中考圆知识点总结复习.pdf

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1、 中考圆知识点总结复习-作者:_ -日期:_ 中考圆知识点总结复习-作者:_ -日期:_ 初中圆复习 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两

2、条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内；2、点在圆上 dr 点B在圆上；3、点在圆外 dr 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；rddCBAO drd=rrd 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；图1rRd 图3rRd 五、垂径定理

3、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中2 个即图2rRd图4rRd图5rRdOEDCBA 可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理 圆

4、心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；OCDABFEDCBAOCBAODCBAO 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角

5、；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径 或90C 90C AB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二

6、者缺一不可 CBAOCBAOEDCBA 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB；PO平分BPA 十一、圆幂定理 1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P

7、，PA PBPC PD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE NMAOPBAOPODCBAOEDCBA 2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB 3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：1

8、O、2O相交于A、B两点 12OO垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt OO C中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和 十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：DECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAO :1:3:2OD BD OB；（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱

9、和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h 3、圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 十六、内切圆及有关计算。ECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO 图2EDCBAo（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的

10、半径 r=2cba。（3）SABC=)(21cbar，其中 a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC 切O 于点 B，AB 为弦，ABC 叫弦切角，ABC=D。C 练习题 1若O的半径为 4cm，点 A到圆心 O的距离为 3cm，那么点 A与O的位置关系是()A点 A在圆内 B点 A在圆上 c点 A 在圆外 D不能确定 2已知O的半径为 5,弦 AB的弦心距为 3,则 AB 的长是 3如图，MN 是半径为 1 的O的直径，点 A在O上，AMN=30，B为 AN 弧的中点，点 P是直径 MN 上一个动点，则求 PA+P

11、B的最小值 4 如图 2，已知 BD是O 的直径，O的弦 ACBD于点 E，若AOD=60，则DBC 的度数为 5与直线 L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是_ 6已知直角三角形的两直角边长分别为 5 和 12，则它的外接圆半径 R=_，内切圆半径r=_ _ N _ M _ B_ A_ _ P_ O B O A D 7O的半径为 6，O 的一条弦 AB为 63，以 3 为半径的同心圆与直线 AB的位置关系是 8PA、PB是O的切线，切点是 A、B，APB=50，过 A作O直径 AC，连接 CB，则PBC=_ 9如图 4，AB是O 的直径，弦 AC、BD相交于 P，则 CDAB等于 AsinBPC

12、BcosBPC CtanBPC DcotBPC 图 4 图 5 10如图 5，点 P为弦 AB 上一点，连结 OP，过 PC 作 PCOP，PC 交O于 C，若AP=4，PB=2，则 PC 的长是 A2 B2 C22 D3 11圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 d，那么 Ad6 cm B6 cmd12 cm 12如图 6，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_ 图 6 图 7 13如图 7，PE是O 的切线，E为切点，PAB、PCD 是割线，AB=35，CD=50，ACDB=12，则 PA=_

13、14如图 8，AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，且 BD=OB，点 C 在O 上，CAB=30，求证：DC是O的切线 图 8 15.如图，AB既是C 的切线也是D的切线，C 与D相外切，C 的半径 r=2，D的半径 R=6，求四边形 ABCD的面积。16如图 10，BC 是O 的直径，A 是弦 BD 延长线上一点，切线 DE 平分 AC 于 E，求证：(1)AC 是O的切线(2)若 ADDB=32，AC=15，求O的直径(12 分)DCAB 图 10 17如图 11，AB是O的直径，点 P在 BA 的延长线上，弦 CDAB，垂足为 E，且PC2=PEPO(1)求证：PC 是O的

14、切线；(2)若 OEEA=12，PA=6，求O的半径；(3)求 sinPCA 的值(12 分)图 11 18如图，O的两条割线 AB、AC 分别交圆 O于 D、B、E、C，弦 DF/AC 交 BC 于 C （1）求证：CGBCFGAC；（2）若 CFAE求证：ABC 为等腰三角形 ABCDEOFG 19.如图，AB是O的直径，弦 CDAB与点 E，点 P 在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若 BC=3，sinP=35，求O的直径。20如图，ABC 内接于O，AB是O的直径，PA是过 A点的直线，PACB （l）求证：PA是O的切线；（2）如果弦 CD交 AB 于 E，CD的延长线交

15、PA 于 F，AC8，CE：ED6：5，AE：EB2：3，求 AB的长和ECB 的正切值 21如图，在 RtABC 中，B90，A的平分线交 BC 于点 D，E为 AB 上的一点，DEDC，以 D为圆心，DB 长为半径作D，求证：（l）AC 是D 的切线；（2）ABEBAC 22如图，AB是O 的直径，以 OA为直径的1O；与O的弦 AC 相交于 D，DEOC，垂足为 E （l）求证：ADDC；（2）求证：DE是1O的切线；（3）如果 OEEC，请判断四边形1OOED是什么四边形，并证明你的结论 ABCDPOEF ABCDE 1OOABCDE 考点一：与圆相关概念的应用 利用与圆相关的概念来解

16、决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例 1】已知：如图所示，在ABO 中，AOB=90，B=25，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆交 AB 于 D，求弧 AD 的度数.【例 2】如图，A、B、C 是O 上的三点，AOC=100，则ABC 的度数为（）.30 .45 .50 .60 2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系 【例 3】已知O 的半径为 3cm，A 为线段 OM 的中点，当 OA 满足：（1）当 OA=1cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .（2）

17、当 OA=1.5cm时，点 M 与O 的位置关系是 .（3）当 OA=3cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .【例 4】O 的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与O 的位置关系是（）.相交 .相切 .相离 .无法确定【例 5】两圆的半径分别为 3cm 和 4cm，圆心距为 2cm，那么两圆的位置关系是_.3.正多边形和圆的有关计算【例 6】已知正六边形的周长为 72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 【例 7】如图，矩形 ABCD 中，BC=2，DC=4，以 AB 为直径的半圆 O 与DC 相切于点 E，则阴影部分的面积为

18、（结果保留）.5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算 【例 8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .考点二：圆中计算与证明的常见类型 1.利用垂径定理解题 垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.【例 1】在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P，夹角为 30，且分直径为 15 两部分，AB=6，则弦 CD 的长为 .2.4 .4 .2 2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题 “直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.