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1、-线性代数(经济数学 2?课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院 所有 习题【说明】：本课程?线性代数(经济数学 2?编号为 01007共有计算题 1,计算题 2,计算题 3,计算题 4,计算题 5 等多种试题类型，其中，本习题集中有计算题 5等试题类型未进入。一、计算题 1 1.设三阶行列式为231021101D求余子式M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A13 2.用德蒙行列式计算 4 阶行列式 3.求解以下线性方程组：其中),2,1,(njijiaaji 4.问取何值时齐次线性方程组1231231230020 xxxxxxxxx有非零解.5.问取何值时齐次线性方程组12
2、3123123(1)2402(3)0(1)0 xxxxxxxxx有非零解.二、计算题 2 6.计算6142302151032121D的值。7.计算行列式5241421318320521D的值。-8.计算0111101111011110D的值。9.计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。10.计算41241202105200117的值。11.求满足以下等式的矩阵*。12.A为任一方阵，证明TAA，TAA均为对称阵。13.设矩阵 求AB 14.求T)(AB和TTAB 15.用初等变换法解矩阵方程 A*=B 其中 16.设矩阵 求1A 17.求3111
3、21111A的逆。18.设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求1*)(A。19.求矩阵 的逆。20.求矩阵121342541的逆。三、计算题 3-21.设矩阵 求矩阵A的秩 R(A)。22.求向量组4321,的秩。其中，)1,0,1(1，)1,3,2(2，)1,1,2(3，)4,2,3(4。23.设向量组1，2，3可由向量组1，2，3线性表示。试将向量1，2，3 由 1，2，3线性表示。24.问a取什么值时以下向量组线性相关.a1(a11)Ta2(1a1)T a3(11a)T 25.求以下向量组的秩,并求一个最大无关组 a1(1 21 4)Ta2(9 100 10 4)T a3(2
4、4 28)T。四、计算题 4 26.求线性方和组的解 27.求解以下线性方程组 28.当a、b为何值时，线性方程组 有解，当其有解时，求出其全部解。29.求解齐次线性方程组0750532025242143214321xxxxxxxxxxx 30.求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的根底解系 31.试用正交变换法将以下二次型化为标准形，并求出变换阵 32.设矩阵 求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。33.求一个正交变换将二次型f2*123*223*334*2*3化成标准形。34.求一个正交变换将二次型f*12*22*32*422*1*22*1*42*2*32*3*4化成标准形。3
5、5.试求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵220212020化为对角阵。五、计算题 5 略-答案 一、计算题 1 1.解：1120432M1 11111(1)4AM，3 分 1210212M1 21212(1)2AM ，6 分 1312513M1 31313(1)5AM，8 分 2.解：对照德蒙行列式，此处 a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 3 分 所以有 441()ijijDaa 5 分 =10368 8 分 3.解：写出系数行列式 D 211112122221111nnnnnnaaaaaaDaaa 3 分 D 为 n 阶德蒙行列式，据题设()ijaa ij 1()0ijij nDaa
6、 5 分 由克莱姆法则知方程组有唯一解。易知 121,0nxxx 8 分 4.解 系数行列式为 1111121D4 分 令D0得 0 或16 分 于是 当0 或1 时该齐次线性方程组有非零解8 分 5.解 系数行列式为 -124134231211111101D 4 分(1)3(3)4(1)2(1)(3+)(1)32(1)236 分 令D0 得 02 或3 于是 当02 或3 时该齐次线性方程组有非零解8 分 二、计算题 2 6.解：4 分 8 分 10 分 7.解 2 分 4 分 6 分-8 分=-6010 分 8.解：5 分 10 分 9.解：对于行列式，使用性质进展计算。有19911992
7、1993199419951996199719981999第 3 列减第 2 列3 分 119981997119951994119921991第 2 列减第 1 列6 分 111997111994111991由于 2，3 列对应相等8 分=010 分 10.解41241202105200117234341210120210321470010cccc4 34110122(1)10314 5 分 41101221031423113299100020171714cccc10 分-11.解 将上述等式看成2AXB2 分 由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 2ABX 1()2XAB4 分 =211433
8、131111326 分=622140428 分=31120210 分 12.证：对称阵：20 分4 分 是对称阵.6 分8 分 是对称阵10 分 13.解 AB 2 分6分8 分10 分 14.解3 分 6 分 而10 分 15.解1 分3 分5分7 分9 分 *=A-1B 10 分 16.解：132153A2 分-234212A 4 分 113232153531A6 分 12122411313222A8 分 于是 11112320053000012130022AAA 10 分 17.解：3 分 7 分 10 分 18.证：因为 A 可逆，所以|A|0，1 分 且11*AAA 于是有 A*=|
