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1、高三数学寒假作业（数列 1）姓名_学号_ 一、填空题 1数列 na，nb都是等差数列，若711ba，2133ba，则55ba_ 2已知数列 na的前n项和29nSnn，则其通项na _ 3若nS是等差数列 na的前n项和，且11223S，则6cosa的值为_ 4已知na为等比数列，472aa，568a a ，则110aa_ 5公差不为 0 的等差数列 na中，134,a a a成等比数列，则该等比数列的公比为_ 6数列 na中，12342,6,14,26aaaa，试写出 na的一个通项公式_ 7在数列 na中，121,6aa，nN，都有21nnnaaa，则2014a_ 8设 na为递减的等比数
2、列，公比为q，前n项和为nS，123,4,3,2,0,1,a a a 2,3,4，那么1051Sq_ 9设等比数列 na的前n项和为nS，若63SS3，则912SS_ 10已知数列 na的通项公式是121nan，那么11niiia a_ 11已知不等式2xy的自然数解有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)，共 6 组解，不等式3xy的自然数解有 10 组解根据以上事实，可以发现，不等式xyn的自然数解有_组 12nS为等差数列 na的前n项和，且675SSS，给出下列结论：0d；110S；120S；130S；86SS；93SS 上述正确的结论的序号为_ 13A
3、BC的三个内角,A B C所对的边分别为,a b c，如果三边,a b c成等差数列，那么角B的最大值是_ 14已知数列 na满足：1am（m 为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当 为偶数时，当 为奇数时.若3a1，则m 所有可能的取值为_ 二、解答题 15已知等差数列na前三项的和为3，前三项的积为8（1）求等差数列na的通项公式；（2）若231,a a a成等比数列，求数列|na的前n项和nS 16已知等差数列 na的前n项和为nS，且102055,210SS（1）求数列 na的通项公式；（2）设1nnnaba，是否存在,m k（2,kmk mN），使得1,mkb bb成等比数列
4、若存在，求出所有符合条件的,m k的值；若不存在，请说明理由 17在数列na中，1111,(1)1nnaaan（1）求数列na的通项公式；（2）记nb 122nnnaaa，试比较1,nnb b的大小；（3）不等式12217log(1)1212nnnaaaaa恒成立,求实数a的取值范围 18已知数列 na的前 n 项和为nS，且有12a，11353nnnnSaaS（2n）（1）求数列 na的通项公式；（2）若(21)nnbna，求数列 nb的前 n 项和nT；（3）若2lg(2)nnnnctta（01t），且数列 nc中的每一项总小于它后面的项，求实数 t 的取值范围 高三数学寒假作业（数列 1
5、）参考答案 135；2210n；312；47；512；62222nn；71；8334；9记3Sm，则63Sm，所以632SSm，从而得到961294,8SSm SSm，从而9127,15Sm Sm，所以912SS715 1011niiia a1113 55 7(21)(23)nn 11111()()2355711()2123nn1 11()2 323n69nn 11 不 等 式2xy的自然数解分为三类：当0 x 时有 3 组，当1x 时有 2 组，当3x 时有 1 组，共计 6组；不等式3xy的自然数解分为四类：当0 x 时有 4 组，当1x 时有 3 组，当2x 时有 2组，当3x 时有 1
6、 组，共计 10 组；不等式xyn的自然数解分为1n类：当0 x 时，0,1,2,yn有1n组，当1x 时，0,1,2,1yn有n组，当2x 时有1n组，当xn时，0y，有 1 组，共计(1)nn(1)n21(1)(2)2nn组 12nS是关于n的二次函数，画出示意图，如右所示，抛物线开口向下，正确，对称轴方程xm，(6,6.5)m，从 而 函 数 的 两 个 零 点 是 0 和2(12,13)m，所 以1112130SSS，正确，错误，正确，由抛物线示意图可知，678SSS，错误，由对称性和75SS可知93SS，正确所以正确选项；1322222222()3326214cos22882acac
7、acbacacacacBacacacac，60 14当m是奇数时，213131aam 是偶数，2331122ama，13m 舍去；当m是偶数时，1222ama，奇偶性不确定，再分类：当2m是偶数时，23124ama，4m 满足；当2m是奇数时，32331112maa ，0m 舍去所以m的所有取值只能是 4 15解：（1）设等差数列na的公差为d，则21aad，312aad，由题意得1111333,()(2)8.ada adad 解得12,3,ad 或14,3.ad 所以由等差数列通项公式可得23(1)35nann，或43(1)37nann .故35nan，或37nan.（2）当35nan 时，
8、2a，3a，1a分别为1，4，2，不成等比数列；当37nan时，2a，3a，1a分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|37|37,3.nnnannn 记数列|na的前n项和为nS.当1n时，11|4Sa；当2n 时，212|5Saa；当3n时，234|nnSSaaa5(337)(347)(37)n 2(2)2(37)311510222nnnn.当2n 时，满足此式.综上，24,1,31110,1.22nnSnnn 16解：（1）设等差数列 na的公差为d，则1(1)2nn nSnad由已知，得 1110 91055,220 1920210,2adad即112911,2192
9、1,adad解得11,1,ad所以1(1)naandn（2）假设存在,m k（2,kmk mN），使得1,mkb bb成等比数列，则21mkbbb因为11nnnanban，所以11,211mkmkbbbmk所以21()121mkmk整理，得22221mkmm因为0k，所以2210mm 解得1212m 因为2,mmN，所以2m，此时8k 故存在2,8mk，使得1,mkb bb成等比数列 17 解：（1）11nnnaan 方法一：1(1)0nnnana，nna是以 1 为首项，0 为公差的等差数列 1nna，1nan 方法二：2112aa，3223aa，11(2)nnannan，累加可得11naa
10、n(2)n 当2n 时，1nan；1n 时11a 亦满足上式 1nan（2）122111122nnnaaannn 令122nnnnbaaa，12322nnnnbaaa 1222111111222112(21)(1)nnnnnbbaaannnnn 1,nnN，10nnbb恒成立 （2）min11()2nbb；由题意可知min17log(1)()1212anab log(1)1aa 又1a；101aa；1512a 18（1）11353(2)nnnnSaaSn，11335(2)nnnnSSaan，135(2)nnnaaan，即12(2)nnaan；12a，na是以 2 为首项，12为公比的等比数列
11、12112()()22nnna（2）21(21)(21)()2nnnbnan 10121111()3()5()(21)()2222nTnn，012111111()3()5()(21)()22222nTnn，12211111122 1()()()(21)()22222nnTnn 1111()1222(21)()1212nnn 31116()(21)()22nnn，42211112()(21)()12(23)()222nnnnTnn（3）lgnncntt，数列 nc中的每一项总小于它后面的项，1nncc对*nN恒成立 1(1)lglgnnnttntt，01t，lg0,0ntt，(1)ntn对*nN恒成立 min()1ntn 1111nnn 在*nN时单调递增，min1()12nn，102t