《双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长 证法一（坐标法）：设双曲线22221(0,0)xyabab焦点为(,0)F c，一条渐近线为:bl yxa即0bxay，(,0)F c到l的距离为22|0|.bcabcdbcab 证法二（几何法）：过实轴端点 A 作实轴垂线 AD 交渐近线于点 D，则bDAaba，又22ODabcOF，所以(,0)F c到l的距离FHDAb。（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT 平分焦点PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：延长 F
2、1H 到 M，交 PF2于 M，则1PMPF，又12|2PFPFa，2|2F Ma 又 H、O 为 MF1、F1F2中点，OH 21|2F MOHa H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.（三）设 A1、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2的内切圆，必与 A1A2所在的直线切于 A2（或 A1）.证明：设12A A切X轴于点A，与1PF切于 M，PF2切于 N 1212|2|2PFPFaPMMFPNNFa|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=2|A F 12|2F AA Fa 又12|2F AA Fc 222|A FcaA F，A2与A重合.注：可知，圆心在直线xa或直线
3、xa 上.（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径 MF2为直径的圆的半径为 r1，圆心为 O1；以 MF1为直径的圆的半径为 r2，圆心为 O2，由双曲线定义知12|MFMFAB 112111|(|)22OOF MMFABra，圆 O1与圆 O 外切 又 12|MFABMF 221211|(|)22OOF MMFABra，圆 O2与圆 O 内切 （五）双曲线22221(0,0)xyabab的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab
4、.证明：设交点0012(,),(,),(,)S xyP m n P mn 1 11P AA SKK，222P AP SKK，0220000222200000ynmaxayyynnnyma maxa xaamxanmaxa 又222222222222211mnnmnbabbaama ，22220002222201yxybxaaab 即22221xyab （六）若000(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.证明：求导可得：202220220 x bxy yyaby a，切线方程2000002220()1x bx xy yy
5、yxxy aab （七）若000(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab外，则过 P0作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.证明：设111222(,),(,)P x yP xy，则过12PP切线分别为11122:1x xy ylab，22222:1x xy ylab 0P在12ll、上 1010221x xy yab，2020221x xy yab 过12PP方程00221x xy yab （八）AB 是双曲线22221(0,0)xyabab的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则22OMABbkka.证明
6、：设(,),(,)AABBA xyB xy，则()22ABABxxyyM，2222ABABABOMABABABAByyyyyyKKxxxxxx 又22222222222222AbAABBABxxxyxyyyababab，22OMABbKKa （九）若000(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab内，则过 P0的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x yP xy，中点(,)S m n 1 22222220112212222222012()()PPPOSnyxyxyxx bmbKKmxababyy ana 2
7、2222200m bmb xn ana y22002222x my ymnabab，即22002222x xy yxyabab。（十）过双曲线22221(0,0)xyabab上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.证明：设两直线与双曲线交于点1122(,),(,)x yxy，则 222222011222222222xxyxyyababab21010210102202022020ABACyyxxbkxxyyayyxxbkxxyya 由题意得 22102020102210202010(),yyxxyyx
8、xbbxxyyxxyyaa 展开222212021001202010222212010201201020()()0()()0y yy yy yyabx xx xx xxy yy yy yyabx xx xx xx 20122120BCb xyyKxxa y（定值）（十一）双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上异于顶点任意一点12F PF，则双曲线的焦点三角形的面积为2122|1os|cbPFPF；122tan2F PFbS.证明：设21|,|,|2PFm PFn mna，22222222cos444()4mnmncabmnb，22(cos1)b
9、mn2122|1 cosbPFPF 22121sinsin2cos1tan2bS F PFmnb （十二）若 P 为双曲线22221(0,0)xyabab右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.证明：设 P 在左支，21|2PFPFa，12|2FFc 2112|PFPFaFFc 2112|sinsin|sin()PFPFF F2sincossin2222sincossin222 sincossincos1tancot222222sincossincos1tancot222222 由、得：1tanc
10、ot22tancot221tancot22acacca 同理，P 在右支时，tant22cacoca（十三）双曲线22221(0,0)xyabab上存在两点关于直线l：0()yk xx对称的充要条件是22220222()abxab k.证明：该问题等价于在双曲线找两点，过这两点直线1l，斜率为1k，其中垂线l为0()yk xx，则22220222()abxab k 设1l方程为1yxmk xmkky 代入22221xyab，得22222222222()20b kaymb k yb k ma b 22122222mb kyyb ka，中点为222222222(,)mkamb kb kab ka，
11、则l可以写成222222222()mb kmkayk xb kab ka代入0(,0)x 得220222()mk abxb ka，即22222202222()()m kabxb ka 其中22222422222222244()()0ab km b kbk mab kamk 代入，得22220222()abxab k （十四）已知双曲线22221(0,0)xyabab，A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.证明：设 A 为11(,)x y，B 为22(,)xy，由点差法得：22xykab中中 又 有：0001yxk
12、yxxxk 中中中中，由 得22xbkya中中，2202baxxa中 显然bxa22中a-或0bxa22a （十五）双曲线离心率为 e，其焦点三角形 PF1F2的旁心为 A，线段PA 的延长线交 F1F2的延长线于点 B，则|BA|e|AP|证明：由角平分线性质得 12121212|FB|F B|FB|F B|BA|2ce|AP|FP|F P|FP|F P|2a （十六）已知双曲线22221(0,0)xyabab和2222xyab（01），一条直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD.证明：设直线方程为ykxm，代入双曲线方程 2222222222212()0 xykkmmxxababbbykxm 22221xyab视作1的特殊情况 弦中点坐标21222221221Dkmxxbxkab与无关(,)DDD xy与无关，AD、BC的中点同为 T，|ATDT且|BTCT，|ABATBTDTCTCD