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1、新高考新高考 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习专题强化训练二十三选复习专题强化训练二十三选修修 4-54-5 不等式选讲理不等式选讲理专题强化训练专题强化训练(二十三二十三)选修选修 4 45 5不等式选讲不等式选讲1 12022济南模拟2022济南模拟 函数函数f f(x x)|x x2|2|2|2x x1|.1|.(1)(1)求不等式求不等式f f(x x)3)3 的解集；的解集；(2)(2)假设不等式假设不等式f f(x x)axax的解集为空集，的解集为空集，求求实数实数a a的取值范围的取值范围解解：(1)(1)解解 法法 一一：由由 题题 意意f f(x x)1
2、1 3 3x x3 3，x x2 2，1 1 x x1 1，x x22，2 2 3 3x x3 3，x x2.2.1 1当当x x 时，时，f f(x x)3 3x x33，33，解得解得x x0，0，2 21 1即即 00 x x；2 21 1当当 x x22 时，时，f f(x x)x x13，解得13，解得x x2，2，2 21 1即即 x x22；2 22 2当当x x22 时，时，f f(x x)3 3x x33，解得33，解得x x2，2，即即x x2.2.综上所述，原不等式的解集为综上所述，原不等式的解集为0,20,2解解法法二二：由由题题意意f f(x x)1 1 3 3x x
3、3 3，x x2 2，1 1 x x1 1，x x2)axax对任意对任意x xR R 恒成立，恒成立，即函数即函数y yaxax的图象始终在函数的图象始终在函数y yf f(x x)的的图象的下方，如下图图象的下方，如下图当直线当直线y yaxax过点过点A A(2,3)(2,3)以及与直线以及与直线y y3 3x x3 3 平行时为临界点，平行时为临界点，3 3所以3所以3a a)axax对任意对任意x xR R 恒成立，恒成立，4 41 1()当当x x 时，时，f f(x x)3 3x x33axax，2 2即即(a a3)3)x x3030 恒成立，恒成立，假设假设a a3030，显
4、然不合题意；，显然不合题意；假设假设a a3 30 0，即，即a a3 3，那么，那么303030，即，即a a 3 3，只需，只需(a a3)3)2 23030 即可，即可，解得解得a a33，故，故33a a33，所以3所以3a a3.3.1 1()当当 x x21axax，2 2即即(a a1)1)x x1010 恒成立，恒成立，假设假设a a1010，即，即a a11，(a a1)1)x x1010 恒成恒成立，符合题意；立，符合题意；假设假设a a1 10 0，即即a a1 1，那么那么101010，即即a a11，只需只需(a a1)2101)2105 5即可，即可，3 33 33
5、 3解得解得a a，故，故 113axax，即，即(a a3)3)x x3030 恒成立恒成立假设假设a a3030，即即a a33，只需只需(a a3)23)23030即可，即可，3 33 3解得解得a a ，故，故a a ；2 22 2假设假设a a3 30 0，即，即a a3 3，那么，那么 303030，即，即a a33，那么，那么(a a3)3)x x30303 3恒成立，不合题意，所以恒成立，不合题意，所以a a .2 23 3综上所述，综上所述，33a a ，即实数即实数a a的取值范围的取值范围2 2 3 3 为为 3 3，.2 2 2 22022武汉2022武汉 4 4 月调
6、研月调研 函数函数f f(x x)|2|2x x6 61|1|x x1|.1|.(1)(1)求不等式求不等式f f(x x)3)3 的解集；的解集；(2)(2)假设直线假设直线y yx xa a与与y yf f(x x)的图象所的图象所9 9围成的多边形面积为围成的多边形面积为，求实数，求实数a a的值的值2 2解解：(1)(1)由由题题意意知知3 3x x，x x1，1，1 1 x x2 2，x x1 1，2 2 1 13 3x x，x x，2 2 f f(x x)由由f f(x x)3)3 可知：可知：()当当x x11 时，时，3 3x x3，即3，即x x1；1；1 1()当当 x x
