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1、-一、高中数列知识点总结一、高中数列知识点总结1.1.等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质定义：an1an d（d为常数），an a1n1d等差中项：x，A，y成等差数列 2A x y前n项和Sna1ann na2nn1d12性质：an是等差数列（1）若mn pq，则aman apaq；（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n仍为等差数列，公差为n2d；（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则amS2m1bmT2m1（5）an为等差数列 Sn an2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为
2、 0 的二-次函数）Sn的最值可求二次函数Sn an2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，an 0即：当a1 0，d 0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.an1 0an 0当a1 0，d 0，由可得Sn达到最小值时的n值.a 0n1(6)项数为偶数2n的等差数列an，有S2n n(a1 a2n)n(a2 a2n1)n(an an1)(an,an1为中间两项)S偶 S奇 nd，S奇S偶an.an1，有（7）项数为奇数2n1的等差数列anS2n1(2n 1)an(an为中间项)，S奇 S偶 an，S奇S偶n.n 12.2.等比数列的定义与性质等比数列的定义与性质定义：an1 q（q为常
3、数，q 0），an a1qn1.an等比中项：x、G、y成等比数列 G2 xy，或G xy.na1(q 1)前n项和：Sna11qn（要注意！）(q 1)1q性质：an是等比数列（1）若mn pq，则aman apaq（2）Sn，S2nSn，S3nS2n仍为等比数列,公比为qn.-注意注意：由Sn求an时应注意什么？n 1时，a1 S1；n 2时，an SnSn1.二二解题方法解题方法1 1求数列通项公式的常用方法求数列通项公式的常用方法（1 1）求差（商）法）求差（商）法如：数列a，12a11n122a22nan 2n5，求an解解n 1时，12a1 215，a114n 2时，12a1211
4、2a22n1an1 2n15得：12an114(n 1)nn 2，an 2，an2n1(n 2)练习数列a5n满足SnSn13an1，a1 4，求an注意到an1 Sn1 S1n，代入得SnS 4又S1 4，Sn是等比数列，n；n 2时，an Sn Sn1 3 4n1（2 2）叠乘法）叠乘法如：数列a中，aann1 3，n1a1，求annn解解a2aaa3an12n1，an1又a 3，a31n12an12 3na1nn.-Sn 4n-（3 3）等差型递推公式）等差型递推公式由anan1 f(n)，a1 a0，求an，用迭加法a3a2 f(3)n 2时，两边相加得ana1 f(2)f(3)f(n
5、)anan1 f(n)an a0 f(2)f(3)f(n)练习数列an中，a11，an3n1a2a1 f(2)an1n 2，求an（an1n3 12）（4 4）等比型递推公式）等比型递推公式an can1d（c、d为常数，c 0，c 1，d 0）可转化为等比数列，设an x can1 x ancan1c1x令(c1)x d，x d dd，c为公比的等比数列，an是首项为a1c1c1c1anddn1dn1da1ca a c，n1c1c1c1c1（5 5）倒数法）倒数法如：a11，an12an，求anan2由已知得：a 2111111n，an12an2anan1an2 1 11111 n1，为等差
6、数列，1，公差为，1n1an222a1anan2n1-(附：公式法、利用anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an1 panq或an1 pan f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 2求数列前求数列前 n n 项和的常用方法项和的常用方法(1)(1)裂项法裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求1k1akak1n解：解：由n111 11 d 0akak1akakddakak1n 111 11 1 11 11 1 a adaadaaaaaak1kk1k1k123n1k2n11 11 d
7、a1an1练习求和：111112123123n1an，Sn 2n1（2 2）错位相减法）错位相减法若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.如：Sn1 2x3x2 4x3 nxn1x Sn x2x23x34x4n1xn1nxn-1xSn1 x x2 xn1nxnx 1时，Sn1 xnxn1 x2nn1，x 1时，Sn123n 21 xn（3 3）倒序相加法）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sn a1a2an1an相加2Sna1ana2an1a1anSn anan1a2a1x2练习已知f(x)，则1
8、x2 1f(1)f(2)f f(3)21f f(4)32 1f4 1 x2x21x 1 1由f(x)f2222x1 x1 x1 x 1 1x原式 f(1)f(2)1ff(3)21f f(4)3111f1113242(附：a.用倒序相加法求数列的前 n 项和如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前 n 项和对等差数列、等
9、比数列，求前 n 项和可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列中，成等差数列，成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。-e.用迭加法求数列的前 n 项和迭加法主要应用于数列满足1(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出，从而求出。f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。)-