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1、一、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。例：等差数列12 nan，1nnaa 题型二、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，0d 为常数列，0d 为递减数列。na中，12497116aaaa，则，等于（）A15 B30 C31 D64 2.na是首项11a，公差3d 的等差数列，如果2005na，则序号等于（A）667 （B）668 （C）
2、669 （D）670 12,12nbnann，则为为（填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中2abA，成等差数列2abA 即：212nnnaaa （mnmnnaaa2）例：1设 na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）A120 B105C D na是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（）题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列 na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列 na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数
3、列；（3）在等差数列 na中，对任意，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列 na中，若，qN且mnpq，则mnpqaaaa；题型五、等差数列的前和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSn na是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 是等差数列 na的前 n 项和，已知23a，611a，则等于()A13 B35 C49 D 63 na数列是等差数列，1010a，其前 10 项
4、的和7010S，则其公差等于()3132BA C.31 D.32 na中，1910aa，则的值为（）（A）5 （B）6 （C）8 （D）10 5.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）na的前项和为，若118521221aaaaS，则 na的前项和为，若535aa则95SS 8.设等差数列 na的前项和为，若972S,则249aaa=na的前 n 项和为,若6312as,则na 10已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.，则bn=11设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，T
5、n为数列nSn的前n项和，求Tn。na的前项和记为，已知50302010aa，求通项；若=242，求 na中，（1）已知812148,168,SSad求 和；（2）已知658810,5,aSaS求 和；(3)已知3151740,aaS求 题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有项，则偶奇nd；1nnSaSa奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n项，则奇偶naa中；1SnSn奇偶。题型七.对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3
6、项的和为。3已知等差数列 na的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 为等差数列 na的前项和，971043014SSSS，则，=5设Sn是等差数列an的前n项和，若36SS13，则612SS A310B13C18D19 题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1 na是等差数列 中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列 通项公式法：),(为常数bkbknan na是等差数列 前项和公式法：),(2为常数BABnAnSn na是等差数列 na满足21nnaa，则数列na为（）na的通项为52 nan，则数列na为（
7、）na的前 n 项和422nsn，则数列na为（）na的前 n 项和22nsn，则数列na为（）na满足0212nnnaaa，则数列na为（）6设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 7.数列 na满足=8，022124nnnaaaa，且（Nn）求数列 na的通项公式；题型九.数列最值（1）10a，0d 时，有最大值；10a，0d 时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出 na中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（nN）可如下确定100
8、nnaa或100nnaa。1.设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 2等差数列 na中，12910SSa，则前项的和最大。3已知数列 na的通项9998nn（Nn），则数列 na的前 30 项中最大项和最小项分别是 4设等差数列 na的前项和为，已知 001213123SSa，求出公差的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。na是等差数列，其中131a，公差8d 。（1）数列na从哪一项开始小于 0？（2）求数列na前项和的最大值，并求出对应的值 n
9、a是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列na前项和的最大值 na中，125a，179SS，求的最大值 题型十.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 1.设数列na的前 n 项和2nSn，则的值为（）（A）15 (B)16 (C)49 （D）64 2已知数列 na的前项和，142nnSn则 3.数列na的前项和21nSn（1）试写出数列的前 5 项；（2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数列na的通项公式吗？na中，31a前和1)1)(1(21nnanS 求证：数列 na是等差数列 求数列 na的通项公式 等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项
10、起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示(0)q，即：(0)naq q。一、递推关系与通项公式 111q nn mnnnnmaaaaqaaq递推关系：通项公式：推广：1.等比数列an中，a28，a164，则公比 q 为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 na中，首项13a，前三项和为 21，则345aaa（）A 33 B 72 C 84 D 189 3.在等比数列 na中,2,41qa，则na 4.在等比数列 na中,3712,2aq,则19_.a 5.在等比数列 na中，22a，545a，则=二、等比中项：若
11、三个数cba,成等比数列，则称为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.1.23和23的等比中项为()()1A()1B ()1C ()2D na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前项和=（）A2744nn B2533nn C2324nn D2nn 三、等比数列的基本性质，1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列 na是各项不为零的常数列.1在等比数列 na中,
12、和是方程22510 xx 的两个根,则47aa()5()2A 2()2B1()2C 1()2D na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则（）A12 B10 C8 D2+3log 5 3.已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa（）A.(21)nnB.2(1)n C.D.2(1)n 4.在等比数列 na，已知51a，100109aa，则=5.在等比数列 na中，143613233nnaaaaaa，求若nnnTaaaT求,lglglg21 四、等比数列的前 n 项和，)
13、1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 例：1设4710310()22222()nf nnN，则()f n等于（）A2(81)7n B12(81)7nC32(81)7nD42(81)7n 2.已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前 n 项和nS 3.已知等比数列na的首相51a，公比21q，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项和nS 4设等比数列na的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为.5.设等比数列na的前 n 项和为，已,62a30631 aa，求和 6设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数
14、列的公比q；五.等比数列的前 n 项和的性质 若数列是等比数列，是其前 n 项的和，*Nk，那么，kkSS2，kkSS23成等比数列.1 设等比数列 的前 n 项和为，若 63SS=3，则 69SS=()A.2 B.73 C.83 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为（）A83 B108 C75 D63 na是等比数列，且mmmSSS323010，则，4.等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann 1 na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaa na为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。na的通项为nna2，则数列na为（）na满足)0(221nnnnaaaa，则数列na为（）na的前 n 项和1n22ns，则数列na为（）5.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 na的首项15,a 前项和为，且*15()nnSSnnN，证明数列1na 是等比数列