《2020届中考数学专题复习-动态几何之定值问题探讨.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届中考数学专题复习-动态几何之定值问题探讨.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 最新 2020 届中考数学专题复习-动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。结合 2018 年和 2019 年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例 1：（2
2、019 黑龙江绥化 8 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4，点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R（1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ=512（不需证明）（2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 【答案】解
3、：（2）图 2 中结论 PRPQ=125仍成立。证明如下：连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K。四边形 ABCD 为矩形，BCD=90。又CD=AB=3，BC=4，22 22BDCDBC345。SBCD=12BCCD=12BDCK，34=5CK，CK=125。2 SBCE=12BECK，SBEP=12PRBE，SBCP=12PQBC，且 SBCE=SBEPSBCP，12BECK=12PRBE12PQBC。又BE=BC，12CK=12PR12PQ。CK=PRPQ。又CK=125，PRPQ=125。（3）图 3 中的结论是 PRPQ=125【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析
4、】（2）连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K根据矩形的性质及勾股定理求出 BD 的长，根据三角形面积相等可求出 CK 的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图 3 中的结论是 PRPQ=125。连接 BP，SBPESBCP=SBEC，SBEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而 PRPQ=125。例 2：（2019 江西省 10 分）如图，已知二次函数 L1：y=x24x+3 与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C（1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数 L2：y=kx24kx+3k（k0）写出
5、二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数 k，使ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不存在，请说明理由；若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由 【答案】解：（1）抛物线22yx4x3x21，3 二次函数 L1的开口向上，对称轴是直线 x=2，顶点坐标（2，1）。（2）二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为 x=2；都经过 A（1，0），B（3，0）两点。存在实数 k，使ABP 为等边三角形 22ykx4kx3kk x2k，顶点 P（2，
6、k）A（1，0），B（3，0），AB=2 要使ABP 为等边三角形，必满足|k|=3，k=3。线段 EF 的长度不会发生变化。直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。EF=x2x1=6。线段 EF 的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。【分析】（1）抛物线 y=ax2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a0 时，抛物线的开口向上；a0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）新函数是由原函数的各项系数同
7、时乘以 k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。当ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出 P 点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的32倍，由此确定 k 的值。联立直线和抛物线 L2的解析式，先求出点 E、F 的坐标，从而可表示出 EF 的长，若该长度为定值，则线段 EF 的长不会发生变化。例 3：（2019 山东德州 12 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接
8、 BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 4 【答案】解：（1）如图 1，PE=BE，EBP=EPB 又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD 的周长不变为定值 8。证明如下：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=B
9、P，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。又EF 为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x 在 RtAPE 中，（4BE）2+x2=BE2，即2xBE2+8。2xCFBEEM2+x8。又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，22211x11S
10、BECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422。5 1042，当 x=2 时，S 有最小值 6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC 即可得出答案。（2）先由 AAS 证明ABPQBP，从而由 HL 得出BCHBQH，即可得 CH=QH。因此，PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。（3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在 RtAPE 中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值
11、求出即可。例 4：（2019 福建泉州 12 分）已知：A、B、C 不在同一直线上.（1）若点 A、B、C 均在半径为 R 的O 上，i）如图一，当A=45时，R=1，求BOC 的度数和 BC 的长度；ii）如图二，当A 为锐角时，求证 sinA=BC2R；（2）.若定长线段BC 的两个端点分别在MAN 的两边 AM、AN（B、C 均与点 A 不重合）滑动，如图三，当MAN=60，BC=2 时，分别作 BPAM，CPAN，交点为点 P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.【答案】解：（1）i）A=45，BOC=90（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又
