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1、初中数学中的折叠问题初中数学中的折叠问题对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解一、
2、矩形中的折叠一、矩形中的折叠1将一长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD 为折痕，折叠后BG 和 BH 在同一条直线上，CBD=度BC、BD 是折痕，所以有ABC=GBC，EBD=HBD则CBD=90折叠前后的对应角相等2如图所示，一矩形纸片沿BC 折叠，顶点 A 落在点 A处，再过点 A折叠使折痕 DEBC，若 AB=4，AC=3，则ADE 的面积是1沿 BC 折叠，顶点落在点 A处，根据对称的性质得到BC 垂直平分 AA，即 AF=AA，2又 DEBC，得到ABC ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形 ADE 的面积=24对称轴垂直平分对应点的连线3如图，矩形
3、纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕DG，求 AG 的长DCA.AGB初中数学中的折叠问题QQ:1519819521由勾股定理可得 BD=5，由对称的性质得ADG ADG，由AD=AD=3，AG=AG，则 AB=5 3=2，在 RtABG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4把矩形纸片ABCD 沿 BE 折叠，使得BA 边与 BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE也与 BC 边重合，展开后如图所示，则DFB 等于（）根据对称的性质得到ABE=CBE
4、，EBF=CBF，据此即可求出FBC 的度数，又知道C=90，根据三角形外角的定义即可求出DFB=112.5注意折叠前后角的对应关系5如图，沿矩形 ABCD 的对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 的位置，已知 BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积E点 C 与点 E 关于直线 BD 对称，1=2ADBC，1=3FD2=3A3FB=FD设 FD=x，则 FB=x，FA=8 x在 RtBAF 中，BA +AF =BF2226 +(8-x)=x解得 x=2542222B1C11 25752所以，阴影部分的面积SFBD=FDAB=6=cm22 44重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6将
5、一矩形纸条 ABCD 按如图所示折叠，若折叠角FEC=64，则1=度；EFG 的形状三角形四边形CDFE与四边形CDFE关于直线EF 对称2=3=64DCA1G4B352C2FDE初中数学中的折叠问题QQ:15198195214=180-2 64=52ADBC1=4=522=5又2=33=5GE=GFEFG 是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF7如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图）；延CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B处，（如图）
6、；展平，得折痕 GC（如图）；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C处，（如图）；沿 GC折叠（如图）；展平，得折痕 GC，GH（如图）（1）求图 中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由1（1）由对称的性质可知：BC=BC，然后在RtBFC 中，求得cosBCF=，利用特殊2角的三角函数值的知识即可求得BCB=60；（2）首先根据题意得：GC 平分BCB，即可求得GCC=60，然后由对称的性质知：GH 是线段 CC的对称轴，可得 GC=GC，即可得GCC是正三角形理清在每一个折叠过程中的变与不变8如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿 EF 折叠，则图中
7、四个三角形的周长之和为四边形 BCFE 与四边形 BCFE 关于直线 EF 对称，则3初中数学中的折叠问题QQ:1519819521这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD 的周长折叠前后对应边相等9如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿着折痕 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 的中点 G 处，求四边形 BCFE 的面积设 AE=x，则 BE=GE=4-x，在 RtAEG 中，根据勾股定理222有：AE +AG =GE即：x +4=(4-x)解得 x=1.5，BE=EG=4 1.5=2.51+2=90，2+3=901=3又A=D=90AEG DGPAEEG1.52.510=，则=，解得
8、GP=DGGP2GP3102=3322PH=GH GP=4-33=4，tan3=tan1=43FH333 21tan4=，=，FH=PH=4PH444 321CF=FH=21 15S梯形 BCFE=(+)4=62 22注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10如图，将一个边长为1 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上不与 A、D 重合MN 为折痕，折叠后 BC与 DN 交于 P(1)连接 BB，那么 BB与 MN 的长度相等吗？为什么？(2)设 BM=y，AB=x，求 y 与 x 的函数关系式；4初中数学中的折叠问题QQ:1519819521(3
