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1、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。本科毕业论文（设计、创本科毕业论文（设计、创作）作）题题目：目：概率论在保险中的应用概率论在保险中的应用学生姓名：学生姓名：李大卫李大卫学号：学号：A01214085院（系）：院（系）：数学科学学院数学科学学院专业：专业：数学与应用数学数学与应用数学入学时间：入学时间：二一二年二一二年年年九九月月导师姓名：导师姓名：王敏王敏职称职称/学位：学位：讲师讲师/硕士硕士导师所在单位：导师所在单位：安徽大学数学科学学院安徽大学数学科学学院完成时间：完成时间：二一六二一六年年六六月月概率论在保险中的应用概率论在保险中的应用
2、摘要摘要概率论是研究自然界中随机现象规律的数学方法，随着经济的发展，在实际生活中发挥着越来越广泛的作用。本文主要阐述了概率论中的随机变量、中心极限定理、大数定理等重要结论在保险业中的应用，并举出一些实际案例进1word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。一步研究，重要论述了概率论在寿险中的应用，主从而说明概率统计是保险业中的数理基础。关键词关键词：概率统计 保险中心极限定理大数定律寿险精算A Number of Applications of Probability Theory in insuranceA N
3、umber of Applications of Probability Theory in insuranceProbability theory is an important branch of mathematicaltheories studying the law of random phenomena.It makes people knowthe practical problems clearly and strengths their ability to solvethem in real life.With the development of economy,the
4、theory,which tightly links withpeoples daily life,has beenincreasingly important.This thesis mainly discusse s theapplying of the probability theory in insurance industryespecially the life insurance with practical cases,includingrandom variables,the central-limit theorem and the law of largenumbers
5、,and aims at illustrating that the probability statistics isthe mathematical foundation of the insurance industry.Key words:Key words:probability statistics;the insurance industry;central-limit theorem;law of large numbers;life contingencies1 1引言引言1.11.1 概率论的起源概率论的起源概率是一门研究随机现象的数量规律的科学，它起源于博弈问题。三四百年
6、前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷色子（又名骰子）则是他们常用的一种赌博方式。利用色子赌博的方式可谓形形色色。自然而然，赌徒们最关心的就是：如何在赌博中获胜！2word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。17 世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族公子哥儿德梅尔，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷 24 次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德梅尔问题。随后法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用
7、古典概型解决一些如“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等。到了 18、19 世纪，随着科学文明的发展，人类面临和要解决的问题也越来越多。后来，人们注意到之前为解决赌博问题而提出的那些方法不仅仅可以用在解决赌博问题上，还可以应用于人口统计、误差理论、产品检验和质量控制等。到后来原先的古典概型已不足以解决这诸多领域中了，人们迫切需要新的理论去解决更多的问题。也就在这时期，作为使概率论成为数学的一分支的的奠基人，瑞士数学家伯努利，建立了概率论中第一个极限定理（即伯努利大数定律），阐明了事件发生的频率稳定于它的概率1。1.21.2 概率理论的发展概率理论的发展概率论在 20 世纪再度迅速地发展起来，关键是
8、由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906 年，俄国数学家马尔科夫（Markov）提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934 年，前苏联数学家辛钦（Khinchine）又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。20 世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）1933 年在他的 概率论基础一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系，这是概率论的一部经典性著作。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于域中的每一个事件，都有
