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1、一、立体几何知识点归纳一、立体几何知识点归纳第一章第一章 空间几何体空间几何体一空间几何体的构造特征1多面体由假设干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。2柱，锥，台，球的构造特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成ED的几何体叫做棱柱。FC侧面侧面AB棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱的关系：底面底面l斜棱柱底面是正多形棱柱棱垂直于底面正棱柱直棱柱其他棱柱侧棱
2、侧棱EFABDC四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.31.3 棱柱的性质：棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.41.4 长方体的性质：长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的D12图】AC12 AB2 AD2 AA1C1平方和；【如A1DB1CB棱所成的角了解长方体的一条对角线AC1与过顶点 A 的三条分 别 是，那 么cos2coscos1，22Asin2
3、sin2sin2 2；了解长方体的一条对角线AC1与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是，那么，sin2sin2sin21 cos2cos2cos2 2.：正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.61.6 面积、体积公式：面积、体积公式：S直棱柱侧chS直棱柱全ch2S底，V棱柱 S底hA其中 c 为底面周长，h 为棱柱的高以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.22.2 圆柱的性质：圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是OBC轴轴轴截面轴截面侧面侧面底面底面旋 转 而 形 成等圆；过轴的母线母线页脚下载后可删除
4、，如有侵权请告知删除！ABOC截面轴截面是全等的矩形.2.32.3 侧面展开图：侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.、体积公式、体积公式：S S圆柱侧圆柱侧=2rh；S圆柱全=2rh 2r，V圆柱=S底h=r h其中 r 为底面半径，h 为圆柱高有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点S侧面侧面顶点顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。高高正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，侧棱侧棱并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.23.2 棱锥的性质：棱锥的性质：底面底面斜高斜高平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似DCOH比等于顶点到截
5、面的距离与顶点到底面 的 距 离 之AB比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。如上图：SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形3.33.3 侧面展开图：侧面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。面积、体积公式：面积、体积公式：S正棱锥侧=22111ch，S正棱锥全=ch S底，V棱锥=S底h.其中 c 为底面周长，h侧面斜高，223h 棱锥的高以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.24.2 圆锥
6、的性质：圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；S顶点顶点轴截面是等腰三角形；如右图：SAB如右图：l h r.4.34.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，半径的扇形。4.44.4 面积、体积公式：面积、体积公式：222母线母线l lAr rh h轴截面轴截面O轴轴侧面侧面以母线长为12S圆锥侧=rl，S圆锥全=r(r l)，V圆锥=r h其中3r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把间的局部称为棱台.5.25.2 正棱台的性质：正棱台的性质：各侧棱相等
7、，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 如右图：四边形OMNO,OBBO都是直角梯 棱 台 经 常 补 成 棱 锥 研 究.如 右 图：SOM与 SO N,SO B与 SO B相似，注意考5.35.3 棱台的外表积、棱台的外表积、体积公式：体积公式：S全S上底S下底S轴轴母线母线B底面底面S截面与底面之上底面上底面高高A下底面下底面顶点顶点ADOBCM侧棱侧棱侧面侧面斜高斜高CNSDOB正多边形；形虑相似比.Ar rOh h轴截面轴截面O上底面上底面D侧面侧面侧，l l页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！BR RC下底面下底面1其中S,S是上，下底面面积，h 为棱
8、台的高V棱台（S SS S)h，3用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的局部叫做圆台.6.26.2 圆台的性质：圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图：SOA与 SOB相似，注意相似比的应用.6.36.3 圆台的侧面展开图是一个扇环；圆台的侧面展开图是一个扇环；6.46.4 圆台的外表积、体积公式：圆台的外表积、体积公式：S全r2R2(R r)l，V V圆台圆台（S SS S)h（r2rRR2)h，其中 r，R 为上下底面半径，h 为高以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，
9、与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.27.2 球的性质：球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；r 1313R2d2其中，球心到截面的距离为d、球心球心球面球面轴轴半径半径OR RA为圆的问题解决.球 的 半方体，球注：球的有 关 问题 转 化径为 R、截面的半径为 r7.37.3 球与多面体的组合体：球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长与正方体等的内接与外切.DAOBOCACr rd dO1BDABCAc7.47.4 球面积、体积公式：球面积、体积公式：S球 4R,V球为球的半径例：06 年福建卷正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为243R