9、A|A-13 分 对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质2注意|A|是一个数得|A*|=|A|A-1|=|A|n|A-1|5 分 又因|A-1|0 A 可逆，由定义知 A-1可逆|A*|0 所以 A*是可逆的 6 分 因为-8 分 可知 10 分 19.解：令125212,2111AA，2 分于是1200AAA 则111111220000AAAAA4 分 用伴随矩阵极易写出1112,AA 111225A6 分 1212121331111333A 8 分 10 分 20.解121342541A|A|20故A1存在2 分因为 112131122232132333420*136132142AAAAA
10、AAAAA 6 分 所以11*|AAA2101313221671 10 分 三、计算题 3 21.解：对 A 作初等行变换，将它化为阶梯形，有 2 分4 分-6 分8 分 最后阶梯形矩阵的秩为 3，所以 R(A)=3 12 分 22.解：把排成 的矩阵 A2 分8 分 这是一个下三角形矩阵 12 分 23.解：由上视为 的线性方程组，解出 来。2 分6 分10 分 所以31332221121212121212112 分 24.解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 2 分由 11|11(1)(1)11aAaa aaa8 分 知 当 a1、0、1 时R(A)3 此时向量组线性相关 12 分 25.解
11、 由-123192192192210040820010(,)110201900004480320000rraaa 7 分 知 R(a1a2 a3)2 因为向量 a1与 a2的分量不成比例 故 a1a2线性无关 所以 a1a2是一个最大无关组 12 分 四、计算题 4 26.解：3 分 6 分 9 分 方程有解 12 分 视*3为自由未知量，方程组有无数多个解即解不唯一 15 分 27.解：3 分 6 分 到此，()()35r Ar An,导出组根底解系含 52=3 个根底解向量导出组有 2 个自由未知-量由最后的矩阵看取23,xx为自由未知量 8 分 写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端等
12、号右端自由未知量以 表示得：52x 12 分 即 0010100012210032154321kkxxxxx15 分 28.解：3 分 5 分 时 方程组有解无穷多解。7 分 10 分 得一般解：补齐 用解向量形式表出为：15 分 29.解-107553122521A第 1 行乘-2，-5 分别加到第 2，3 行 1 分 92517017302521第 2 行乘-6 加到第 3 行 2 分 15171017302521第 2 行与第 3 行交换 3 分 17301517102521第 2 行乘 3 加到第 3 行 4 分 4444001517102521第 3 行乘441 5 分 110015
13、17102521第 3 行乘 17 加到第 2 行 6 分 110020102521第 2 行乘-2 加到第 1 行 7 分 110020102501第 3 行乘 5 加到第 1 行 8 分 1100201030019 分 因为3)(AR，134rn，且左上角化成了三阶单位方阵，所以根底解系中应含有一个解向量 10分 与原方程同解的方程组有 00002000300432143214321xxxxxxxxxxxx12 分 即 43424123xxxxxx15 分 30.解对增广矩阵进展初等行变换有-110051010821121 0110135322300012rB3 分 与所给方程组同解的方程
14、为 132348 13 2xxxxx 6 分 当*30 时 得所给方程组的一个解(81302)T 9 分 与对应的齐次方程组同解的方程为 13234 0 xxxxx 12 分 当*31 时 得对应的齐次方程组的根底解系(1110)T 15 分 31.解 2 分4 分6 分8 分 对应的特征向量 ，10 分 标准化 ，12 分 正交变换阵为-CTAC 15 分 32.解 1 A 的特征值是 2 分 得 A 的正交相似的对角阵 4 分 2对于，由 得根底解系 6 分 对于，由 得根底解系 8 分-对于，由 得根底解系 10 分 3 由于 属于 A 的 3 个不同特征值 的特征向量，它们必正交 将其
15、标准化，得 12 分 4写出正交变换阵 14 分 5有 62031612131612131211110101626161021213131311APP 30001000015 分 33.解 二次型的矩阵为200032023A 由 200032(2)(5)(1)023AE 得A的特征值为1225313 分 当12 时,解方程(A2E)*0 由-0000122012001021000AE 得特征向量(100)T 取p1(100)T6 分 当25 时解方程(A5E)*0 由 3001005022011022000AE 得特征向量(011)T取211(0,)22Tp9 分 当31 时解方程(AE)*0
16、由 100100022011022000AE 得特征向量(011)T取311(0,)22Tp 12 分 于是有正交矩阵T(p1p2p3)和正交变换*Ty 使 f2y125y22y3215 分 34.解 二次型矩阵为1101111001111011A 由 211011110(1)(3)(1)01111011AE3 分 得A的特征值为1123341 当11 时可得单位特征向量11111(,)2222Tp 6 分 当23 时可得单位特征向量21111(,)2222Tp 9 分 当341 时可得线性无关的单位特征向量 311(,0,0)22Tp411(0,0,)22Tp12 分 于是有正交矩阵T(p1
17、p2p3p4)和正交变换*Ty 使 fy123y22y32y4215 分 35.解:将所给矩阵记为A 由-22021202AE(1)(4)(2)得矩阵A的特征值为1221343 分 对于12解方程(A2E)*0 即 123420023200220 xxx 得特征向量(122)T 单位化得1122(,)333Tp 6 分 对于21,解方程(AE)*0 即 123120020200210 xxx 得特征向量(212)T 单位化得2212(,)333Tp 9 分 对于34,解方程(A4E)*0 即 123220023200240 xxx 得特征向量(221)T 单位化得3221(,)333Tp 12 分 于是有正交阵P(p1p2p3)使P1APdiag(214)15 分 五、计算题 5 略