9、一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫做该事件的概率。在这里，概率论的定义同样是抽象的，并不涉及频率或其他任何有具体背景的概念。他还提出了 6 条公理，之后的整个概率论大厦都可以从这6 条公理开始建起。科尔莫戈罗夫的公理系也因此逐渐获得了数学家们的普遍承认。科尔莫戈罗夫是 20 世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，3word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。他还是出色的教育家。他多次获得国际大奖，1965 年，他把得到的国际巴桑奖金
10、全数捐赠给学校图书馆，1980 年他荣获沃尔夫奖。概率论的公理化，使其成为了一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。1.31.3 概率论与保险的关系概率论与保险的关系保险业最初起源于海上保险，目的是由多数人分摊海上不测事故，避免损失最大化。而后随着海上保险的发展，带动了整个保险业的繁荣与发展，出现了例如火灾保险、人寿保险等其他形式的保险.保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想，它是以数理计算为依据，即依据概率论原理合理分摊风险，从而使损失最小化。在实际案例中，保险公司需要知道各类意外如火灾，水灾，意外事件等随机事件出现的概率，以确定自己的
11、理赔金额和保险金额。保险经营依据概率论中的大数定律，大数定律主要解决的是在什么条件下一个随机变量序列的算术平均值收敛于所期望的平均值。随机试验中，一次试验出现的结果是随机的，但大量重复试验出现的结果的平均值却呈现一定的规律性和稳定性，几乎总是接近于某个确定的值。在保险案例中，遭受意外伤害是一个随机现象。虽然在观察中，是否出现具有偶然性，但是在大量样本中，遭受意外伤害这种结果出现具有一定的统计规律，保险公司可根据统计结果确定相应保险费，赔偿额度，从而降低改险种亏损的风险，即可根据统计结果估算事件发生的概率分布，得出风险事故的发生概率，这是制定保险费收费标准的依据。因此，当样本数量越多，即同质标的
12、越多，实际损失概率越接近预期结果，保险人可根据此概率保证保险公司不亏损。因此，保险活动就是把分散的不确定性风险集中起来，通过数据统计，预测出大概的不确定以分摊损失，则保险就起到“一人保大家，大家保一人”的作用。通过应用概率论中的基本原理，我们可以找到风险不确定性在大多数中所呈的规律性，而保险学正式利用风险不确定性在大多数群体中的分摊来化解风险，概率论的研究对象正是保险学建立和发展的基础，因此概率论是保险的数理基础。4word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。第二章第二章概率论基本原理与保险概率论基本原理与保险
13、2.12.1随机变量与保险随机变量与保险随机现象是指，在一定条件下并不总是出现相同的结果。而随机变量表示随机现象中各种结果的实值函数。随机变量的概率分布是描述随机变量取值与其相应的概率之间的对应的关系。在保险经营中，一些意外事件如火灾，水灾，意外死亡等的发生都是不确定的，通常情况下为了统计分析事件结果，我们常考虑随机事件的数量标示，即用对应随机变量发生的概率去描述损失发生的可能性。2.22.2数学期望与保险数学期望与保险数学期望是最基本的数字特征之一，它反应随机变量平均取值的大小，又称为期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散性随机变量的数学期望。它是简单数学期望的一种推广，类似加权
14、平均。设为一离散型随机变量，它取值x1,x2,x3，p,p,p,对应的概率为123如果级数xp绝对收敛，则把它称为iii1n的数学期望，记作E.2.2.22.2.2连续性随机变量的数学期望连续性随机变量的数学期望如果随机变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望记为E(x).E(x)f(x)dx.t1由期望定义知，期望是基于概率基础的，是对未来的预期。在实际保险案例中，通过数据统计与分析，我们可用数学期望表示出大量重复随机试验出现结果的均值，保险公司根据此
15、制定相应的保险费，赔偿额度，从而降低风险损失。5word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。t2文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。2.3.3.大数定律与保险大数定律与保险大数定律是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的规律，即当试验次数足够多时，事件发生的概率无穷接近于改事件发生的概率。在实际保险案例中，每个随机事件发生的概率是不确定的，但当投保人数量较多时，同标的事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率。大数定律也是说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消呈现的必然数量规律的一系定理的统称。在保险中，常用到的伯努利大数定律和中心极限定理。2.
