；（）当5a 时，求证：()f x在(1,)上为增函数.（20）（本小题 14 分）已知椭圆C：2222 yx的左右顶点分别为1A，2A.（）求椭圆C的长轴长与离心率；（）若不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线PA1与QA2交于点M，直线QA1与PA2交于点N.求证：直线MN垂直于x轴.5 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准 数学（文科）2018.5 一 选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1
9、2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C A C C 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 924xy=101,2 3 111,2 3 12 73 1335 14.注：10 题、11 题第一个空答对给 3 分，第 2 个空答对给 2 分；14 题只写出 1 个序号给 2 分，只写出 2 个序号给 3 分。三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题 13 分）解：（）方法 1：因为数列na是等差数列，所以212nnnaaa.2 分 因为3221naann，所以223nan.4 分 所以，当3n时，2(2)32
10、1nann.所以21(1,2,3,).nannL 6 分 方法 2：设等差数列na的公差为d，因为3221naann，所以21322527.aaaa 2 分 6 所以11+2537.adad 4 分 所以112.ad 5 分 所以1(1)21(1,2,3,)naandnnL 6 分 （）因为数列nnab是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以12nnnab 7 分 因为21nan，所以12(21)nnbn.8 分 设数列 nb的前n项和为nS，则1(1242)135(21)nnSnLL 12(121)122nnn 12 分 221nn 所以数列 nb的前n项和为221.nn.13 分 16（
11、本小题 13 分）解：（）133()2cos(sincos)222f xxxx 1 分 23sincos3cos2xxx 11cos23sin 23222xx 3 分 sin(2)3x 4 分 所以函数()f x的最小正周期22T.5 分 所以曲线()yf x的相邻两条对称轴的距离为2T，即2.6 分 7 （）由（）可知()sin(2)3f xx 当0,x时，2,2333x.8 分 因为sinyx在,2 2 上单调递增，且()f x在0,上单调递增，所以,2,332 2 ，9 分 即0232 11 分 解得5012.12 分 故的最大值为512.13 分 17（本小题 14 分）（）证明：折叠
12、前，因为四边形AECD为菱形，所以ACDE；所以折叠后，,DEPF DECF,2 分 又,PFCFF PF CFI平面PCF，所以DE 平面PCF 4 分 （）因为四边形AECD为菱形，所以/,DCAE DCAE.又点E为AB的中点，所以/,DCEB DCEB.所以四边形DEBC为平行四边形.所以/CBDE.6 分 又由（）得，DE 平面PCF,所以CB 平面PCF.8 分 因为CB 平面PBC，所以平面PBC 平面PCF.9 分（）存在满足条件的点,M N,且,M N 分别是PD和BC的中点.10 分 如图，分别取PD和BC的中点,M N.8 连接,EN PN MF CM.因为四边形DEBC
13、为平行四边形，所以1/,2EFCN EFBCCN.所以四边形ENCF为平行四边形.所以/FCEN.11 分 在PDE中，,M F分别为,PD DE中点，所以/MFPE.12 分 又,EN PE 平面,PEN PEENEI,MF CF 平面CFM,所以平面/CFM平面PEN.14 分 18.（本小题 13 分）解：（）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91 其中大于等于 90 分的有 1 号、5 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 6 人.1 分 所以样本中学生考核成绩大于等于 90 分的频率是63105.3
14、 分 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率为 0.6.4 分（）设事件A为“从考核成绩大于等于 90 分的学生中任取 2 名同学，这 2 名同学两轮测试成绩均大于等于 90 分”，5 分 由（）知，考核成绩大于等于 90 分的学生共 6 人，其中两轮测试成绩均大于等于 90 分的学生有 1 号，8 号，10 号，共 3 人.6 分 因此，从考核成绩大于等于 90 分的学生中任取 2 名同学，包含（1 号，5 号）、（1 号，7 号）、（1 号，8 号）、（1 号，9 号）、（1 号、10 号）、（5 号，7号）、（5 号，8 号）、（5 号，9 号）、（
15、5 号，10 号）、（7 号，8 号）、（7 号，9 号）、（7 号，10 号）、（8 号，9 号）、（8 号，10 号）、（9 号，10 号）共 15 个基本事件，7 分 而事件A包含（1 号，8 号）、（1 号、10 号）、（8 号，10 号）共 3 个基本事件，8 分 所以31()155P A.9 分（）12=xx 11 分 2212ss 13 分 19（本小题 13 分）解：（）()f x的定义域为(,0)(0,)U，1 分 9 令()0f x ，得220,.xaxa 2 分 当0a 时，方程无解，()f x没有零点；3 分 当0a 时，得xa .4 分 综上，当0a 时()f x无零
16、点；当0a 时，()f x零点为a.（）2()(1)()xxaafxexexx322()xxxaxa ex.6 分 令32()g xxxaxa，(1)x 7 分 则2()32g xxxa，8 分 其对称轴为13x ，所以()g x在(1,)上单调递增，9 分 所以2()3 12 15g xaa ，当5a 时，()0g x 恒成立，10 分 所以()g x在(1,)上为增函数.11 分 所以()(1)20g xg.12 分 所以1x 时，()0fx,()f x在(1,)上单调递增.13 分 20（本小题 14 分）解：（）椭圆C的方程可化为2212xy,1 分 所以2,1,1abc.2 分 所以
17、长轴长为22 2a，离心率2.2cea 4 分（）方法 1：证明：显然直线PA1、QA2、QA1、PA2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,.k k k k 设直线PA1的方程为1(2)yk x，QA2的方程为2(2)yk x，5 分 10 联立可得21212()Mkkxkk.6 分 同理可得43432()Nkkxkk.7 分 下面去证明141.2k k 设00(,)P xy，则220022xy.所以22000014220000122222yyyyk kxyxx.10 分 同理231.2k k 11 分 所以1221211211222()2()1122NMkkkkxxkkkk.13 分
18、所以直线MN垂直于x轴.14 分 方法 2：设直线l方程为1122,(,),(,)ykxm P x yQ xy.5 分 由2222ykxmxy 得222(12)4220kxkmxm.当0 时，2121222422,1212kmmxxx xkk.7分 直线1AP方程为11(2)2yyxx，直线2A Q方程为22(2)2yyxx，8 分 联立可得1212(2)(2)22yyxxxx，得21122112()2()2222yyyyxxxxx 21121221(2)(2)2(2)(2)y xy xxy xy x 9 分 11 其中，21122112(2)(2)()(2)()(2)y xy xkxm xkxm x 12122()()2 2k xxm xxm 12212212242()2 2122 2()122 2()12kmkm xxmkmm xxkmxxk 11 分 12211221(2)(2)=()(2)()(2)y xy xkxm xkxm x 1 212212()2()kx xm xxk xx 2212221212222422()121242()122 22()12mkmkmk xxkkkk xxkkxxk 12 分 所以2Mkxm，即点M的横坐标与,P Q两点的坐标无关，只与直线l的方程有关.13 分 所以2NMkxxm，直线MN垂直于x轴.14 分