12、R=1，由勾股定理可知 BC=1 1=2。ii）证明：连接 BO 并延长，交圆于点 E，连接 EC。可知 ECBC（直径所对的圆周角为 90），且E=A（同弧所对的圆周角相等）。6 故 sinA=sinA=BCBCBE2R。（2）保持不变。理由如下：如图，连接 AP，取 AP 的中点 K，连接 BK、CK，在 RtAPC 中，CK=12AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK。CK=BK=AK=PK。点 A、B、P、C 都在K 上。由（1）ii）sinA=BC2R可知 sin60=BCAP。AP=BC4 3sin603（为定值）。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函
13、数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（1）i）根据圆周角定理得出BOC=2A=90，再利用勾股定理得出 BC 的长；ii）作直径 CE，则E=A，CE=2R，利用 sinA=sinE=BCBCBE2R，得出即可。（2）首先证明点 A、B、P、C 都在K 上，再利用 sinA=BC2R，得出 AP=BC4 3sin603（定值）即可。例 5：（2019 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线1l、2l (1)
14、求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以 ON 为直径的圆与直线1l相切；(3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线2l的距离之和等于线段 MN 的长 7 【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax2bxc，则4a2b+c=04a+2b+c=0c=1 解得1a=4b=0c=1。抛物线对应二次函数的解析式 所以21y=x14。（2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点 M、N 在抛物线上，22112211y=x1y=x144，x22=4(y2+1)。又2222222222ONxy4 y1yy2，2ONy2。又y2l，ON=2y2。设 ON 的
15、中点 E，分别过点 N、E 向直线1l作垂线，垂足为 P、F，则 22yOCNPEF22，ON=2EF，即 ON 的中点到直线1l的距离等于 ON 长度的一半，以 ON 为直径的圆与1l相切。（3）过点 M 作 MHNP 交 NP 于点 H，则222222121MNMHNHxxyy，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一 xl)2。又点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，21kx=x14，即 x24kx4=0，x2x1=4k，x2x1=4。MN2=(1+k2)(x2一 xl)2=(1+k2)(x2xl)24x2xl=16(1+
16、k2)2。MN=4(1+k2)。延长 NP 交2l于点 Q，过点 M 作 MS2l交2l于点 S，8 则 MSNQ=y12y22=221211x1+x1+444 222222121212111=x+x+2=x+x2xx+2=16k+8+2=4k+4=4 1+k444 MS+NQ=MN，即 M、N 两点到2l距离之和等于线段 MN 的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以 ON 为
17、直径的圆与直线1l相切，只要证 ON 的中点到直线1l的距离等于 ON 长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出 MN 和 M、N 两点到直线2l的距离之和，相比较即可。例 6：（2019 湖北咸宁 10 分）如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上，若4321，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形图 2，图 3，图 4 中，四边形 ABCD为矩形，且 AB=4，BC=8 理解与作图：（1）在图 2，图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的 反射四边形 EFGH 计
18、算与猜想：（2）求图 2，图 3 中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想 9 【答案】解：（1）作图如下：（2）在图 2 中，22EFFGGHHE24202 5，四边形 EFGH 的周长为8 5。在图 3 中，22EFGH215，22FGHE36453 5，四边形 EFGH 的周长为252 3 58 5。猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。（3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，12，15，
19、25。又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）。EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB。MN=2BC=16。M905901，N903，13，MN。GM=GN。过点 G 作 GKBC 于 K，则1KMMN82。2222GMGKKM484 5。四边形 EFGH 的周长为2GM8 5。矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。10（2）图 2 中，利用勾股定理求出 EF=FG=GH=HE 的长度，然后即可
20、得到周长，图 3 中利用勾股定理求出 EF=GH，FG=HE 的长度，然后求出周长，从而得到四边形 EFGH 的周长是定值。（3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，再利用“ASA”证明 RtFCE 和 RtFCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=MF，EC=MC，同理求出 NH=EH，NB=EB，从而得到 MN=2BC，再证明 GM=GN，过点 G 作 GKBC 于 K，根据等腰三角形三线合一的性质求出1KMMN82，再利用勾股定理求出 GM的长度，然后即可求出四边形 EFGH 的周长。例 7：（2019 广西崇左 10 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在
