微分的概念、性质及应用.pdf

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1、第 二 章 第 6 节:函数的微分教学目的:掌握微分的定义,了解微分的运算法则,会计算函数的微分,会利用微分作近似计算教学重点:微分的计算教学难点:微分的定义,利用微分作近似计算教学容:1.微分的定义计算函数增量y fx0 x fx0是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的,我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0 x(图 2-1),问此薄片的面积改变了多少?设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函数:A x2。薄片受温度变化的影响时面积的改变量,可以看成是当自变量x自x0取得增量x时,函数A相应的增量

2、图 2-1A,即2A x0 x x0 2x0 xx。22从上式可以看出,A分成两部分,第一部分2x0A是A的线性函数,即图中带有斜线的两个矩形面积之和,而第二部分x在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积,当2x 0时,第二部分x是比x高阶的无穷小,即x 0 x。由此可见,如果边22长改变很微小,即x很小时,面积的改变量A可近似地用第一部分来代替。一般地,如果函数y fx满足一定条件,则函数的增量y可表示为y Ax 0 x,其中A是不依赖于x的常数,因此Ax是x的线性函数,且它与y之差y Ax 0 x,是比x高阶的无穷小。所以,当A 0,且x很小时,我们就可近似地用Ax来代替y。定义定义设函数设函

3、数y fx在某区间有定义,在某区间有定义,x0 x及及 x x0在这区间,如果函数的增量在这区间,如果函数的增量y fx0 x fx0可表示为可表示为y Ax 0 x,其中其中A是不依赖于是不依赖于x的常数,而的常数,而0 x是比是比x高阶的无穷小,那么称函数高阶的无穷小,那么称函数y fx在点在点x0是可微的,而是可微的,而Ax叫做函数叫做函数y fx在点在点x0相应于自变量增量相应于自变量增量x的微分,记作的微分,记作dy,即即dy Ax。定理定理 1 1函数函数fx在点在点x0可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数fx在点在点x0可导,且当可导,且当fx在在点点x0可微时,其微

4、分一定是可微时,其微分一定是dy f x0 x。设函数y fx在点x0可微,则按定义有式成立。式两边除以x,得y0 x。Axx于是,当x 0时,由上式就得到A limy f x0。x0 x因此,如果函数fx在点x0可微,则fx在点x0也一定可导(即f x0存在),且A f x0。反之,如果y fx在点x0可导,即y f x0 x0 xlim存在,根据极限与无穷小的关系,上式可写成其中 0(当x 0)。由此又有y f x0,xy f x0 x x。因x 0 x,且不依赖于x,故上式相当于式,所以fx在点x0也是可微的。由此可见,函数fx在点x0可微的充分必要条件是函数fx在点x0可导,且当fx在

5、点x0可微时,其微分一定是dy f x0 x。例例 1 1 设yexcosx,求dy解:解:dyexcosxexsinxdxdy ex(cos x sin x)dx微分在近似计算中的应用:微分在近似计算中的应用:在f x00的条件下,以微分dy f x0 x近似代替增量y fx0 x fx0时,相对误差当x 0时趋于零。因此,在x很小时,有精确度较好的近似等式y dy。即fx0 x fx0 f x0 x或f(x)f(x0)f(x0)x特别地,当x00,x很小时,有f(x)f(0 0)f(0 0)x(3)(3)式是计算零点附近的函数值当x很小时,有下列近似计算公式:n1 1 x 1 11 1xs

6、in x xtgx xex1 1 xnln(1 1 x)x例 证明:n1 1 x 1 11 1(当x很小时)x。n令f(x)n1 1 x1 11 11 1n f(0 0)(1 1 x)|x0 0nn1 1因为f(0 0)1 1由f(x)f(0 0)f(0 0)x故,当x很小时,n1 1 x 1 11 1xn例例 2 2 一个充好气的气体,r 4 4m,升空后,因外面气压降低,气球半径r增大了 10cm,求体积增加了多少?解:解:因为V 4 4r3 33 34 43 3r)x 4 4r2 2x3 3所以V dv(4 43 3.14144 42 20 0.1 1 2020(m3 3)例例 3 3

7、求4 4.2 2的近似值解解设f(x)x,取x0 04 4,x 0 0.2 2,则x 4 4.2 2所以或者:f(x)1 12 2 xf(4 4)2 2f(4 4)1 14 44 4.2 2 f(4 4)f(4 4)(4 4.2 2 4 4)2 2.05054 4.2 2 4 4(1 10 0.0505)2 2 1 10 0.0505 2 2(1 10 0.5 50 0.0505)2 2.05052.2.微分的几何意义微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中,函数y fx的图形是一条曲线。对于某一固定的x0值,曲线上有一个确定点Mx0,y0当自变量x有

8、微小增量x时,就得到曲线上另一点Nx0 x,y0 y.从图 2-2 可知:MQ x,图 2-2QN y。过 M 点作曲线的切线,它的倾角为,则QP MQtan x f x0,即dy QP。由此可见,当y是曲线y fx上的 M 点的纵坐标的增量时,dy就是曲线的切线上M 点的纵坐标的相应增量。当x很小时,y dy比x小得多。因此在点M的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。3.微分运算法则及微分公式表由dy f xdx,很容易得到微分的运算法则及微分公式表(当u、v都可导):du v du dv,dCu Cdu,duv vdu udv,u vdu udvd。2vv微分公式表:d xx1dx,d

9、sin x cosxdx,dcosx sin xdx,dtan x sec2xdx,dcot x csc2xdx,dsecx secxtan xdx,dcscx cscxcot xdx,d ax axlnadx,d ex exdx,dlogaxdln x1dx,xlna1dx,x11 x2darcsin xdx,darccos x 11 x2dx,darctanx1dx,21 x1darccot x dx。1 x21x注:上述公式必须记牢,对以后学习积分学很有好处,而且上述公式要从右向左背。例如:dx 2dx,11,dx d2xx1dx dax b,a1axdx dax。lna4.复合函数微分

10、法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下:设y fu及u x都可导,则复合函数y fx的微分为xdx。dy yxdx fu由于xdx du,所以,复合函数y fx的微分公式也可以写成du。dy f udu或dy yu由此可见,无论u是自变量还是另一个变量的可微函数,微分形式dy f udu保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示,当变换自变量时(即设u为另一变量的任一可微函数时),微分形式dy f udu并不改变。例例 4 求yesin x的微分解解dyd(esin x)esin xdsinxesin xcosxdx自我训练:(1)y ln 1 ex,求dy。(2)y lnx2 a2 x,求dyx0。(3)有一半径为R的铁球,镀上 0.01cm 厚的银,问大约用多少体积的银。小结:本节讲述了微分的定义,练习了微分的运算和利用微分作近似计算希望大家熟记微分公式,为以后学习积分大好基础

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