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1、-.z.*省实验中学 2017 届高三第一次诊断性考试 数学试题(文科)20169 说明：试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷为第 1 页至第 2 页，第II 卷为第 3 页至第 5 页试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟 第 I 卷 (共 50 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分每小题只有一个选项符合题意)(1)设集合241Axx，ln,Bxx 则AB(A)1 1,2 2 (B)10,2 (C)1,12 (D)10,2(2)己知复数21izi，其
2、中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面上所对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3)己知命题 p：“000,32xx”，则p是(A)000,32xx (B)0,32xx (C)0,32xx (D)0,32xx (4)向量1,1,1,0,ab 若 2abab，则=(A)2 (B)2 (C)3 (D)3(5)若变量,x y满足0,1,0.xyxyy则2zxy的最大值为(A)0 (B)1 (C)32 (D)2(6)执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 n 值为(A)3 (B)4(C)5 (D)6(7)已知定义在 R 上的函数 f x满足 f
3、xf x，3fxf x，则2019f(A)3 (B)0-.z.(C)1 (D)3(8)函数 sin6fxx的图象同左平移3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，则所得图象的一条对称轴方程为(A)3x (B)4x (C)4x (D)2x (9)已知直线:20l kxykR是圆22:6290C xyxy的对称轴，过点0,Ak作圆 C 的一条切线，切点为 B，则线段 AB 的长为(A)2 (B)2 2 (C)3 (D)2 3(10)己知函数 2ln xxbf xbRx.若存在1,22x，使得 f xx fx ，则实数b的取值*围是(A),2 (B)3,2 (C)9,4 (D),3 第 II
4、 卷(非选择题，共 100 分)二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分)(11)已知函数 5log,0,2,0 xx xf xx则125ff_(12)在区间1,2上任取一个数*，则事件“112x”发生的概率为_.(13)己知120,0,24mnmnmn，则的最小值为_(14)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为 36，点 E，F 分别为棱11,B B C C上的点(异于端点)，且 EF/BC，则四棱锥1AAEFD的体积为_(15)已知双曲线2222:1xyCab的左、右焦点分别是12,F F，正三角形 AF1F2的一边 AF1与双曲线左支交于点 B，且114A
5、FBF，则双曲线 C 的离心率为_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(16)(本小题满分 12 分)-.z.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知1cos23A，3,sin6sincAC (I)求 a 的值；(II)若角 A 为锐角，求b的值及ABC的面积(17)(本小题满分 12 分)*汽车公司为了考查*4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为 10 分上个月公司对该 4S 店的 100 位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下
6、几组：第一组0，2)，第二组2，4)，第三组4，6)，第四组6，8)，第五组8，10，得到频率分布直方图如图所示(I)求所打分值在6，10的客户的人数：(II)该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查，之后将从这6 人中随机抽取 2 人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率(18)(本小题满分 12 分)已知等差数列 na的公差 d=2，前 n 项的和为nS等比数列 nb满足11ba，24313,ba ba.(I)求,nna b及数列 nb的前 n 项和nB；(II)记数列1nS的前 n 项和为nT，求nT.(19)(本小题满分 12 分)在四棱锥 ABCDE
7、 中，底面 BCDE 为菱形，侧面 ABE 为等边三角形，且侧面ABE 底面BCDE，O，F 分别为 BE，DE 的中点(I)求证：AOCD；(II)求证：平面 AOF平面 ACE(20)(本小题满分 13 分)已 知 函 数 lnmxf xx，曲 线 yf x在 点 22,ef e处的切线与直线20 xy垂直(其中 e 为自然对数的底数)(I)求 f x的解析式及单调递减区间：(II)是否存在常数 k，使得对于定义域内的任意*，2lnkf xxx恒成立，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由(21)(本小题满分 14 分)已知椭圆2222:10 xyCabab的一个焦点与抛物线24yx