21、 BC、CD 上移动，但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等，问在点 E、F 移动过程中；（1）EAF 的大小是否发生变化？请说明理由.（2）ECF 的周长是否发生变化？请说明理由.11 练习题：1.（2018 湖南岳阳 8 分）如图，将菱形纸片 AB（E）CD（F）沿对角线 BD（EF）剪开，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD 与ECF 叠放在一起（1）操作：如图，将ECF 的顶点 F 固定在ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转，设旋转时 FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合），FE 交 DA 于点 G（G 点
22、不与 D 点重合）求证：BHGD=BF2（2）操作：如图，ECF 的顶点 F 在ABD 的 BD 边上滑动（F 点不与 B、D 点重合），且 CF 始终经过点 A，过点 A 作 AGCE，交 FE 于点 G，连接 DG 探究：FD+DG=请予证明 2.（2018 四川眉山 11 分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（0，1），B（4，4），将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的距离为 d2，试说明 d2=d11；（3）在（2）的
23、条件下，请探究当点 P 位于何处时，PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小值 3.（2018 湖南郴州 10 分）如图，RtABC 中，A=30，BC=10cm，点 Q 在线段 BC 上从 B 向 C 运动，点 P 在线段 BA 上从 B 向 A 运动Q、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点 Q 到达点 C 时，两点都停 12 止运动作 PMPQ 交 CA 于点 M，过点 P 分别作 BC、CA 的垂线，垂足分别为 E、F（1）求证：PQEPMF；（2）当点 P、Q 运动时，请猜想线段 PM 与 MA 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设 BP=x，PEM 的面积为y，求
24、 y 关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来 4.（2018 辽宁营口 14 分）已知正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC 边所在直线上，且随着点 P 的运动而运动，PEPD 总成立(1)如图(1)，当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点 P 运动到 CA 的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图
25、形，并判断此时PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2)5.（2018 贵州遵义 12 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，BC20cm，AD10cm，现有两个动点 P、Q 分别从 B、D 两点同时出发，点 P 以每秒 2cm 的速度沿 BC 向终点 C 移动，点 Q 以每秒 1cm 的速度沿 DA 向终点 A 移动，线段 PQ 与 BD 相交于点 E，过 E 作 EFBC 交 CD 于点 F，射线 QF 交 BC 的延长线于点 H，设动点 P、Q 移动的时间为 t（单位：秒，0t10）（1）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 为平行四边形？（2）在 P、Q 移动的
26、过程中，线段 PH 的长是否发生改变？如果不变，求出线段 PH 的长；如果改变，请说明理由 13 6.（2018 黑龙江龙东五市 8 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4，点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R。（1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ=512（不需证明）。（2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图 3，当点 P 为线段
27、EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样 的数量关系？请直接写出你的猜想。二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例 1：（2019 湖北十堰 3 分）如图，O 是正ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO，下列结论：BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到；点 O 与 O的距离为 4；AOB=150；AOBOS=6+3 3四形边；AOCAOB9 3SS6+4其中正确的结论是【】A B C D 【答案】A。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定
28、理的逆定理。14【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到。故结论正确。连接 OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为 OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB=900600=150。故结论正确。AOOOBOAOBO11SSS3 4+4 2 36+4 322 四形边。故结论错误。如图所示，
29、将AOB 绕点 A 逆时针旋转 60，使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O点 易知AOO是边长为 3 的等边三角形，COO是边长为 3、4、5 的 直角三角形。则AOCAOBAOCOCOOAOO113 39 3SSSSS3 4+3=6+2224 。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选 A。例 2：（2019 广西玉林、防城港 12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是（0,4），现有两动点 P、Q，点 P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以每秒 2 个单位长度的速度，匀速向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD（不包
30、括端点 C，D）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点D 运动.点 P，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为 t 秒，当 t=2 秒时 PQ=52.（1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围；（2）连接 AQ 并延长交x轴于点 E,把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F,连接 EF，则AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出 S 的值.（3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？15 【答案】解：（1）由题意可知，当 t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在 RtPCQ 中，由勾股定理得：PC=222
