《新课程高中数学课堂教学中的案例.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课程高中数学课堂教学中的案例.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、新课程高中数学课堂教学中的案例（一）新课程高中数学课堂教学中的案例（一）22-再谈基本不等式a ba bab 2ab的创新表示法22a b石河子第一中学朱友忠案例：基本不等式案例：基本不等式a2 b2a b22ab 2ab的创新表示法的创新表示法a b北师版必修 5【不等式习题课】34P95B 组第 1 题略有改动题目：在O 上半圆中已知 AC=a,CB=b,(ab),CDAB,EOAB,连接 OD，作CFOD 如图所示：请用a,b 分别表示线段 CE,OE,CD,DF 的长度，指出它们之间的大小关系，并证明；一、归纳课本中的表示法一、归纳课本中的表示法E222222222在 RtEOC 中，
2、有 CE=OC+OE=(ab)+(ab)=a b222OE=OD=ab(同圆的半径相等)，CD=ab22(ab)22ab2CD在 RtODC 中，有 CD=DFOD;DF=ODabab222整理：CE=a b，OE=ab,CD=ab,DF=2ab22ab解：AC=a,CB=b,OC=ab,CG=OE=abDFAOCB通过图中的 Rr的斜边与直角边的关系，显然可以得出：CEOECDDF 成立；22a ba bab 2ab，当且仅当a=b 时，取“=”成立。主要是建立集合图形证明。即：22a b22北师版选修 2-2(P12习题 1-2 中第 1 题中)再次出现“a ba bab 2ab”的证明。
3、22a b二、创新课本中的表示法二、创新课本中的表示法上课时提问：“ab”在全面所学的知识中与那个式子类同？2学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同；学生乙说：在学习求 A、B 两点的中点坐标公式类同；学生丙说：在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时，则函数图象的对称轴x0=ab的表达式类同；2学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“ab”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而且在大学的数学课本中还有与上述类同式子的应用。22
4、2同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“a b”，“ab”“ab”，“2ab”是2ab2DaC成立的；则它们分别代表哪四条线段呢？设梯形的下底 AB=b，上底 CD=a，如图(1),于是就有：EFDaCab(1).梯形的“中位线”EF=,显然成立；2HABGb图(1)证明很简单略在初中的平面几何中已经证明。(2).在梯形中，作 GHAB 与两腰相交于 G、H；如图(2),使得梯形ABbABHG 与梯形 GHCD 相似，则DCGH,即 GH=ab显然成立；称 GH 为“相似线”图(2)GHAB(3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQAB 与两腰相交于P、Q；如
5、图(3),设 PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有DPODAB,则PODO，即xm，x=mbABDBbmnmnDPAaCOQBBOQBDC,有OQBOy，即n，y=naDCBDamnmn由，可得，PQ=x+y=mb+na=mbna即 PQ=mbnamnmnmnmn在梯形中，ODCOBA,有DCDO,即amABOBbnb图(3)DMAaCh1KN将代入中消去m得:PQ=2ab,称 PQ 为“调和线”nabh2bSB图(4)(4).在梯形中，作 MNAB 与两腰相交于 M、N；如图(4),使得梯形ABNM 与梯形 MNCD 的面积相等，设 MN=x,则有（a x)h1(xb)h2，22D
6、aCPGE22h1xbxaMa b由，可得=，即 MN=x=;称 MN 为“面积线”h1xb，在梯形中，CKNNSB,有h1KN,即h1xah2a xh2SBh2b xh2a xQHFNb x2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，显然有：MNEFGHPQ22即：a ba bab 2ab当且仅当a=b 时，取“=”成立。22a bAb图(5)B此时的梯形就成为一个平行四边形。三、构建函数单调性表示法三、构建函数单调性表示法例如：函数f(x)=abx1，可以证明该函在实数R 上是增加的；axbxx122于是就有：f(1)=a b，f(0)=ab，f(-1)=ab，f(-1)=2abab2ab22