9、)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNCB面积最小？并验证你的猜想(1)BB=MN过点 N 作 NHBC 交 AB 于点 H），证ABBHNM(2)MB=MB=y，AM=1 y，AB=x在 RtABB中BB=AB +AB=22ABDMPCN1+x2因为点 B 与点 B关于 MN 对称，所以 BQ=BQ，121+x2BC则 BQ=由BMQBBA 得BMBA=BQBB112221+x 1+x=(1+x)22 y=ABD(3)梯形 MNCB的面积与梯形 MNCB 的面积相等由(1)可知，HM=AB=x，BH=BM HM=y x，则=y-x梯形 MNCB 的面积为：11(y x+y)1=
10、(2y-x)22112=(2(1+x)x)221123=(x-)+22813当 x=时，即 B 点落在 AD 的中点时，梯形 MNCB的面积有最小值，且最小值是285MHBQPCNC初中数学中的折叠问题QQ:1519819521二、纸片中的折叠二、纸片中的折叠11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于（）CD30BaFE21=1，2=1A=22+ABE=180，即 2+30=180，解得=75题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180 度的性质，注意EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形12如图，将一宽为 2cm 的纸条，沿 BC，使C
11、AB=45，则后重合部分的面积为作 CDAB，CEAB，1=2，根据翻折不变性，1=BCA，故2=BCAAB=AC又CAB=45，在 RtADC 中，AC=22，AB=22S1ABCD=222在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形 ABC13将宽 2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作 QHPA，垂足为 H，则 QH=2cm，由平行线的性质，得DPA=PAQ=606初中数学中的折叠问题QQ:1519819521由折叠的性质，得DPA=P
12、AQ，APQ=60，又PAQ=APQ=60，APQ 为等边三角形，在 RtPQH 中，sinHPQ=HQPQ3243=，则 PQ=2PQ3注意掌握折叠前后图形的对应关系在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ14如图 a 是长方形纸带，DEF=20，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图c 中的CFE 的度数是（）AEDAEFB图aFCB图bGCDB图cGFAEDCADBC，DEF=EFB=20，在图 b 中，GE=GF，GFC=180-2EFG=140，在图 c 中CFE=GFC-EFG=120，本题考查图
13、形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变由题意知DEF=EFB=20图 bGFC=140，图 c 中的CFE=GFC-EFG15将一长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽 AB 是（）CDFGA60cmEFE7DCBAB初中数学中的折叠问题QQ:1519819521设 AB=xcm右图中，AF=CE=35，EF=x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）则有 2（35-x）+x=60，x=1016一根 30cm、宽 3
14、cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，下底等于纸条宽的 2 倍，即 6cm，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的 2 倍，即 6cm，故超出点 P 的长度为（30-15）2=7.5，AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠三、三角形中的折叠17如图，把 RtABC（C=90），使 A，B 两点重合，得到折痕ED，再沿 BE 折叠，C 点恰好与 D 点重合，则 CE：AE=8初中数学中的折叠问题QQ
15、:151981952118在ABC 中，已知 AB=2a，A=30，CD 是 AB 边的中线，若将ABC 沿 CD 对折起来，1折叠后两个小ACD 与BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的 4（1）当中线 CD 等于 a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD 等于 a”的限制条件下）：AC 边的长可以等于 a；折叠前32的ABC 的面积可以等于a；折叠后，以 A、B 为端点的线段 AB 与中线 CD 平行且相2等其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）1(1)CD=AB2ACB=90AB=2a，BC=a，AC=132SABC=ACBC
16、=a22重叠部分的面积为：(2)若 AC=a，如右图AD=a，2=180-30=7521E3CBC3aABD3232a=a28BDC=180-75=105BDC=1053=105-75=301=3ACBD四边形 ABDC 是平行四边形1重叠部分CDE 的面积等于的面积的4若折叠前ABC 的面积等于32a2A2DBB过点 C 作 CHAB 于点 H，则132ABCH=a229初中数学中的折叠问题QQ:15198195213CH=a2CH又 tan1=AH3AH=a21BH=a2CH，得B=60BHAB242E1D3HBC则 tanB=CBD 是等边三角形2=43=4，ADCB2又 CB2=BC=
