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1、 1 高中数学必修二 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱EDCBAABCDE 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱
2、锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCDABCD 2 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面 圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。圆锥 定义：以直
3、角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面 展开图是一个扇形。圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的 几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等 3 于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2.三视图 正视
4、图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。1.3 空间几何体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h为斜高，l 为母线）chS直棱柱侧面积 rhS2圆柱侧 21chS正棱锥侧面积 rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积 lRrS)(圆台侧面积 lrrS2圆柱表 lrrS圆锥表 22RRlrlr
5、S圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh柱 2VShr h圆柱 13VSh锥 hrV231圆锥 4 1()3VSS SS h台 2211()()33VSS SS hrrRRh圆台 球体的表面积和体积公式：V球=343R；S球面=24 R 空间点、直线、平面的位置关系 公理 1：如果一条直线的两点在一个平面，那么这条直线是所有的点都在这个平面。（即直线在平面，或者平面经过直线）应用：判断直线是否在平面 用符号语言表示公理 1：,Al Bl ABl 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理
6、 2 及其推论作用：它是空间确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面和相交，交线是 a，记作a。符号语言：,PABABl Pl 作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间两条直线的位置关系 位置关系 公共点的个数 共面直线 相交直线 在同一个平面，有且仅有一个公共点 平行直线 在同一个平面，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面，没有公共点 直线与
7、平面的位置关系 位置关系 公共点的个数 直线在平面 直线上有两个点在平面，则这条直线上的所有点都在平面 直线在平面外 直线和平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点 直线和平面平行 直线与平面没有公共点 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面的两条直线 5 异面直线性质：既不平行，又不相交。异面直线判定：过平面外一点与平面一点的直线与平面不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们
8、就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点 O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 （7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。三种位置关系的符号表示：a aA a （8）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b 空间中的平行问题 直线和平面平行：直线l与平面没有公共点，
9、则称直线l与平面平行，记作/l 两个平面平行：没有公共点的两个平面叫做平行平面。（1）直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面一条直线平行,则该直线与此平面平行。ba/abaab 6 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 线面平行面面平行 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行 /llbaba
10、a/,ababPa b/7 两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么在一个平面的所有直线都平行于另一个平面 /且a/a （面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 baba/（面面平行线线平行）（3）如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 空间角问题（1）直线与直线所成的角 两平行直线所成的角：规定为0。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线ba,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角
11、叫做两条异面直线所成的角。all且/8 围：0,2 （2）直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角：规定为0。平面的垂线与平面所成的角：规定为90。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。围：0,2 （3）二面角和二面角的平面角 二面角的定义：从一条直
12、线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法：已知二面角一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 围：0,空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直
13、的定义 两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。9 (2)线线垂直 定义:直线l与平面的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直该直线叫做平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面 线面垂直的性质：baba;线面垂直的判定定理 判定定理：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面 acbOcbcaba,；注意点：定
14、理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 abab 线面垂直的性质定理（1）垂直于同一个平面的两条直线平行/aabb.（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。/abba 三垂线定理：平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和 10 这条斜线的射影垂直（3）面面垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的判定定理：一个平面过另
15、一个平面的垂线，则这两个平面垂直.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直 baaab.直线与方程（1）直线的倾斜角：对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角 直线的倾斜角取值围是 0180（2）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk （3）直线方程 点斜式：)(11
16、xxkyy直线斜率k，且过点11,yx 斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx lll 11 截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B不全为0）（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系：00 xxkyy，直线过定点00,yx
17、；（）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为 0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（5）两直线平行与垂直 当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy （7）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（8）两条平行线间的距离公式：两条平行
18、线0:11CByAxl与0:21CByAxl间的距离2221BACCd 圆的方程 1.定义：平面到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点就是圆心，定长就是半径 2.圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；（2）一般方程022FEyDxyx 当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122 当0422FED时，表示一个点2,2ED，；当0422FED时，方程不表示任何图形。12（3）求圆方程的方法：一般采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；
19、另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。点、线、圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0 (3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx(课本
20、命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆 上 一 点 为(x0，y0)，则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆222111:Cxaybr，222222:CxaybR 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆含；当0d时，为同心圆。