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1、 第 1 页 共 10 页 人教版高中数学必修一教学案 年 级：高二 上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 函数的奇偶性 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 函数的奇偶性【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，
2、其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1()0)()fxf xfxf xf x，f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01()0)()fxf xfxf xf x，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0；（5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；
3、反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤 第 2 页 共 10 页（1）求函数()f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x的定义域，化简函数()f x的解析式；（3）求()fx，可根据()fx与()f x之间的关系，判断函数()f x的奇偶性.若()fx=-()f x，则()f x是奇函数；若()fx=()f x，则()f x是偶函数；若()fx()f x，则()f x既不是奇函数，也不是偶函数；若()fx()f x且()fx=-
4、()f x，则()f x既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与()f x之一是否相等.（2）验证法：在判断()fx与()f x的关系时，只需验证()fx()f x=0 及()1()fxf x 是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断
5、 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx与()f x的关系.首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x与()fx对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论 奇函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相同的单调性，即已知()f x是奇函数，它在区间a,b上是增函数（减函数），则()f x在区间-b，-a上也是增函数（减函数）；
6、偶函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相反的单调性，即已知()f x是偶函数且在区间a,b上是增函数（减函数），则()f x在区间-b，-a上也是减函数（增函数）.【典型例题】第 3 页 共 10 页 类型一、判断函数的奇偶性 例 1.判断下列函数的奇偶性：(1)1-()(1)1xf xxx；(2)f(x)=x2-4|x|+3；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；(4)21-()|2|-2xf xx；(5)22-(0)()(0)xx xf xxx x；(6)1()()-()()2f xg xgxxR【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3
7、）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】(1)f(x)的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意 xR，都有-xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(4)2-1x11-x0 x-1,00,1x0 x-4x+22 且 221-1-()(2)-2xxf xxx 221-(-)1-(-)-()-xxfxf xxx，f(x)为奇函数；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(
8、-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(6)11(-)(-)-(-)(-)-()-()22fxg xgxg xg xf x，f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf xx；(2)()|1|1|f xxx；(3)222()1xxf xx；(4)22
9、x2x1(x0)f(x)0(x0)x2x1(x0).第 4 页 共 10 页【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数【解析】(1)()f x的定义域是R，又223()3()()()33xxfxf xxx ，()f x是奇函数（2）()f x的定义域是R，又()|1|1|1|1|()fxxxxxf x ，()f x是偶函数（3）22()()()11fxxxxx ()()()()fxf xfxf x 且，()f x为非奇非偶函数（4）任取 x0 则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取 x0 f(-x)=-
10、(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0 时，f(0)=-f(0)xR 时，f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.【变式 2】已知 f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.【变式 3】设函数()
11、f x和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是（）.A()f x+|g(x)|是偶函数 B()f x-|g(x)|是奇函数 C|()f x|+g(x)是偶函数 D|()f x|-g(x)是奇函数【答案】A 例 2.已知函数(),f x xR，若对于任意实数,a b都有()()()f abf af b，判断()f x的奇偶性.【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b，都有()()()f abf af b，可以令,a b为某些特殊值，得出()()fxf x.设0,a 则()(0)()f bff b，(0)0f.又设,ax bx，则(0)()()ffxf x，第 5
12、页 共 10 页()()fxf x，()f x是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()fx与()f x之间的关系，因此需要先求出(0)f的值才行.举一反三：【变式 1】已知函数(),f x xR，若对于任意实数12,x x，都有121212()()2()()f xxf xxf xf x，判断函数()f x的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令120,xxx得()()2(0)()f xfxff x，令210,xxx得()()2(0)()f xf xff x 由上两式得：()()()()f xfxf xf x，即()()fxf x()f x是偶函数.