17、BD=a，CB2=AD四边形 ADCB2是平行四边形1则重叠部分CDE 的面积是ABC 面积的4B3C2(3)如右图，由对称的性质得，3=4，DA=DB31=231又3+4=1+24A4=1DAB3CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19在ABC 中，已知A=80，C=30，现把CDE 沿 DE 进行不同的折叠得CDE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB，则求1+2 的和；（2）如图（2）把CDE 沿 DE 折叠覆盖A，则求1+2 的和；（3）如图（3）把CDE 沿 DE 斜向上折叠，探
18、求1、2、C 的关系B10初中数学中的折叠问题QQ:1519819521（1）根据折叠前后的图象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根据三角形角和定理比可求出答案；（2）连接 DG，将ADG+AGD 作为一个整体，根据三角形角和定理来求；（3）将2 看作 180-2CED，1 看作 2CDE-180，再根据三角形角和定理来求解：（1）如图(1)1+2=180-2CDE+180-2CEDA=360-2（CDE+CED）=360-2（180-C）=2C1CD=60；（2）如图(2)C2E图(1)B连接 DG，1+2=180-C-（ADG+AGD）=180-30-（180-80）
19、=50；（3）如图(3)2-1=180-2CED-（2CDE-180）=360-2（CDE+CED）=360-2（180-C）=2C所以：2-1=2C由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形CA2GD1C图(2)EBCADC12图(3)EB11初中数学中的折叠问题QQ:151981952120观察与发现：将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图）小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明
20、理由实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为BE（如图）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在 BE 上的点 D处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小在第一次折叠中可得到EAD=FAD在第二次折叠中可得到 EF 是 AD 的垂直平分线，则 ADEFAEF=AFEAEF 是等腰三角形(1)由折叠可知AEB=FEB，DEG=BEG而BEG=45+因为AEB+BEG+DEG=180所以 45+2（45+）=180=22.5由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图
21、形之间的对应关系(2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF，折痕与 AD 边交于点 E，与 BC边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A、点 D 都与点 F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图），求MNF 的大小由题意得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，NF=PF，而由题意得出：MP=MN，12初中数学中的折叠问题QQ:1519819521又 MF=MF，MNFMPF，PMF=NMF，而PMF+NMF+MNF=180，即 3MNF=180，MNF=60，在矩形中的折叠问题，通
22、常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21直角三角形纸片ABC 中，ACB=90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、点 F探究：如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形，那么纸片中B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形CDF 中，C=90，且CDF 是等腰三角形，CF=CD，CFD=CDF=45，设DAE=x，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，1FDA=CFD=22.5，DEB=2x，2分类如下：当 DE=DB 时，B=DEB=2x，由CDE=DEB+
23、B，得 45+22.5+x=4x，解得：x=22.5此时B=2x=45；见图形（1），说明：图中 AD 应平分CAB当 BD=BE 时，则B=（180-4x），由CDE=DEB+B 得：45+22.5+x=2x+180-4x，解得 x=37.5，此时B=（180-4x）=30图形（2）说明：CAB=60，CAD=22.5180-2xDE=BE 时，则B=2180-2x由CDE=DEB+B 的，45+22.5+x=2x+2此方程无解13初中数学中的折叠问题QQ:1519819521DE=BE 不成立综上所述B=45或 30先确定CDF 是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因为不确定BDE 是
24、以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB，BD=BE，DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可22下列图案给出了折叠一个直角边长为2 的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图 2，折痕 CD 交 AB 于点 D；打开后，过点 D 任意折叠，使折痕DE 交 BC 于点 E，如图 3；打开后，如图4；再沿 AE 折叠，如图5；打开后，折痕如图6则折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是（）过 D 点作 DFBC，交 AC 于 F，作 A 点关于 BC 的对称点 A，连接 DA，则 DA就是 DE 和 AE 的最小值D 点是 AB 的中点，DF=1，FC=1，FA=3DA=1