7、2f(1)f(0)f(-1)f(-1)即，a babab2ab当且仅当a=b 时，取“=”成立。2ab2ab22a ba bab 2ab的证明方法有很多，譬如：代数证法（比较法，综合法，分析法）众所周其实，不等式22a b知，就不必说明了；北师版必修 5课本上的几何证法还有好多，阅读资料中，谈到2002 年在召开的 24 届国际数学家2222大会的会标，会标是根据我国古代数学家爽的弦图设计的，会标图案中就蕴含着a ba babab2ab的ab22ab存在，值得参考与借鉴。实在是太完美了，真是令人叫绝；在此我断定此不等式的表示方法仅次于勾股定理的证明方法；这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡，如
8、何构造几何图形、如何构造函数，都有待于们继续研究，发现其它的一些表示方法，挑战这样的工作可以启发人的思维能力，有着非常重要的意义。新课程高中数学课堂教学中的案例（二）新课程高中数学课堂教学中的案例（二）-对诱导公式中“-”的理解与应用石河子第一中学朱友忠案例：案例：“-”的理解”的理解北师版必修4P16 43【三角函数诱导公式的新授课】诱导公式这节容中出现了角“-”的诱导公式，那么怎样理解这个角“-”呢？刚开始我接触角“-”总有些别扭，是因为在旧教材中用习惯了形如角“k”kZ 的三角函数诱导公式，在2前面的旧教材中出现过，也没有直接把它纳入公式的筹中；在新教材中解题时，常碰到形如：sin(-)
9、=sin-(-)=-sin(-)=-sin;cos(-)=cos-(-)=cos(-)=-cos;tan(-)=tan-(-)=-tan(-)=tan;等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到；我就在想，既然北师版必修4教材中直接把它纳入到公式的畴中，说明它是可以直接到位的。y在备课时，借助单位圆，如图所示我就仔细研究起来，在单位圆+中分别作出角、角+、角-通过观察它们之间的关系，发现HOHx角+与角-的终边相同，即(+)-(-)=2;这就说明-这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下：sin()=-sin;cos()=-cos;tan()=tan把角看作“锐角”，则角+与角-
10、的终边都落在第三象限；还可以理解：角-加上 2也就得到角+（或加上 2k,kZ）的结果了。真是大快人心的事情。“-”的应用”的应用角-加上 2（或加上 2k,kZ）的应用（对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快）如北师版必修 4P17例 2求下列各角的三角函数值中的两道题是：第(1)题：sin(-7)=sin(-7+2)=sin=2(而课本上的解答用了 4 步)；4442第(3)题：cos(-31)=cos(-31+6)=cos5=-3(而课本上的解答用了 4 步)；6662P19例 3第(2)题：sin(-55)加上 10即可化简；(而课本上的解答用了 5 步)；6练习：判断下列各式函数值
11、的符号,P20A 组中的第 2 题备选的题如：sin(-17)加上 4即可化简；cos(-23)加上 6即可化简；cos(-59)加上 4即可化简；5417P20练习 2 中的第(3)题:已知 sin(+)=1,求 sin(-3+)的值；3只要在所求的式子的角度中加上4即可求得结果。P20练习 2 中的第(4)题:化简1+sin(-2)sin(+)-2cos(+);22在 sin(-2)的角度中加上 2即可化简。P20A 组题中的第 8 题化简（2）小题：sin()sin(3)sin()sin(2)sin()sin(3 2)sin(2)sin(22)=sin(4)sin(5)sin(44)si
12、n(54)=sin()sin()sin()sin()略sin()sin()角-加上（或加上 k,kZ）的应用（对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快）P39 练习中第 4 题不求值比较两个正切函数值的大小：00（1）tan138 与 tan1430解：前、后两个式子分别减去180 都可以起到简化的作用；（2）tan(-13)与 tan(-17)45解：前面的式子加上 4、后面的式子加上 3就可以起到简化的作用；P40A 组第 10 题求值：1 tan2(37)2tan(43)只要在前面的式子加上 6、后面的式子加上7就可以起到简化66的作用；练习：求下列各式函数值P40A 组备选题0000t
13、an240减去 180 tan(-1574)加上 91800000tan675+tan765+tan(-690)+tan1080小结：通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实，很快化到最简，的确起到事半功倍之效；也就是说，对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2k(kZ)；对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上k(kZ)；上述事实只是我个人的看法，如果们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落实三维目标在授课中得到体现。新课程高中数学课堂教学中的案例（三）新课程高中数学课堂教学中的案例（三）-对