16、3.12.3.1伯努利大数定律伯努利大数定律设是n是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，且事件 A 在每次试验中发生n p 1。事件出现的频率无的概率为 P，则对任意正数，有：lim pnn限接近于该事件发生的概率。从而可知，保险经营中，尽管各个风险单位的损失概率可能会有所不同。但投保人足够多时，保险公司可在平均意义上求出相同的损失概率。2.3.22.3.2中心极限定理中心极限定理随机变量1,2,k相互独立，且服从同一分布，其中，E(),D()E(E)2,0，i=1,2，.，当 i 充分大时，有i1kikN(0,1)。由标准正态分布 N（0,1）的密度函数可知，当 k 充分大时，ki1ki
17、在k 附近取值的概率非常大。从而可知，保险经营中，尽管各个风险单位的损失概率可能会有所不同。但投保人足够多时，保险公司可在平均意义上求出相同的损失概率。010006word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。假设某保险公司 10000 个同阶层人参加人寿保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内0.994 0.006一个人死亡概率为 0.006，死亡时，其家属可向保险公司领 1000 元。试问：平均每户支付赔偿金 5.9 元至 6.1 元概率是多少？保险公司亏本概率有多少？设Xi表示保险公司支付给第I户赔偿金，
18、则E(Xi)6.D(Xi)5.964.(i 1,2,10000)Xi相互独立.X=110000（6，0.02442）.Xi，X表示平均对每户赔偿金.有中心极限定理.X 10000i1P5.9 X 6.1(6.165.96)()2(4.09)-1=0.99996.保险公司亏本0.02440.0244也就是 1000120=12（万元）.死亡人数服从分布为Y B.则（10000，0.06）.E(Y)60.D(X)59.64.由中心极限定理.Y 近似服从正态分布N（60，59.04）PY 1001PY 1201(2.77)0.即保险公司亏本的概率几乎为 0.第三章第三章概率论在寿险中的应用概率论在寿
19、险中的应用随着金融领域的发展，概率论在保险中发挥着越来越关键的作用，保险精算应运而生，本文通过举出保险精算中人寿保险的精算现值的一个例子去说明概率论在保险中的深层次应用。3.13.1人寿保险中重要的分布函数人寿保险中重要的分布函数人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定时期内死亡或生存为给付条件，因此被保险人寿命的长短对于保险人来说是非常重要的。分布函数分布函数:如果用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分布函数可以表述为：F(X)Pr(X x),x 0.表示 0 岁的人在x岁前死亡的概率。显然，F(0)0.生存函数生存函数：定义为s(x)Pr(X x),x 0.s(x)称
20、为生存函数，表示 0 岁的人活过x岁的概率。由定义可知生存函数与分布函数存在如下关系：s(x)1 F(x),x 0.显然有s(0)1.7word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。T(x)：因为购买保险的被保险人往往是已经活到某个年龄x岁的人，因此x岁的人剩余寿命Xx的分布更为重要，用(x)表示一个x岁的人，T(x)X x表示(x)未来寿命的随机变量，即剩余寿命，简称为余命。用tqx表示x岁的人在xt以前死亡的概率，则tq=pT(x)t,t 0.用生存函数可表示为xrs(x)s(xt).且用p表示x岁的人在xt
21、岁时仍活着的概率，则qtxtxs(x)tpx1tqx prT(x)t,t 0.1qpxttxs(x t).根据分布函数和生存函数的定义，p和txs(x)T则类似有，tqx分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数。如果用f(t)表示T的概率密s(xt)度函数，则fT(t)FT(t).s(x)K(x)：有时候我们只需要考虑(x)未来能够存活的整年数，用K(x)表示(x)的取整余年。则有，K(x)T(x)，这表示K(x)是不超过T(x)的最大整数。s(x)s(x)死力死力:用X表示死力，由生存函数的相对变化率-来定义，有X-.s(x)s(x)s(x+t)则T(x)的密度函数可以表示为fT(t)-
22、pxttxs(x)3.23.2人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值也称为趸缴纯保费。在实际案例中，应用概率论中重要概念，如分布函数，随机变量，期望，方差，大数定律等建立一系列寿险模型，进而设计不同的人寿保险方案。在这些模型中保险金支付的数量是确定的，给付的时间是不确定的。我们将保险金支付的时间和数量看成只依赖于被保险人死亡的时间，即模型是利用T(x)和K(x)的定义建立的。8word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。我们讨论的是死亡当时立即给付保险金的情况下，各种寿险的精算现值的计算。用x表
