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1、文理通用江苏省文理通用江苏省 20222022 高考高考数学二轮复习理科附加题第数学二轮复习理科附加题第 2 2讲讲空间向量与立体几何练习空间向量与立体几何练习第第 2 2 讲讲 空间向量与立体几何空间向量与立体几何课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角1.1.如下图，在棱长为如下图，在棱长为 2 2 的正方体的正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P为棱为棱C C1 1D D1 1的中点，的中点，Q Q为棱为棱BBBB1 1上的点，且上的点，且BQBQBBBB1 1(0)0)1 1(1)(1)假设假设，求求APA
2、P与与AQAQ所成角的余弦值；所成角的余弦值；2 2(2)(2)假设直线假设直线AAAA1 1与平面与平面APQAPQ所成的角为所成的角为45，求实数45，求实数的值的值，1 1 为正交基为正交基解：以解：以 ABABADAD，AAAA底，建立如下图的空间直角坐标系底，建立如下图的空间直角坐标系A A xyzxyz.那么那么A A(0,0,0)(0,0,0)，A A1 1(0,0,2)(0,0,2)，P P(1,2,2)(1,2,2)，Q Q(2,0,2(2,0,2)1 1(1)(1)当当 时，时，APAP(1,2,2)(1,2,2)，AQAQ(2,0,1)(2,0,1)，2 2所以所以 co
3、scosAPAP，AQAQ|APAP|AQAQ|122021|122021|4 4 5 5.15153 3 5 5-2-2-APAPAQAQ 4 4 5 5所以所以APAP与与AQAQ所成角的余弦值为所成角的余弦值为.15151 1(0,0,2)(0,0,2)，(2)(2)AAAAAQAQ(2,0,2(2,0,2)设平面设平面APQAPQ的法向量为的法向量为n n(x x，y y，z z)，0 0，n nAPAP那么那么 0 0，n nAQAQ x x2 2y y2 2z z0 0，即即 2 2x x2 2zz0.0.令令z z2 2，那么，那么x x2 2，y y2 2.所以所以n n(2(
4、2，2 2，2)2)又因为直线又因为直线AAAA1 1与平面与平面APQAPQ所成角为所成角为 45，45，1 1|n nAAAA1 1|所以所以|cos|cosn n，AAAA1 1|n n|AAAA4 42 2，2 22 22 22 22 2 2 2 2 2 2 2 可得可得 5 52 24 40 0，又因为，又因为0，所以0，所以4 4.5 52 2(2022宿迁期末(2022宿迁期末)如图，如图，在直在直三棱柱三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACACBCBC，ACAC-3-3-BCBC1 1，BBBB1 12 2，点，点D D在棱在棱BBBB1 1上，且
5、上，且C C1 1D DABAB1 1.(1)(1)求线段求线段B B1 1D D的长；的长；(2)(2)求二面角求二面角D D A A1 1C C C C1 1的余弦值的余弦值解：解：在直三棱柱在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACACBCBC，那么那么以以 C C1 1A A1 1，C C1 1B B1 1，C C1 1C C 为基底构建如下为基底构建如下图的空间直角坐标系，那么图的空间直角坐标系，那么A A1 1(1,0,0)(1,0,0)，A A(1,0,2)(1,0,2)，B B1 1(0,1,0)(0,1,0)，C C1 1(0,0,0)(0,0,
6、0)，B B(0,1,2)(0,1,2)，C C(0,0,2)(0,0,2)，1 1(1,11,1，2)2)，所以所以ABAB设设B B1 1D Dt,t,00t t2，那么2，那么D D(0,1(0,1，t t)，C C1 1D D(0,1(0,1，t t)(1)(1)由由C C1 1D DABAB1 1，得，得C C1 1D DABAB1 10 0，1 1所以所以 1 12 2t t0 0t t，2 21 1所以所以B B1 1D D.2 2(2)(2)易知平面易知平面A A1 1C C1 1C C的一个法向量为的一个法向量为C C1 1B B1 1(0,1,0)(0,1,0)，-4-4-