13、类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3.f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H xaf xbg x在0,上的最大值为 5，则()H x在（-,2）上的最小值为 【答案】-1【解析】考虑到(),()f x g x均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x与()Hx的关系()H x+()Hx=()()2()()2af xbg xafxbgx ()(),()()fxf x gxg x ，()()4H xHx 当0 x 时，()4()H xHx，而0 x，()5Hx，()1H x ()H x在(,0)上的最小值为-1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其
14、实如果仔细观察还可以发现()()af xbg x也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题 过程如下：0 x 时，()H x的最大值为 5，0 x时()()af xbg x的最大值为 3，0 x时()()af xbg x的最小值为-3，0 x时，()H x的最小值为-3+2=-1 举一反三：第 6 页 共 10 页【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a
15、-2b+24=-50+24=-26 法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2)f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出 f(x)+8=x5+ax3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g便能迎刃而解.例 4.已知()f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，2()31f xxx，求()f x的解析式【答案】2231,0,()0,0,31,0.xxxf xxxxx【解析】()f x是定义在 R 上的奇函数，()()fxf x，当0 x 时，0 x，2()(
16、)()3()1f xfxxx =231xx 又奇函数()f x在原点有定义，(0)0f 2231,0,()0,0,31,0.xxxf xxxxx【总结升华】若奇函数()f x在0 x 处有意义，则必有(0)0f，即它的图象必过原点（0，0）举一反三：【变式 1】（1）已知偶函数()f x的定义域是 R，当0 x 时2()31f xxx，求()f x的解析式.（2）已知奇函数()g x的定义域是 R，当0 x 时2()21g xxx，第 7 页 共 10 页 求()g x的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)xxxf xxxx；（2）2221(0)()0021(0)xxxg xxx
17、xx（）例 5.定义域在区间2，2上的偶函数()g x，当 x0 时，()g x是单调递减的，若(1)()gmg m成立，求 m 的取值范围【思路点拨】根据定义域知 1m，m1，2，但是 1m，m 在2，0，0，2的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x的性质：()()(|)fxf xfx，可避免讨论【答案】1 1,)2【解析】由于()g x为偶函数，所以(1)(1)gmg m，()(|)g mg m因为 x0 时，()g x是单调递减的，故|1|(1)()(|1|)(|)|1|2|2mmgmg mgmgmmm，所以222121222mmmmm ，解得112m 故
18、 m 的取值范围是1 1,)2【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将 1m，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致 1m 与 m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，需注意的是不要忘记定义域 类型三、函数奇偶性的综合问题 例 6.已知()yf x是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数2(1)fx的单调递增区间【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】0，1和（，1【解析】()f x是偶函数，且在0，+）上是减函数，()f x在（，0上是增函数 设 u=1x2，则函数2(1)fx是函数(
19、)f u与函数 u=1x2的复合函数 当 0 x1 时，u 是减函数，且 u0，而 u0 时，()f u是减函数，根据复合函数的性质，可得2(1)fx是增函数 当 x1 时，u 是增函数，且 u0，而 u0 时，()f u是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)fx是增函数 第 8 页 共 10 页 同理可得当1x0 或 x1 时，2(1)fx是减函数 所求的递增区间为0，1和（，1【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的
20、这两个性质解题（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错确定 x 的取值范围时，必须考虑相应的 u 的取值范围本例中，x1 时，u 仍是减函数，但此时 u0，不属于()f u的减区间，所以不能取 x1，这是应当特别注意的 例 7.设 a 为实数，函数 f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论 f(x)的奇偶性，并求 f(x)的最小值.【思路点拨】对 a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把 f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当 a=0 时，函数为偶函数；当 a0 时，函数为非奇非偶函数.当minmin1313-()|-;()|;2424af xa af xa时，时，2min11-
21、()|122af xa时，.【解析】当 a=0 时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当xa时，213()()-24f xxa 113()(-)-,224af xafa 时，函数在，上的最小值为 且1f(-)f(a).2 1(),2af xa 时，函数在上单调递增，(),f xa在上的最小值为 f(a)=a2+1.(2)当xa时，2213()-1()24f xxxaxa 1()-,2af xa时，函数在上单调递减，()-f xa在，上的最小值为2()1f aa 1()-2af xa时，在，上的最小值为131()()
22、().242faff a，且 综上：minmin1313-()|-;()|;2424af xa af xa时，时，2min11-()|122af xa时，.举一反三：【变式 1】判断()|()f xxaxaaR的奇偶性 第 9 页 共 10 页【答案】当0a 时，函数()f x既是奇函数，又是偶函数；当0a 时，函数()f x是奇函数【解析】对a进行分类讨论 若0a，则()|0f xxx xR，定义域R关于原点对称，函数()f x既是奇函数，又是偶函数 当0a 时，()|()fxxaxaxaxaf x ，()f x是奇函数 综上，当0a 时，函数()f x既是奇函数，又是偶函数；当0a 时，函
23、数()f x是奇函数 例 8.对于函数()f x，若存在 x0R，使00()f xx成立，则称点（x0，x0）为函数()f x的不动点（1）已知函数2()()(0)f xaxbxb a有不动点（1，1），（3，3），求 a，b 的值；（2）若对于任意的实数 b，函数2()()(0)f xaxbxb a总有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围；（3）若定义在实数集 R 上的奇函数()g x存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略【解析】（1）由已知得 x=1 和 x=3 是方程 ax2+bxb=x 的根，由违达定理11 33baba
24、 a=1，b=3（2）由已知得：ax2+bxb=x（a0）有两个不相等的实数根，1=(b1)2+4ab0 对于任意的实数 b 恒成立 即 b2+(4a2)b+10 对于任意的实数 b 恒成立 也就是函数2()(42)1f bbab的图象与横轴无交点 又二次函数()f b的图象是开口向上的抛物线，从而2=(4a2)240，即|4a2|2，0a1 满足题意的实数 a 的取值范围为（0，1）（3）()g x是 R 上的奇函数，()()gxg x.令 x=0，得(0)(0)gg，(0)0g（0，0）是()g x的一个不动点 第 10 页 共 10 页 设（x0，x0）（x00）是()g x的一个不动点，则00()g xx 又000()()gxg xx ，（x0，x0）也是()g x的一个不动点 又x0 x0，()g x的非零不动点是成对出现的 又（0，0）也是()g x的一个不动点，若()g x存在 n 个不动点，则 n 必为奇数【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题本例的“不动点”实质是关于 x 的方程()f xx的解的问题本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论