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1、第 27 讲 平面向量的概念及线性运算 夯实基础【p63】【学习目标】1理解向量的概念，掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念 2理解向量的加法和减法及几何意义 3掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件【基础检测】1已知两点 A（4,1）,B(7，3),则与向量错误!同向的单位向量是（)A错误!B.错误!C。错误!D.错误!【解析】因为 A、B 两点的坐标为 A（4，1),B(7，3），所以错误!(3,4)，所以错误!5，所以与向量错误!同向的单位向量为错误!。故选 C.【答案】C 2如图，在ABC 中,BE 是边 AC 的中线,O 是 BE 边的中点，若错误!a，错误!b,则错误!（
2、)A.错误!a错误!b B。错误!a错误!b C.14a错误!b D。错误!a错误!b【解析】由题意，在ABC中,BE是边AC上的中线,所以AE，错误!错误!，又因为O为BE的中点，所以错误!错误!(错误!错误!)错误!错误!错误!错误!错误!a错误!b，故选 B。【答案】B 3下列命题中:ab存在唯一的实数R，使得ba；若e为单位向量，且ae，则aae;|aaa|a3；若a与b共线，b与c共线,则a与c共线；若abbc且b0，则 ac。其中正确命题的序号是（)A B C D【解析】对于,根据共线向量的定理可知，当a0 时此命题才正确，所以此命题错误;对于,根据共线向量和单位向量的定义可知，两
3、向量共线方向相反或相同，所以此命题正确;对于，根据向量数量积的性质aaa2|a2知道此命题正确；对于,向量的平行不具有传递性，当b0 时才满足传递性,所以此命题错误；对于，由已知得（ac）b0 且b0，则a与c相等或不相等，因为当(ac）b也正确，所以此命题错误，所以选 B。【答案】B 4已知a与b是两个不共线向量,且向量ab与(b3a)共线，则_【解析】由已知得abk（b3a)，错误!解得错误!【答案】错误!【知识要点】1向量的有关概念（1)向量：_既有大小又有方向的量_叫向量一般用a,b，c，来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示,如：错误!。向量的大小，即向量的长度（或称模），
4、记作错误!.(2）零向量：_长度为零_的向量，记作 0,其方向是任意的我们规定：零向量和任何向量平行(3)单位向量：_长度等于 1 个_单位长度的向量与非零向量a同向的单位向量为错误!，与a反向的单位向量为错误!。(4)相等向量：长度相等且_方向相同_的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。（5)平行向量:方向_相同或相反_的非零向量，叫作共线向量，因此任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上 2向量的加、减运算（1)向量加、减法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法;若_bxa_，则向量x叫作a与b的差（2）向量加、减法的几何意义 向量加法的几何意义 向量的加法符合平行四边形法
5、则和_三角形法则_ 如图所示的向量错误!ab.向量减法的几何意义 向量的减法符合_三角形法则_如图所示的向量错误!ab(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量）常用结论 M为AOB边AB的中点，则错误!错误!（错误!错误!)(3）线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则错误!错误!错误!。向量加法的多边形法则：有限个向量a1，a2,an相加，可以从点O出发，逐一作向量错误!a1，错误!a2，An1Anan，则向量错误!是这些向量的和，即 a1a2an错误!错误!An1An错误!(向量加法的多边形法则）当An和O重合时（即上述折线OA1A2An成封闭折线时)，和向
6、量为零向量 3向量的数乘运算(1）数乘向量的定义 实数 与向量a的积是一个向量,记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a；当0 时，a与a的_方向相同_；当0 时，a与a的方向相反；当0 时，a0；当a0 时，_a0_(2）数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向伸长或缩短(3）数乘向量的运算律 设、为实数,则()aa a；（a)()a;（ab)ab.（4)共线向量(平行向量基本定理）若ab，则ab；反之，若ab(b0），则一定存在一个实数，使ab。4向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有_大小_又有方向的量；向量的大小叫作向量的_长度_(或称_模_）平面
7、向量是自由向量 零向量 长度为_0_的向量；其方向是任意的 记作 0 单位 向量 长度等于_1 个单位_的向量 非零向量a的单位向量为错误!平行 向量 方向_相同_或_相反_的非零向量 共线 向量 _方向相同或相反_的非零向量又叫作共线向量 0 与任一向量平行或共线 相等 长度_相等_且方向_相同 向量 _的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反 向量 长度_相等_且方向_相反_的向量 0 的相反向量为 0 5。向量的线性运算 向量 运算 定义 法则（或几 何意义）运算律 加法 求两个向量和的运算 _三角形_法则 _平行四边形_ 法则（1)交换律ab_ba_（2）结合律:（ab）c_a
8、(bc）_ 减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫作a与b的差 _三角形_法则 aba(b）典 例 剖 析【p65】考点 1 向量概念及其几何意义 例1给出下列命题：已知，R，则（)a与a共线；若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反;若向量错误!与错误!是共线向量，则A,B，C,D必在同一直线上；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是错误!错误!；已知O是平面内一定点,A，B,C是平面内不共线的三个点，动点P满足错误!错误!错误!，0,),则点P的轨迹一定通过ABC的内心 其中正确的命题是_（填命题的序号)【解析】由实数与向量的积，可知其正确 若其中一个是零向量，则其方向不确定,故不正