7、设平面设平面A A1 1CDCD的一个法向量为的一个法向量为n n(x x，y y，z z)，1 1由由(1)(1)知知A A1 1D D 1 1，1 1，A A1 1C C(1,0,2)1,0,2)，2 2 n nA A1 1D D0 0，因为因为 1 1C C0 0，n nA A1 1 x xy yz z0 0，2 2所以所以 x x2 2z z0 0，取取z z2 2，那么那么y y3 3，x x4 4，所以，所以n n(4,3,2)(4,3,2)，所以所以 coscosn n，C C1 1B B1 13 3 2929.2929|n n|C C1 1B B1 1|n nC C1 1B B
8、1 13 3 2929所以二面角所以二面角D D A A1 1C C C C1 1的余弦值为的余弦值为.29293.3.如图，在底面是直角梯形的如图，在底面是直角梯形的四棱锥四棱锥S S ABCDABCD中，中，BADBADCDACDA90，90，ADADCDCD2 2，ABAB1 1，SASASDSD，且平面，且平面SADSAD平面平面ABCDABCD.(1)(1)当当SASASDSD时，时，求直线求直线SASA与平面与平面SBCSBC所成所成-5-5-角的正弦值；角的正弦值；(2)(2)假设平面假设平面SBCSBC与平面与平面SADSAD所成角的大小为所成角的大小为，求，求SASA的长的长
9、4 4解：解：(1)(1)取取ADAD中点中点O O，连结，连结SOSO.因为因为SASASDSD，所以，所以SOSOADAD，因为平面因为平面SADSAD平面平面ABCDABCD，平面平面SADSAD平面平面ABCDABCDADAD，SOSO平面平面SADSAD，所以所以SOSO平面平面ABCDABCD.建立如下图的空间直角坐标系，建立如下图的空间直角坐标系，由由 条条 件件 可可 得得，A A(1,0,0)(1,0,0)，S S(0,0,1)(0,0,1)，B B(1,1,0)(1,1,0)，C C(1,2,0)1,2,0)所以所以SASA(1,0(1,0，1)1)，SBSB(1,1(1,
10、1，1)1)，BCBC(2,1,0)2,1,0)设平面设平面SBCSBC的法向量的法向量n n(x x，y y，z z)，0 0，n nSBSB那么那么 0 0，n nBCBC x xy yz z0 0，所以所以 2 2x xy y0 0，-6-6-取取n n(1,2,3)(1,2,3)设直线设直线SASA与平面与平面SBCSBC所成角为所成角为，|1|13|3|那么那么 sinsin|cos|cosSASA，n n|2 2 14147 7.7 7(2)(2)设设SOSOa a，那么那么S S(0,0(0,0，a a)，所以所以SBSB(1,1(1,1，a a)，平平面面SBCSBC的的法法向
11、向量量n n(x x，y y，z z)满满足足 x xy yazaz0 0，2 2x xy y0 0，3 3 取取n n 1 1，2 2，.a a 取平面取平面SADSAD的法向量的法向量n n(0,1,0)(0,1,0)，所以所以 coscos4 42 2112 2，解得，解得a a2 2 3 3 2 2 a a 5 5 3 3，所以所以SASA2.2.4.4.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P P ABCDABCD中，中，-7-7-PAPA平面平面ABCDABCD，ABABADAD，ADADBCBC，APAPABABADAD1.1.(1)(1)假设直线假设直线PBPB与与CDCD所成角的大小为
12、所成角的大小为，求求3 3BCBC的长；的长；(2)(2)求二面角求二面角B B PDPD A A的余弦值的余弦值解：解：(1)(1)以以 ABAB，ADAD，APAP 为单位为单位正交基底，正交基底，建立如下图的空间直角坐建立如下图的空间直角坐标系标系A A xyzxyz.因为因为APAPABABADAD1 1，所所 以以A A(0,0,0)(0,0,0)，B B(1,0,0)(1,0,0)，D D(0,1,0)(0,1,0)，P P(0,0,1)(0,0,1)设设C C(1(1，y,y,0)0)，那么那么PBPB(1,0(1,0，1)1)，CDCD(1,11,1y,y,0)0)因为直线因为
13、直线PBPB与与CDCD所成角大小为所成角大小为，3 3|PBPBCDCD|1 1所以所以|cos|cosPBPB，CDCD|，PBPBCDCD2 2-8-8-1 11 1即即2 2，解得，解得y y2 2 或或y y2 2 1 1 1 1y y 2 20(0(舍舍)，所以所以C C(1,2,0)(1,2,0)，所以，所以BCBC的长为的长为 2.2.(2)(2)设平面设平面PBDPBD的法向量为的法向量为n n1 1(x x，y y，z z)因为因为PBPB(1,0(1,0，1)1)，PDPD(0,1(0,1，1)1)，PBPBn n1 10 0，那么那么 PDPDn n1 10 0，x x