14、一道例题的分析理解与拓展石河子第一中学朱友忠案例：案例：一道例题的分析理解与拓展一道例题的分析理解与拓展北师版必修 4P11732【二倍角的三角函数新授课】教材中的例 4题目：要把半径为 R 的半圆形的木料截成长方形如图（1）所示，应怎样截取，才能使长方形面积最大？C分析：要求最值必需建立函数必需先确定自变量；DO图（1）AB问题：面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢？方案一、因为 A 点在运动，说明 OA 的长度也在发生变化，此时可设 OA=x，连接 OB=R，则 AB=R2 x2，所以面积 S=2xR2 x2（0 x(2-1)R22所以要采用如图（4）的锯法面积最大。0拓展三、拓展三、
15、一段半径为 R,圆心角为 120 的扇形木料如图（6）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面C的面积最大？ECD若按如图（7）的据法：BDF方法 1、代数法：略1200方法 2、三角法：略AOBA方法 3、几何法：利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=1R220图（6）图（7）图（8）若按如图（8）的锯法：设AOB=,(0,60)000采用三角法解：设AOB=,(0,60),则 BE=Rsin(60-),OE=Rcos(60-),由图（8）可知，0OF=3FA=3BE=3Rsin(60-),33300所以 AB=FE=OE-OF=Rcos(60-)-3sin(60-)300=2
16、 3R3cos(60-)-1sin(60-)322=2 3Rsin32022面积 S=2BEAB=4 3R sin(60-)sin=2 3R 3cossin-sin 33220=2 3R 3sin2-1cos2=2 3R sin(2+30)-1323220002当 2+30=90 时，即=30，面积 Smax=3R32比较如图（7）的锯法与如图（8）的锯法，显然3R 1R232所以要采用如图（8）的据法面积最大。00由上述推理计算过程，让我大胆猜测对半径 R 的扇形图，当扇形角在（0 180 的围，两种截得的矩形面积下列图表成立：两种裁剪方法对照表：第一种裁剪法300最大面积S1S1=S1=比
17、较 S1与 S2的大小S1S2S1S2最大面积S2S2=S2=S2=(2-3)2RS2=(2-12)RS2=S2=1R22第二种裁剪法3006002S1=3R6006S1S2S1=1R22S1S2某个角(0 0180 0S1=1R2222S1S2S1=S2S1S2某个角00(0 180 S1=1R2S1=1R2S2=S1=1R221200S1S22S2=3R31200S1=1R215002S1S2S2=1500S1=1R22S10,f(1)=2f(0)=1,求当 x=2 时，f(2)的导数.(答：4)三、形如三、形如f f(x(xy)=y)=f f(x)+(x)+f f(y)(y)类型类型例
18、3、已知函数 y=f(x)在定义域 D 是可导函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(1)=1,求当 x=2 时，f(2)的导数.解：令 x=y=1 代入f(xy)=f(x)+f(y)中，得f(1)=0f(2)f(1x)f(2)f2(1x)f(2)f(2x)f(2)22limlim由导数的定义，f(2)=limx0 x0 x0 xxxf(1x)0f(1x)f(1)f(1x)f(1x)f(1)222=lim2limlim=1limx0 x0 x0 x0 xxx2x2=1f(1)=122所以，f(2)=12练习：练习：已知函数 y=f(x)在定义域 D 是可导函数，满足f(x)=f(x)-
19、f(y),且f(1)=1,求当 x=e时，f(e)的导数.(答：1)yln2eln2四、形如四、形如f f(x(xy)=y)=f f(x)(x)f f(y)(y)类型类型例 4、已知函数 y=f(x)在定义域 D 是可导函数，满足f(xy)=f(x)f(y),且f(2)=4，f(1)=2,求当 x=2 时，f(2)的导数.解：令 x=1 代入f(xy)=f(x)f(y)中，得f(1)=1，f(2)f(1x)f(2)f2(1x)f(2)f(2x)f(2)22limlim由导数的定义，f(2)=limx0 x0 x0 xxxf(1x)1f(1x)f(1)f(1x)f(1)222limlim=f(2
20、)=f(2)=1f(2)limx0 x0 x0 xx2x2=1f(2)f(1)=42所以，f(2)=4练习：练习：已知函数 y=f(x)在定义域 D 是可导函数，满足f(xy)=2f(x)f(y),且f(2)=2,f(1)=1,求当 x=2 时，f(2)的导数.(答：2)五、归纳小结五、归纳小结通过常见的几种特殊的抽象函数类型，分别利用导数的定义研究了抽象函数在某点处的导数求法；在这里主要强调了导数的定义的求解方法；以上的求解方法都不是唯一的，比如说，每种类型的特殊函数是可以根据题意选定特殊的函数来替代，写出y=f(x)的解析式，再去求某点处的导数，方法也简单，们不妨试试看，研究一下，绽放你的思维火花；抽象函数的形式有很多，值得大家去研究，是一件非常好的事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，让成功的喜悦和大家一起分享。