31、2PQCQ2 52=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形 AOCD，A（0，4），D（8，4）。t 的取值范围为：0t4。（2）结论：AEF 的面积 S 不变化。AOCD 是矩形，ADOE，AQDEQC。CECQADDQ，即CEt84t，解得 CE=8t4t。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则 CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=12（OA+CF）OC+12CFCE12OAOE=12 4（8t）8+12（8t）8t4t124（88t4t）。化简得：S=32 为定值。所以AEF 的面积 S 不变化，S=32。（3）若四边形 APQF 是梯形，因为 AP 与 C
32、F 不平行，所以只有 PQAF。由 PQAF 可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即 82t：8=t：4t，化简得 t212t16=0，解得：t1=6+25，t2=62 5。由（1）可知，0t4，t1=6+25不符合题意，舍去。当 t=62 5秒时，四边形 APQF 是梯形。【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。16【分析】（1）由勾股定理可求 PC 而得点 C 的坐标，根据矩形的性质可得点 D 的坐标。点 P 到达终点所需时间为 82=4 秒，点 Q 到达终点所需时间为 41=4 秒，由题意可知，t 的取值范
33、围为：0t4。（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出 S 关于 t 的函数关系式，由于关系式为常数，所以AEF 的面积 S 不变化，S=32。（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。例 3：（2019 江苏苏州 9 分）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分
34、别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（s），线段 GP 的长为 y（cm），其中 0 x2.5.试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y=3 时相应 x 的值；记DGP 的面积为 S1，CDG 的面积为 S2试说明 S1S2是常数；当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长.【答案】解：（1）CGAP，CGD=PAG，则tanCGD=tanPAG。CDPG=GDAG。GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。1y=3x4x，即4xy=3x。y 关于 x 的函数关系式为4xy=3x。当 y=3 时，4x3=3x，解得:x=
35、2.5。（2）1211 4x11113S=GP GD=3xx+2S=GD CD=3x1x+22 3x22222 ，121131SS=x+2x+2222 为常数。（3）延长 PD 交 AC 于点 Q.正方形 ABCD 中，AC 为对角线，CAD=45。17 PQAC，ADQ=45。GDP=ADQ=45。DGP 是等腰直角三角形，则 GD=GP。4x3x=3x，化简得：2x5x+5=0，解得：55x=2。0 x2.5，55x=2。在 RtDGP 中，0GD552+10PD=2 3x=2 3=22cos45。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐
36、角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出 AG、GD 的长度，再由tanCGD=tanPAG可解出 x 的值。（2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可。（3）延长 PD 交 AC 于点 Q，然后判断DGP 是等腰直角三角形，从而结合 x 的范围得出 x 的值，在 RtDGP 中，解直角三角形可得出 PD 的长度。例 4：（2019 四川自贡 12 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BC
37、CD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC 和ACD 为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。18 在ABE 和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积
38、发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则 SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，22AECFABC11SSBC AHBCABBH4 322四形边。由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形AECFSAEF 2214 32 32 3332。CEF 的面积的最大值是3。
39、【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF=60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得 BE=CF。（2）由ABEACF 可得 SABE=SACF，故根据 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF=S四边形AECFSAEF，则
40、CEF 的面积就会最大。例 5：（2019 湖南益阳 12 分）已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点，AEBF 于点 G，且 BE=1（1）求证：ABEBCF；（2）求出ABE 和BCF 重叠部分（即BEG）的面积；（3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到ABE（如图 2），使点 E 落在 CD 边上的点 E处，问ABE在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 19 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABE=BCF=90，AB=BC。ABF+CBF=90。AEBF，ABF+BAE=90。BAE=C
41、BF。在ABE 和BCF 中，ABE=BCF，AB=BC，BAE=CBF，ABEBCF（ASA）。（2）解：正方形面积为 3，AB=3。在BGE 与ABE 中，GBE=BAE，EGB=EBA=90，BGEABE。2BGEABESBE =()SAE。又BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=4。20 2BGEABE2BE133S=S428AE。练习题：1.（2018 山东东营 12 分）如图所示，四边形 OABC 是矩形点 A、C 的坐标分别为(30，)，(0，1)，点D 是线段 BC 上的动点(与端点 B、C 不重含)，过点 D 作直线12yxb交折线 OAB 于点 E。(1)记ODE 的面