8、的焦点相同，12,F F为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，12MF F面积的最大值为 1.-.z.(I)求椭圆 C 的方程；(II)直线:0l ykxm m交椭圆 C 于 A，B 两点(i)若直线22AFBF与的斜率分别为1212,0k kkk且，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标；(ii)若直线 l 的斜率是直线 OA，OB 斜率的等比中项，求AOB 面积的取值*围*省实验中学 2017 届高三第一次诊断性考试 数学（文科）答案 1-10 DBBCCCBDDC 11-15 1413 2 12 13+13（16）解：()在ABC中，因为3,sin6 sincAC，由正弦定理si
9、nsinacAC，解得3 2a 4 分()因为21cos22cos13AA ，又02A，所以3cos3A，6sin3A 由余弦定理2222cosabcbcA，得22150bb.解得5b或3b（舍）.15 2sin22ABCSbcA.12 分（17）解：()由直方图知，所打分值在6,10的频率为0.1752+0.1502=0.65 所以所打分值在6,10的客户的人数 为0.65 100=65 人.4 分()由直方图知，第二、三组客户人数分别为 10 人和 20 人，所以抽出的 6 人中，第二组有2 人，设为 A，B；第三组有 4 人，设为 a,b,c,d 从中随机抽取 2 人的所有情况如下：AB
10、，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd 共 15 种 8 分 其中，两人来自不同组的情况有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共有8种，10分-.z.所以，得到奖励的人来自不同组的概率为15812 分（18）解：（）因为等差数列na的公差2d，由题知：221 3bbb，所以2111(24)(6)a aa，解之得13a 得3(1)221nann，设等比数列nb的公比为q，则24113baqba，所以=3.nnb 于是3(13)3(31)132nnnS6 分（）由（）得(2)nSn n，所以111 11()(2)22nSn nnn 因此11
11、1111111111(1)()()()()()23243546112nTnnnn 1111323(1)221242(1)(2)nnnnn12 分（19）证明：（）因为ABE为等边三角形，O为BE的中点，所以AOBE 又因为平面ABE 平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE，AO平面ABE，所以AO 平面BCDE 又因为CD 平面BCDE，所以AOCD6 分（）连结BD，因为四边形BCDE为菱形，所以CEBD 因为,O F分别为,BE DE的中点，所以/OFBD，所以CEOF 由（）可知，AO 平面BCDE 因为CE 平面BCDE，所以AOCE.因为AOOFO，所以CE 平面AOF 又因为CE
12、 平面ACE，所以平面AOF 平面ACE12 分-.z.（20）解：（）函数 f x的定义域为 0,11+，.2)(ln)1(ln)(xxmxf，又由题意有：21()42mfe，所以2m，故xxxfln2)(.此时，2)(ln)1(ln2)(xxxf，由100)(xxf或ex 1，所以函数)(xf的单调减区间为)1,0(和),1(e.5 分（）要xxkxf2ln)(恒成立，即xxxxkxxkxx2ln2ln2lnln2.当)1,0(x时，0lnx，则要：xxxkln22恒成立，令 22lng xxxx，则 2ln2xxgxx 令 2ln2h xxx，则 10 xh xx 所以)(xh在)1,0
13、(内递减，所以当)1,0(x时，0)1()(hxh，故0)()(xxhxg，所以)(xg在)1,0(内递增，()(1)2gxg.故2k.当),1(x时，0lnx，则要：xxxkln22恒成立，由可知，当),1(x时，0)(xh，所以)(xh在),1(内递增，所以当),1(x时，0)1()(hxh，故0)()(xxhxg，所以)(xg在),1(内递增，()(1)2gxg.故2k.综合可得：2k，即存在常数2k满足题意.13 分（21）解：（）由抛物线的方程24yx得其焦点为1,0，所以的椭圆中1c，当点M为椭圆的短轴端点时，12MFF面积最大，此时1212Sc b，所以1b ，1F，2F为椭圆的
14、左、右焦点.M为椭圆上任意一点，12MFF面积的最大值为1 所以椭圆的方程为2212xy4 分-.z.（）联立2212xyykxm得2221+24220kxkmxm 2222=164 2122k mkm228 210km，得2212km（*）设 1122,A x yB x y则1224,12kmxxk 21222212mx xk，（i）1111111ykxmkxx，2222211ykxmkxx，由1+k2=0k，得11+1kxmx22=01kxmx,所以1 2122+20kx xmkxxm，即2222242201212mkmkmkmkk，得2mk.故直线l的方程为2yk x，因此直线l恒过定点，该定点坐标为2,0 9 分（ii）因直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项，所以2OAOBkkk，即21212y ykx x.得21212()()kxm kxmkx x，得2120km xxm，所以22224012k mmk，又0m，所以212k，代入（*），得202m.2121ABkxx2=3 2m.设 点O到 直 线AB的 距 离 为d，则2231mmdk，所 以22222221122223 2=22222223AOBmmmSAB dmmm当且仅当222mm，即210,2m 时，AOB面积取到最大值22.-.z.故AOB面积的取值*围为202，.14 分