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1、安徽省合肥市 2018届高三第一次教学质量检测 数学理试题 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则2342iii（）A 5 B5i C71255i D71255i 2.已知等差数 na，若2510,1aa，则 na的前 7 项的和是（）A 112 B51 C28 D18 3.已知集合M是函数112yx的定义域，集合N是函数24yx的值域，则MN（）A 12x x B142xx C 1,2x y x且4y D 4.若双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为2y
2、x，该双曲线的离心率是（）A 52 B3 C5 D2 3 5.执行如图程序框图，若输入的n等于 10，则输出的结果是（）A 2 B3 C12 D13 6.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布100,4N.现从该产品的生产线上随机抽取 10000件产品，其中质量在98,104内的产品估计有（）（附：若X服从2,N，则0.6826PX，220.9544PX）A 3413件 B4772件 C6826件 D8185件 7.将函数cossinyxx的图像先向右平移0 个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到cos2sin2yxx的图像，则,a的可能取值为（）A,22
3、a B3,28a C31,82a D1,22a 8.已知数列 na的前n项和为nS，若323nnSan，则2018a（）A 201821 B201836 C20181722 D201811033 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A 518 B618 C86 D106 10.已知直线210 xy 与曲线xyaex相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是（）A 12 B1 C2 De 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件.甲、乙两种产品都需要在AB、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备
4、2 小时，B设备 6 小时；生产一件乙产品需用A设备 3 小时，B设备 1 小时.AB、两种设备每月可使用时间数分别为 480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A 320千元 B360千元 C400千元 D440千元 12.已 知 函 数 22,2xef xxxg xx(其 中e为 自 然 对 数 的 底 数），若 函 数 h xfg xk有 4 个零点，则k的取值范围为（）A 1,0 B0,1 C221,1ee D2210,ee 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若平面向量,a b满足2,6abab
5、，则a b 14.已知m是常数，543252054311 a xa xa xa xa xamx，且1234533aaaaaa，则m 15.抛物线2:4E yx的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(第一象限内)作l的垂线PQ,垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为 16，则点P的坐标为 16.在四面体ABCD中，2,60,90ABADBADBCD，二面角ABDC的大小为150,则四面体ABCD外接球的半径为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，2coscos0abCcA.（
6、1）求角C；（2）若2 3c，求ABC的周长的最大值.18.2014年 9月，国务院发布了关于深化考试招生制度改革的实施意见.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试
7、的成绩获A等的概率都是 0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是 0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF 平面ABCD，DE 平面ABCD，BFDE，点M为棱AE的中点.（1）求证：平面/BMD平面EFC；（2）若2DEAB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点12,F F，交y轴于点12,B B.以12,B B为顶点，12,F F分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点21,2.（1）求椭圆
8、E的标准方程；（2）设经过点2,0的直线l与椭圆E交于,M N两点，求2F MN面积的最大值.21.已知 ln 21af xxaRx.（1）讨论 f x的单调性；（2）若 f xax恒成立，求a的值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线13cos:2sinxCy(为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos0C.（1）求曲线2C的普通方程；（2）若曲线1C上有一动点M，曲线2C上有一动点N，求MN的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f xx.（1