7、1 1 时，时，x x2 23 3，即，即x x1，1，2 21 1与与 x x1 1 矛盾，舍去；矛盾，舍去；2 21 1()当当x x 时，时，3 3x x3，即3，即x x1 1；2 2综上可知解集为综上可知解集为 x x|x x1 1 或或x x117 7(2)(2)画出函数画出函数y yf f(x x)的图象，如下图，其的图象，如下图，其 1 13 3 中中A A ，B B(1,3)(1,3)，2 22 2 由由k kABAB1 1，知，知y yx xa a图象与直线图象与直线ABAB平行，平行，假设要围成多边形，那么假设要围成多边形，那么a a2.2.易得易得y yx xa a与与
8、y yf f(x x)图象交于两点图象交于两点 a a3 3a a a a3 3a a a aa aC C，D D ，那么那么|CDCD|2 2|2 24 4 2 22 2 4 44 4 3 3 2 2a a.4 4|a a2|2|a a2 2平行线平行线ABAB与与CDCD间的距离间的距离d d，2 22 23 3 2 2|ABAB|，2 28 83 3 2 23 3 2 2a a2 24 4a a2 2梯形梯形ABCDABCD的面积的面积S S2 22 23 33 3a a2 24 49 9(a a2)2)，(a a2)2)2 22 2即即(a a2)(2)(a a2)2)1212，a a
9、4 4，故所求实数故所求实数a a的值为的值为 4.4.3 32022合肥质检二2022合肥质检二 f f(x x)|3|3x x2|.2|.(1)(1)求求f f(x x)1)1 的解集；的解集；(2)(2)假设假设f f(x x)a a|x x|恒成立，恒成立，求实数求实数a a的最的最大值大值解：解：(1)(1)由由f f(x x)1)1 得得|3|3x x2|1，2|1，1 1所以13所以13x x21，解得121，解得1x x，3 3 1 1 所以所以f f(x x)1)1 的解集为的解集为 1 1，.3 3 2 2(2)(2)f f(x x)a a|x x|恒成立，即恒成立，即3
10、3x x22a a|x x|恒恒成立成立当当x x0 0 时，时，a aR.R.9 92 22 23 3x x2 22 2当当x x00 时，时，a a3|3|x x|恒成立恒成立|x x|x x|因为因为 3|3|x x|2 2|x x|，6 6即即|x x|时等号成立时等号成立)，3 3所以所以a a22 6.6.综上，知综上，知a a的最大值是的最大值是 2 2 6.6.4 42022郑州质量预测二2022郑州质量预测二 设函数设函数f f(x x)|axax1|1|x xa a|(|(a a0)0)，g g(x x)x xx x.(1)(1)当当a a1 1 时，求不等式时，求不等式g
11、 g(x x)f f(x x)的解的解集；集；(2)(2)f f(x x)2)2 恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)当当a a1 1 时，时，f f(x x)|x x1|1|x x1|1|2 2x x，x x1 1，2 2，1 1x x1 1，2 2x x，x x112 22 2|x x|226(6(当且仅当当且仅当 3|3|x x|2 21010当当x x1 1 时，时，x xx x2 2x x，得，得x x1 1；当当1 1x x1 1 时，时，x xx x2，即2，即x x1 1 或或2 22 2x x2，舍去；2，舍去；当当x x11 时，时，x xx
12、x22x x，得，得x x3.3.综综上，原上，原 不等不等 式的解式的解 集为集为 x x|x x 1 1 或或2 2x x33(2)(2)f f(x x)|axax1|1|x xa a|1 1 a a1 1 x x1 1a a，x xa a，1 1 a a1 1 x x1 1a a，x xa a，a a a a1 1 x x1 1a a，x xa a当当 0 0a a11 时，时，f f(x x)minminf f(a a)a a12，12，a a1 1；1 1 1 1当当a a1 1 时，时，f f(x x)minminf f a a 2，2，a aa a a a 2 21.1.综上，综