14、z z0 0，即即 y yz z0.0.令令x x1 1，那么那么y y1 1，z z1 1，所以所以n n1 1(1,1,1)(1,1,1)因为平面因为平面PADPAD的一个法向量为的一个法向量为n n2 2(1,0,0)(1,0,0)，n n1 1n n2 23 3所以所以 coscosn n1 1，n n2 2，|n n1 1|n n2 2|3 33 3所以由图可知二面角所以由图可知二面角B B PDPD A A的余弦值为的余弦值为.3 35 5(2022苏州调研(2022苏州调研)如图，如图，矩矩形形ABCDABCD所在平面垂直于直角梯形所在平面垂直于直角梯形ABPEABPE所在平面，
15、且所在平面，且ABABBPBP2 2，ADADAEAE1 1，AEAEABAB，且，且AEAEBPBP.-9-9-(1)(1)求平面求平面PCDPCD与平面与平面ABPEABPE所成的二面角的所成的二面角的余弦值；余弦值；(2)(2)线段线段PDPD上是否存在一点上是否存在一点N N，使得直线，使得直线BNBN2 2与平面与平面PCDPCD所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于？假设存在，？假设存在，试试5 5确定点确定点N N的位置；假设不存在，请说明理由的位置；假设不存在，请说明理由解：解：(1)(1)因为因为AEAEABAB，AEAEBPBP，所以所以BPBPABAB，因为平面因为平面AB
16、CDABCD平面平面ABPEABPE，平面，平面ABCDABCD平平面面ABPEABPEABAB，所以所以BPBP平面平面ABCDABCD，又又ABABBCBC，所以直线，所以直线BABA，BPBP，BCBC两两垂直两两垂直以以B B为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以BABA，BPBP，BCBC所在直线为所在直线为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立如下图的空间直角坐标系，轴建立如下图的空间直角坐标系，那么那么P P(0,2,0)(0,2,0)，B B(0,0,0)(0,0,0)，D D(2,0,1)(2,0,1)，E E(2,1,0)(2,1,0)，C C(0,0,1)(0,0,1)，
17、因为因为BCBC平面平面ABPEABPE，-10-10-所以所以BCBC(0,0,1)(0,0,1)为平面为平面ABPEABPE的一个法向的一个法向量，量，设平面设平面PCDPCD的一个法向量为的一个法向量为n n(x x，y y，z z)，易得易得PDPD(2(2，2,1)2,1)，CDCD(2,0,0)(2,0,0)，0 0，n nCDCD那么那么 0 0，n nPDPD 2 2x x0 0，即即 2 2x x2 2y yz z0 0，令令y y1 1，那么，那么z z2 2，故，故n n(0,1,2)(0,1,2)，设平面设平面PCDPCD与平面与平面ABPEABPE所成的二面角大小为所
18、成的二面角大小为，|n nBCBC|2 22 2 5 5那么那么|cos|cos|，5 5|n n|BCBC|1 1 5 5由图知，所求二面角为锐角，由图知，所求二面角为锐角，所以平面所以平面PCDPCD与平面与平面ABPEABPE所成二面角的余弦所成二面角的余弦2 2 5 5值为值为.5 5(2)(2)假设满足题意的点假设满足题意的点N N存在，存在，(2(2，2 2，)(0)(01)，1)，设设PNPNPDPD-11-11-那么那么BNBNBPBPPNPN(2(2，2 22 2，)由由(1)(1)知，平面知，平面PCDPCD的一个法向量为的一个法向量为n n(0,1,2)(0,1,2)，设直线设直线BNBN与平面与平面PCDPCD所成的角为所成的角为，那那 么么sinsin|cos|cos BNBN，n n|2 2，2 25 5 9 98 84 45 51 1即即 9 98 81 10 0，解得，解得1 1 或或9 92 22 2(舍去舍去)故当点故当点N N与点与点D D重合时，直线重合时，直线BNBN与平面与平面PCDPCD2 2所成角的正弦值为所成角的正弦值为.5 5-12-12-13-13-