9、）解关于x的不等式 11f xf x；（2）若关于x的不等式 1f xmf x的解集不是空集，求m的取值范围.试卷答案 一、选择题 1-5:ACBCC 6-10:DDACB 11、12：BD 二、填空题 13.1 14.3 15.4,4 16.213 三、解答题 17.解：（1）根据正弦定理，由已知得：sin2sincossincos0ABCCA，即sincossincos2sincosACCABC，sin2sincosACBC，ACB，sinsinsin0ACBB，sin2sincosBBC，从而1cos2C.0,C，3C.（2）由（1）和余弦定理得2221cos22abcCab，即2212
10、abab，2212332ababab，即248ab(当且仅当2 3ab时等号成立）.所以，ABC周长的最大值为4 36 3c.18.（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M，则3336119112020CP MC ，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920.（2）随机变量X的所有可能取值有 0,1，2，3.因为211105480P X,2124111311545448P XC，212413133325445480P XC，243935420P X，所以X的分布列为 所以 110333601232.380808080E X .19.（1
11、）证明：连结AC，交BD于点N，N为AC的中点，/MNEC.MN 平面EFC，EC 平面EFC，/MN平面EFC.,BF DE都垂直底面ABCD，/BFDE.BFDE，BDEF为平行四边形，/BDEF.BD 平面EFC，EF 平面EFC，/BD平面EFC.又MNBDN，平面/BDM平面EFC.（2）由已知，DE 平面ABCD，ABCD是正方形.,DA DC DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设2AB，则4DE，从而2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4BMAE，2,2,0,1,0,2DBDM，设平面BDM的一个法向量为,nx y z，由00n DBn DM得22020 x
12、yxz.令2x，则2,1yz ，从而2,2,1n.2,0,4AE ，设AE与平面BDM所成的角为，则 4 5sincos15n AEn AEnAE，所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为4 515.20.（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为222210 xyabab，焦距为2c，则bc，22222abcb，椭圆E的标准方程为222212xybb.又椭圆E过点21,2，2211212bb，解得21b.椭圆E的标准方程为2212xy.（2）由于点2,0在椭圆E外，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线:2l yk x，设1122,M x yN xy.由2221
13、2yk xxy消去y得，2222)128820kxk xk（.由 0 得2102k，从而22121222882,1212kkxxx xkk，22212222412 112kMNkxxkk.点21,0F到直线l的距离231kdk，2F MN的面积为22222413212kkSMNdk.令212kt，则1,2t，222123233ttttStt2232131313248ttt，当134t即4 41,23 3t时，S有最大值，max3 24S，此时66k .所以，当直线l的斜率为66时，可使2F MN的面积最大，其最大值3 24.21.（）f x的定义域为12，2222222121axaxafxxx
14、xx.2210,0 xx.令 2 22g xxaxa，则（1）若0，即当02a时，对任意1,2x，0g x 恒成立，即当1,2x时，0fx恒成立（仅在孤立点处等号成立）.f x在1,2上单调递增.（2）若0，即当2a 或0a 时，g x的对称轴为2ax.当0a 时，02a，且11022g.如图，任意1,2x，0g x 恒成立，即任意1,2x时，0fx恒成立，f x在1,2上单调递增.当2a 时，12a，且11022g.如图，记 0g x 的两根为2212112,222xaaaxaaa 当121,2xxx时，0g x；当21 1,22 2aaa时，0g x.当121,2xxx时，0fx，当12,
15、xx x时，0fx.f x在11,2x和2,x 上单调递增，在12,x x上单调递减.综上，当2a 时，f x在1,2上单调递增；当2a 时，f x在21 1,22 2aaa和212,2aaa上单调递增，在 22112,222aaaaaa上单调递减.（）f xax恒成立等价于1,2x，0f xax恒成立.令 ln 21ah xf xaxxaxx，则 f xax恒 成 立 等 价 于1,2x，01h xh *.要满足*式，即 h x在1x 时取得最大值.32222221axa xaxah xxx.由 10h解得1a.当1a 时，2212121xxxh xxx，当1,12x时，0h x；当1,x时
16、，0h x.当1a 时，h x在1,12上单调递增，在1,上单调递减，从而 10h xh，符合题意.所以，1a.22.（1）由2cos0得：22 cos0.因为222,cosxyx，所以2220 xyx，即曲线2C的普通方程为2211xy.（2）由（1）可知，圆2C的圆心为21,0C，半径为 1.设曲线1C上的动点3cos,2sinM，由动点N在圆2C上可得：2minmin1MNMC.22223cos14sin5cos6cos5MC 当3cos5时，2min4 55MC，2minmin4 5115MNMC.23.（1）1121211f xf xxx，122121 1xxx 或11221221 1xxx 或121221 1xxx 12x或1142x14x，所以，原不等式的解集为1,4.（2）由条件知，不等式22 11xxm有解，则min2121 mxx即可.由于 1222112211221xxxxxx，当且仅当12210 xx，即当1 1,2 2x 时等号成立，故 2m.所以，m的取值范围是2,.