42、积为 S求 S 与 b 的函数关系式：(2)当点 E 在线段 OA 上时，且 tanDEO=12。若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形1111O A B C试探究四边形1111O A B C与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重 21 叠部分妁面积；若改变请说明理由。2.（2018 浙江舟山、嘉兴 12 分）已知直线3 kxy（k0）分别交x轴、y轴于 A、B 两点，线段 OA上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P 作x轴的垂线交直线 AB 于点 C，设运动时间为t秒（1）当1k时，线段 OA 上另有一动点 Q
43、 由点 A 向点 O 运动，它与点 P 以相同速度同时出发，当 点 P 到达点 A 时两点同时停止运动（如图 1）直接写出t1 秒时 C、Q 两点的坐标；若以 Q、C、A 为顶点的三角形与AOB 相似，求t的值（2）当43k时，设以 C 为顶点的抛物线nmxy2)(与直线 AB 的另一交点为 D（如图 2），求 CD 的长；设COD 的 OC 边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？三、其它定值问题：典型例题：例 1：（2019 浙江义乌 12 分）如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线2422y=x+x273交于点 A（3，6）（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（2）点
44、P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合），交直线OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；22（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合），点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m 在什么范围时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个？【答案】解：（1）把点 A（3，6）代入 y=kx 得；6=3k，即 k=2。y
45、=2x。22OA3+6=3 5。（2）线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H 当 QH 与 QM 重合时，显然 QG 与 QN 重合，此时QMQHQHtanAOM=2QNQGOH。当 QH 与 QM 不重合时，QNQM，QGQH 不妨设点 H，G 分别在 x、y 轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90，QHMQGN。QMQHQHtanAOM=2QNQGOH。当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QM=2QN。线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值。（3）如图 2，延长 AB 交
46、x 轴于点 F，过点 F 作 FCOA 于点 C，过点 A 作 ARx 轴于点R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=15OA=522。23 ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC。OFAO3 55OCOR3。OF=5155522。点 F（152，0）。设点 B（x，2422x+x273），过点 B 作 BKAR 于点 K，则AKBARF。BKAKFRAR，即24226x+xx32737.536。解得 x1=6，x2=3（舍去）。点 B（6，2）。BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE 与OED 中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。B
47、AE=EOD，ABEOED。设 OE=x，则 AE=3 5x（0 x3 5），由ABEOED 得AEODABOE，即3 5xm5x。22113 5139m=x 3 5x=x+x=x5+0 x3 5555524。顶点为39x524，。如图 3，当9m=4时，OE=x=352，此时 E 点有 1 个；当90m4时，任取一个 m 的值都对应着两个 x 值，此时 E 点有 2 个 当9m=4时，E 点只有 1 个，当90m4时，E 点有 2 个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线 y=kx
48、的解析式，根据 A 点坐标用勾股定理求出线段 OA 的长度。24（2）如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H，构造相似三角形QHM 与QGN，将线段 QM 与线段 QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即QMQHQHtanAOM=2QNQGOH为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED。在相似三角形ABE 与OED 中，运用线段比例关系之前需要首先求出 AB 的长度，如图 2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得 AB 的长度。设 OE=x，则由相似边的比例关系可
49、以得到 m 关于 x的表达式2139m=x5+524，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图 3），可见 m 在不同取值范围时，x 的取值（即 OE 的长度，或 E 点的位置）有 1 个或 2 个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。例 2：（2019 山东淄博 4 分）如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【】(A)4 个(B)3 个(C)2 个(D)1 个【答案】C。【考点】正方形的性质，折叠的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三
50、角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。【分析】如图，图中，ABC=12ABD12450DBE，即ABC22.50。根据含 30 度角的直角三角形中 30 度角所对的直角边是斜边的一半的性质，CD12BC。图中，由折叠的性质，ABC=ABF，ECFB，ABC=ABF=ADE=BDC。BC=DC。又由正方形对折的性质和平行线的性质，知 AD=BD，25 根据直角三角形斜边上中线的性质，得 DC=12AB，即 BC=12AB。满足它的一条直角边等于斜边的一半。图中，由正方形对折的性质，它的一条直角边等于另一条直角边的一半，不可能再有一条直角边等于斜边的一半。图中，由正方形折叠的性质和平行线的性质，