23、示投保年龄，bt表示保险金给付函数，vt表示贴现函数，t 为从签单到死亡的时间长度。定义现值函数ztbtvt表示未来保险金给付在签单时的现值。由于保险金的给付是在T(x)这一时刻发生，T(x)是连续性随机变量，未来保险金给付在签单时的现值随机变量ZT可表示为ZTbTvT。在实际的保险案例中，保险人为了平衡未来 T 时刻支付的保险金bT，即需要考虑bT的精算现值，这个现值会因 T 的取值的不同而不同，因此我们只能取其平均值，即数学期望E(ZT)。E(ZT)即称为未来保险金给付在签单时的精算现值，也称为趸缴纯保费，即一次交清的纯保费，他是以预定利率和预定死亡率为基础计算的。终身寿险是指被保险人在保
24、单失效后的任何时刻发生保险责任范围内的死亡，保险人均给付保险金。设（x）投保终身寿险，保险金额为 1 元。bt=1，t 0；vt=vt，t 0；Z bTvT=vT，t 0.用Ax表示其趸缴纯保费，则Ax=E(Z)=zt.fT(t)dt=vttpx.xtdt=00e0ttpx.xtdt.（记v e，其中为利息强度）。3.33.3实际案例分析实际案例分析假设有 100 个相互独立的年龄为x岁的被保险人都投保了保险金额 10 元的终身寿险，随机变量 T 的概率密度是fT(t)et（0.04,t 0）。保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项基金中按利息强度 0.06计息支付。试计算这项基金在最
25、初即（t=0）的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到 95%？令Zj表示第j个被保险人的死亡给付在签单时的现值（j=1,2,则随机变量Z1，Z2，,100）,，Z100相互独立。由于对每个保险人都有bt=10，t 0；Zj10v，T 0，j=1,2,Tvt=v，t 0.vet0.06,100.记Z Zj，则j1100Z是表示这 100 个被保险人的死亡给付在签单或 t=0 时的现值随机变量，对保9word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。险金额为 1 元的终身寿险，死
26、亡时立即给付的趸缴纯保费是Axvttpx.x tdt00.042E(Zj)=10Ax10=4（元）；E(Z2=)10j0.04 0.060.04=25（元）0.04 0.06 22j22Ax=100Var(Zj)=E(Z)-（Zj）E=25-16=9（元）,j=1,2,100100100,100.从 而 有100E(Z)E(Zj)=E（Zj）=400（元）；Var(Z)=Var(Zj)Var（Zj）900j 1i 1j 1i 1（元）；设这项基金在最初时数额至少为h,才能保证p(Zh)0.95 成立，或等价于p(ZE(Z)Z400Z400h400=近似服)0.95，根据中心极限定理，知3030
27、30Var(Z)h4001.645；h400+30 1.645 449.3530从标准正态分布N，所以得（0,1）（元）即这项基金在最初时的数额至少为 449.35 元，比收取的趸缴纯保费总额400 元超出 49.35 元。4 4结束语结束语本文主要论述了概率论相关知识在保险中的应用，尤其重点介绍了在人寿保险中的应用。在实际案例中，保险公司通过对以往数据统计分析，以概率论知识为数理基础，建立相应的保险产品模型，则能降低理赔风险，获得盈利。而概率论在保险中的应用，只是概率论应用的一方面，概率论在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。本文论述的目的在于
28、通过论述概率论在保险中的应用，引起人们关注生活，关注概率知识。学好概率论知识并且能够在生活中得到实际的应用，会让我们更深入地了解问题的本质，同时也会使我们的生活添姿加彩！参考文献参考文献10word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。1 概率论与数理统计M 北京：中国人民大学出版社 19952 保险精算.M 李秀若 傅安平 中国人民大学出版社3 李万军 宋慧敏 讨论保险的数理基础J 河南高等专科学校学报 2006.114 王淑玲 概率论与数理统计在生活中的应用N科技信息 2009、第 21期5 王小建 大数定律
29、的几个应用J河北建筑科技学院学报，2007、86徐文祥 韦俊.概率统计模型在保险中的应用研究M.盐湖工学院.2014致致谢谢值此论文即将完成之际，首先我要特别感谢我的导师王敏老师，王老师在我论文写作过程中给我提供了大量珍贵的研究资料，予以我悉心的指导，解答我的一个又一个疑问，并不断启迪我、拓宽我的思路和视野，在遇到困难时积极鼓励、帮助我克服重重困难，使得这篇文章能够顺利完成。同时也非常感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我很多素材，还在论文的撰写和排版的过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师批评和指正！最后，我也衷心的感谢答辩组各位专家、教授在百忙之中评阅我的论文，谢谢您！、11word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。