13、上，a a的取值范围为的取值范围为11，)，)5 52022石家庄一模2022石家庄一模 设函数设函数f f(x x)|1|11111x x|x x3|.3|.(1)(1)求不等式求不等式f f(x x)1)1 的解集；的解集；(2)(2)假设函数假设函数f f(x x)的最大值为的最大值为m m，正实数，正实数p p，2 21 1q q满足满足p p2 2q qm m，求，求 的最小值的最小值p p2 2q q x x3 3，解：解：(1)(1)不等式可化为不等式可化为 1 1x xx x3131或或 33x x11，1 1x xx x3131或或 x x1，1，x x1 1x x31，31
14、，3 3解解 得得x x，f f(x x)1)1的的 解解 集集 为为2 2 3 3 x x|x x.2 2 (2)(2)解法一：解法一：|1|1x x|x x3|13|1x xx x3|3|4 4，m m4 4，p p2 2q q4 4，(p p2)2)2 2q q6 6，12121 1 2 21 11 1 2 2(p p2 22 2q q)p p2 2q q6 6 p p2 2q q 4 4q qp p2 2 1 1 4 4p p2 2q q 6 6 1 1 4 42 26 6 4 4q qp p2 2 4 4 ，p p2 2q q 3 3p p1 1，当且仅当当且仅当p p2 22 2q
15、 q3 3，即即 3 3q q 2 2取“，取“，2 21 14 4 的最小值为的最小值为.p p2 2q q3 3时，时，解法二：解法二：|1|1x x|x x3|13|1x xx x3|3|4 4，m m4 4，p p2 2q q4 4，p p4 42 2q q，q q(0,2)(0,2)，2 21 12 21 12 2q q6 62 2q q3 3 2 2p p2 2q q6 62 2q qq q 6 62 2q q q q3 3q qq q3 3，3 3 2 29 9 q q 2 2 4 4 13133 32 21 1q q(0,2)(0,2)，当，当q q 时，时，取得最取得最2 2
16、p p2 2q q4 4小值为小值为.3 36 62022长沙一模2022长沙一模 函数函数f f(x x)x x|x xa a|，a aR.R.(1)(1)当当f f(1)(1)f f(1)1)1 1 时，求时，求a a的取值范的取值范围；围；(2)(2)假设假设a a0 0，x x，y y(，a a，不等，不等5 5式式f f(x x)|)|y y|y ya a|恒成立，求恒成立，求a a的取值范的取值范4 4围围解：解：(1)(1)f f(1)(1)f f(1)1)|1|1a a|1|1a a|1 1，假设假设a a1 1，那么，那么 1 1a a1 1a a1 1，得，得 2 21 1
17、，即，即a a1 1；假设假设1 1a a1 1，那么，那么 1 1a a(1(1a a)1 1，1 1得得a a，2 214141 1即即1 1a a；2 2假设假设a a1，那么1，那么(1(1a a)(1(1a a)1 1，得，得2 21 1，此时不等式无解，此时不等式无解 1 1 综上所述，综上所述，a a的取值范围是的取值范围是，.2 2 (2)(2)由题意知，要使不等式恒成立由题意知，要使不等式恒成立 5 5 只需只需f f(x x)maxmax|y y|y ya a|minmin.4 4 当当x x(，a a 时，时，2 2 a aa a2 2f f(x x)x xaxax，f
18、f(x x)maxmaxf f .2 2 4 45 55 5因为因为|y y|y ya a|a a，当且仅当，当且仅当4 44 4 5 5 5 5 y y(y ya a)0，即)0，即 y ya a时等号成时等号成4 4 4 4 立，立，5 5|y y|y ya a|minmin所以当所以当y y(，a a 时，时，4 4 15155 55 5|a a a a.4 44 45 5于是于是 a a，解得1，解得1a a5.5.4 44 4又又a a0 0，所以，所以a a的取值范围是的取值范围是(0,5(0,57 72022福州质检2022福州质检 不等式不等式|2|2x x1|1|2|2x x