25、 +3=2210折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是10本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章 wenku.baidu./view/f6a6b4dda58da0116c174995.html23小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠 1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图3），则图3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1 折叠 n 次后所得到（如图 n+1）一条腰长为多少？14初中数学中的折叠问题QQ:1519819521解：每次折叠后，腰长为原来的22221）-22故第 2 次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（
26、则小华连续将图 1 的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（2n）2本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的24如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10第一次将纸片折叠，使点B 与点 D 重合，折痕与 BD 交于点 O1；O1D 的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点B 与点 D1重合，折痕与 BD交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点B 与点 D2重合，折痕与 BD 交于点O3，按上述方法，第n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On，则 BO1=，BOn=第一次折
27、叠时，点 O1是 BD 的中点，则 BO1=DO1第二次折叠时，点 O2是 BD1的中点，则 BO2=D1O2第三次折叠时，点 O3是 BD2的中点，则 BO3=D2O3因为 AB=6，BC=10，所以 BD=4第一次折叠后，有 BO1=DO1BO1=2第二次折叠后，有 BO2=D1O2BO1BD-23BD-DD1BO2=22215初中数学中的折叠问题QQ:1519819521第三次折叠后，有 BO3=D2O3BO2BD1-29BD1-D1D2BO3=22833即当 n=1 时，BO1=2=-1=12-322333当 n=2 时，BO2=1=22-3222933当 n=3 时，BO3=3=32
28、-38223则第 n 次折叠后，BOn=2n-32问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与AD 交于点 P1；设P1D 的中点为 D1，第2 次将纸片折叠，使点A与点 D1重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点A 与点D2重合，折痕与 AD 交于点 P3；设 Pn-1Dn-
29、2的中点为 Dn-1，第 n 次纸片折叠，使 A 与点 Dn-1-重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n2），则 AP6长（）n-123-102-101-15AD=2第一次折叠后，AP1=P1D，P1D1=D1DAP1=AD5=24第二次折叠后，AP2=P2D1，P2D2=D2D116初中数学中的折叠问题QQ:1519819521AP1AD-215AD1AD-DD1AP2=22216第三次折叠后，AP3=P3D2AP21515AD1-283245AD2AD1-D1D2AP3=2222645 3 5即当 n=1 时，AP1=24215 3 5当 n=2 时，AP2=416245 3 5当 n=3
30、时，AP3=66423n-1210则第 n 次折叠后，APn=552n23 5故 AP6=122此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力26阅读理解如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点Bn与点 C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC 的平分线 AB
31、1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合探究发现（1）ABC 中，B=2C，经过两次，BAC 是不是ABC 的好角？（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究B 与C（不妨设BC）之间的等量关系根据以上容猜想：若经过n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C（不妨设BC）之间的等量关系为B=nC应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105，发现 60和 105的两个角都是此三角形的好角17初中数学中的折