9、确 错误!错误!，AB和CD可以共线,也可以平行，故不正确 若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，所以错误!错误!；若四边形ABCD中，错误!错误!,则AB綊CD,所以四边形ABCD是平行四边形,故正确 错误!与错误!分别表示错误!与错误!方向的单位向量，设它们分别为错误!与错误!，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形ABPC，错误!平分BAC，错误!（错误!错误!）与错误!的方向相同，也平分BAC。由错误!错误!错误!知P的轨迹为BAC的平分线,一定通过ABC的内心,故正确【答案】【小结】向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用 考点 2 平面向量的
10、线性运算 例2(1）如图所示的方格纸中有定点 O，P,Q,E，F，G，H,则错误!错误!()A。错误!B.错误!C.错误!D。错误!【解析】设a错误!错误!，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量a错误!错误!,由a和错误!长度相等，方向相同，a错误!，故选 C。【答案】C(2）在ABC中，已知D是AB边上的一点,若错误!2错误!，错误!错误!错误!错误!,则等于(）A。错误!B。错误!C错误!D错误!【解析】错误!2错误!，即错误!错误!2（错误!错误!),错误!错误!错误!错误!错误!,错误!。【答案】A （3)在ABC中，D，E分别为BC，AC边上
11、的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设错误!a,错误!b,试用a，b表示错误!,错误!.【解析】错误!错误!(错误!错误!）错误!a错误!b.错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（错误!错误!）错误!错误!错误!(错误!错误!)错误!错误!错误!错误!错误!a错误!b.【小结】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则（2）求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值 考点 3
12、 向量共线的判定与应用 错误!设a、b是不共线的两个非零向量（1)若错误!2ab，错误!3ab，错误!a3b，求证：A、B、C三点共线；（2）若 8akb与ka2b共线,求实数k的值【解析】（1）错误!错误!错误!(3ab)(2ab)a2b，错误!错误!错误!（a3b)（3ab）2a4b2错误!，错误!与错误!共线,且有公共端点B。A、B、C三点共线（2）8akb与ka2b共线,存在实数，使得(8akb）(ka2b）（8k）a(k2)b0.a与b不共线,错误!8222.k24。【小结】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时,才能
13、得出三点共线（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2,使1a2b0 成立，若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量a、b不共线【能力提升】例4设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若错误!错误!(R），错误!错误!（R），且错误!错误!2,则称A3，A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面的说法中正确的是（)AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点 CC,D可能同时在线段AB上 DC,D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】依题意,若C，D调和分割点A，B,则有错误!错误!，错误!错误!，且错误!错误!2.若C是线段A
14、B的中点，则有错误!错误!错误!，此时错误!。又错误!错误!2，所以错误!0，不可能成立因此 A 不对，同理 B 不对 当C，D同时在线段AB上时，由错误!错误!，错误!错误!知 01,02，与已知条件错误!错误!2 矛盾,因此 C 不对 若C,D同时在线段AB的延长线上，则错误!错误!时，1，错误!错误!时，1，此时1错误!2，与已知条件错误!错误!2 矛盾，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【小结】本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力,求解时应明确，若点C在线段AB上，则当错误!错误!时,01，求解本题时还要注意不等式性质及反证法
15、思想的应用，本题难度适中 方 法 总 结【p66】1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 3对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点O，错误!，错误!不共线，满足错误!x错误!y错误!（x，yR），则P,A,B共线xy1。走 进 高 考 【p66】1(2018全国卷)在ABC中，A
16、D为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!（）A。错误!错误!错误!错误!B.错误!错误!错误!错误!C。错误!错误!错误!错误!D。错误!错误!错误!错误!【解析】由题意可得错误!错误!错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!错误!错误!错误!.【答案】A 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled
17、by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.