19、1|1|4 4 的解集为的解集为M M.(1)(1)求集合求集合M M；(2)(2)设实数设实数a aM M，b b M M，证明：证明：|abab|1|1|a a|b b|.|.1 1解：解：(1)(1)解法一：当解法一：当x x 时，不等式化为：时，不等式化为：2 21 12 2x x1 11 12 2x x4 1 1，所以，所以11x x ；2 21 11 1当当 x x 时，不等式化为时，不等式化为 2 2x x1 12 2x x2 22 21414，即，即 242 时，时，不等式化为不等式化为 2 2x x1 12 2x x1414，即即2 2x x11，1 1所以所以 x x1.1
20、.2 2综上可知，综上可知，M M x x|11x x11解法二：设解法二：设f f(x x)|2|2x x1|1|2|2x x1|1|，4 4x x，x x 1 12 2 函数函数f f(x x)的图象如下图，的图象如下图，假设假设f f(x x)4)4，由上图可得，由上图可得，11x x1.1.所以所以M M x x|11x x11(2)(2)解法一：因为解法一：因为a aM M，b b M M，1717所以所以|a a|1|1，|b b|1.|1.而而|abab|1 1(|(|a a|b b|)|)|abab|1 1|a a|b b|(|(|a a|1)(|1)(|b b|1)0，1)0
21、，所以所以|abab|1|1|a a|b b|.|.解法二：要证解法二：要证|abab|1|1|a a|b b|，只需证只需证|a a|b b|1 1|a a|b b|0，|0，即证即证(|(|a a|1)(|1)(|b b|1)0.1)0.因为因为a aM M，b b M M，所以，所以|a a|1|1，|b b|1，|1，所以所以(|(|a a|1)(|1)(|b b|1)01)0 成立成立所以所以|abab|1|1|a a|b b|成立成立解法三：要证解法三：要证|abab|1|1|a a|b b|，因为因为a aM M，b b M M，所以，所以|a a|1|1，|b b|1，|1，所
22、以所以|abab|11，11，|a a|b b|1，|1，所以只需证所以只需证(|(|abab|1)1)2 2(|(|a a|b b|)|)2 2，只需证只需证|abab|2|2|abab|1|1|a a|2|2|abab|b b|，只需证只需证|abab|1|1|a a|b b|，18182 22 22 22 22 22 2只需证只需证(|(|a a|1)(|1)(|b b|1)0，1)0，又因为又因为|a a|11，|b b|1，1，所以所以(|(|a a|1)(|1)(|b b|1)01)0 成立成立所以所以|abab|1|1|a a|b b|成立成立8 82022洛阳统考2022洛阳统
23、考 f f(x x)|x x1|1|，g g(x x)2|2|x x|a a.(1)(1)当当a a1 1 时，求不等式时，求不等式f f(x x)g g(x x)的的解集；解集；(2)(2)假设存在假设存在x x0 0R R，使得使得f f(x x0 0)g g(x x0 0)成立，成立，求求a a的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)当当a a1 1 时原不等式可化为时原不等式可化为|x x1|1|2|2|x x|1 1，设设(x x)|x x1|1|2|2|x x|，那么，那么(x x)2 22 22 22 22 22 2x x1 1，x x1 1 3 3x x1 1，11x x00
24、x x1 1，x x00，x x1 1那么那么 x x111 1 11x x00，或，或 3 3x x111 1，1919 x x00或或 x x111 1，2 2即即 x x2.2.3 3 2 2原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x x223 3.(2)(2)存在存在x x0 0R R 使得使得f f(x x0 0)g g(x x0 0)成立，成立，等价等价于于|x x1|2|1|2|x x|a a有解，有解，即即(x x)a a有解，即有解，即a a(x x)maxmax.由由(1)(1)可知，可知，(x x)在在(，0)0)上单调递增，上单调递增，在在00，)上单调递减，)上单调递减(x x)maxmax(0)(0)1 1，a a1.1.20202121