32、叠问题QQ:1519819521请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角AA1A2设另外两个角是 4x，4y，则4x+4y+4=180AnC4x=4ya(a 是正整数)44所以 y=a+1BB1B2B3BnBn+1图1因为 x，y，a，都是正整数，则 a 的值应为：1、3、10、21、43当 a=1 时，x=y=22，4x=4y=88当 a=3 时，y=11，x=33，4x=1324y=44当 a=10 时，y=4，x=40，4x=1604y=16当 a=21 时，y=2，x=42，4x=1684y=8当 a=43 时，y=1，x
33、=43，4x=1724y=4AAA1BDCB图2图3B1B2C注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培养归纳总结能力27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形（1）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中画图说明）18初中数学中的折叠问题QQ:1519819521（2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明（要求：画图应体现折叠过程，用虚线表示折痕
34、，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）解：（1）折叠方法如图所示（2）不能四边形至少应具备的条件是：“对角线互相垂直”折叠方法如图所示折叠即对称628如图，双曲线y=（x0）经过四边形OABC 的顶点 A、C，ABC=90，OC 平分 OA 与 xx轴正半轴的夹角，ABx 轴，将ABC 沿 AC 翻折后得到ABC，B点落在 OA 上，则四边形OABC 的面积是多少？6设 C(m，)m根据对称的性质有：CD=CB=CB12m12所以 B(m，)，A(，)，D(m，0)m2mm126AB=，BD=，CD=，OD=m2mm则四边形 OABC 的面积为：11(AB+OD)BD-ODCD221
35、m1216=(+m)-m22m2m=6明白折叠中的对应边就行19OBCyABxD初中数学中的折叠问题QQ:151981952129已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D（1）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标；（2）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B，设 OB=x，OC=y，试写出 y 关于 x 的函数解析式，并确定 y 的取值围；（3）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B，且使 BDOB，求此时点 C 的坐标y(1)AB=4+16=25B
36、BCDBAD，BCBO=BDBABC4=5525，BC=2DCxOA533OC=OB BC=4-=，则 C(0，)222(2)如右图，BC=BCBC=BC=OB OC=4 y在 RtOBC 中222根据勾股定理有：y +x =(4-y)12所以 y=-x+28 当 0 x 2 时，抛物线的值随 x 的增大而减小当 x=0 时，y=23当 x=2 时，y=23 y 22(3)如右图由 DBOB 得，2=3由对称性质得，1=22=3，则 C BBAO BCOABOC=2OB设 O B=m，则 OC=2myBCDOBAxyB1DC32OBA20 x初中数学中的折叠问题QQ:151981952112所
37、以 2m=-m+28解得 m=-8 45，m 0，m=-8+45则点 C 的坐标为（0，85-16）折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠四、圆中的折叠30如图，正方形ABCD 的边长为 2，O 的直径为 AD，将正方形的BC 边沿 EC 折叠，点B落在圆上的 F 点，求 BE 的长连接 OC、OF，则OCFOCD(SSS)，OFC=ODC=90，所以OFE=180，即点 O、F、E 在一条直线上设 BE=x，则 EF=x，AE=2 x，OE=1+x在 RtAEO 中，AE +AO =OE22所以(2-x)+1=(1+x)2解得：x=3用对称关系构造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠
38、问题中求线段长度的常用方法31如图，将半径为 8 的O 沿 AB 折叠，弧 AB 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D，则折痕 AB 长为（）CCDDOOABABE21222初中数学中的折叠问题QQ:1519819521解：延长 CO 交 AB 于 E 点，连接 OB，CEAB，E 为 AB 的中点，由题意可得 CD=4，OD=4，OB=8，1DE=(82-4)=62OE=6-4=2，在 RtOEB 中，根据勾股定理可得：AB=415注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解32如图，将弧 BC 沿弦 BC 折叠交直径 AB 于点 D，若 AD=5，DB=7，则 BC 的长是多少？
39、连接 CA、CD；根据对称的性质，得：弧CB=弧 BDCCAB=CBD+BCD；CDA=CBD+BCD，CAD=CDA，即CAD 是等腰三角形；过 C 作 CEAB 于 E，则 AE=DE=2.5；BE=BD+DE=9.5；在 RtACB 中，CEAB，ABCCBE，得：2BC=BEAB=9.512=114；故 BC=此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出CAD 是等腰三角形，是解答此题的关键33已知如图：O 的半径为 8cm，把弧 AmB 沿 AB 折叠使弧 AmB 经过圆心 O，再把弧 AOB沿 CD 折叠，使弧 COD 经过 AB 的中点 E，则折线 CD 的长为（47）11422初中数学中的折叠问题QQ:1519819521作 CD 关于 CD的对称线段 CD，连接 OE 并延长交 CD 于点 F，交 CD于点 F，交弧 AmB 于点 G，根据对称的性质得出OF=6，再由勾股定理得出 CF2723=