10、其中 R332，那么正方体的棱长为_3二空间几何体的三视图与直观图二空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：1俯视图画在正视图的下方，“长度与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度与正视图相等，“宽度与俯视图。简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽.2正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3
11、.直观图：是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.23.2 斜二测法：斜二测法：step1：在图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取xoy 90；页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！step2：画直观图时，把它画成对应的轴ox,oy，取xoy 45(or135)，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系xoy中画直观图时，图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴或在 x 轴上的线段保持长度不变，平行于y 轴或在 y 轴上的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的结论：一般地，采用斜二测法作
12、出的直观图面积是原平面图形面积的2倍倍.4解决两种常见的题型时应注意：1由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图.2由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系（一）（一）平面的根本性质平面的根本性质无限延展，无边界无限延展，无边界公理公理 1 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：公理公理 2 2：不共线：不共线的三点确定一个平面.图形语言：图形语言：推论推论 1 1：直线与直线外的一点确
13、定一个平面.图形语言：图形语言：推论推论 2 2：两条相交直线确定一个平面.图形语言：图形语言：推论推论 3 3：两条平行直线确定一个平面.图形语言：图形语言：用途：用于确定平面。公理公理 3 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 两个平面的交线.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：形语言，文字语言，符号语言的转化：页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！二空间图形的位置关系二空间图形的位置关系共面:ab=A,a/b间直线的位置关系：间直线的位置关系：异面:a与b异面1.1 平行
14、线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：a/b,b/c a/c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补相等或互补。1.3 异面直线：1定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；2判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。Pa图形语言：图形语言：APA符号语言：符号语言：PA与a异面a Aa1.4 异面直线所成的角：1范围：0,90；2作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点 O，过 O 作a/a,b/b，那么a,b所 成 的aab bO经常把一条异面经常把一条异面上，形成异面直上，
15、形成异面直角为异面直线a,b所成的角。特别地，特别地，找异面直线所成的角时，找异面直线所成的角时，直线平移到另一条异面直线的特殊点如线段中点，端点等直线平移到另一条异面直线的特殊点如线段中点，端点等线所成的角线所成的角.l 2.2.直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：l Al l/图形语言：图形语言：平行：/3.3.平面与平面的位置关系：平面与平面的位置关系：斜交：=a相交垂直：页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！三平行关系包括线面平行，面面平行三平行关系包括线面平行，面面平行1.1.线面平行：线面平行：定义：直线与平面无公共点.a/b 判定定理：a a/线线平行线面平行【如图】b
16、性质定理：a【如图】a/b线面平行线线平行 b判定或证明线面平行的依据：i定义法反证定义法反证：la/l/用于判断；ii ii判定定理：判定定理：a/b/a a/“线线平行“线线平行面面平行用于证明面面平行用于证明；iiiiii a/“面面平行“面面平行线面平行线面平行a b b a 用于证明用于证明；4b a/用于判断；a 2.2.线面斜交：线面斜交：l AP么平面的斜线是 PA 在平面面所成的角直线与平面所成的角简称线面角：假设直线与平面斜交，那与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】【如图】PO 于 O，那么 AO内的射影，那么PAO就是直线 PA与平面所成的角。范围：0,90，注：假设l
17、或l/，那么直线l与平为0；假设l，那么直线l与平面所成的角为90。3.3.面面平行：面面平行：定义：A O /；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a,b,aO Oa a b O,a/,b/【如以下图】【如以下图】O Oa a O Oa a b bb bbb图图图推论：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：a,b,ab O,a,b,a/a,b/b/【如上图】判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a,a/.【如右图】判定与证明面面平行的依据：1定义法；2判定定理判定
18、2 a a及推论常用 3页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！/面面平行的性质：面面平行的性质：1；2 a a/b；面面平行 a/面面平行线面平行a b线线平行 3夹在两个平行平面间的平行线段相等。夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】四垂直关系包括线面垂直，面面垂直四垂直关系包括线面垂直，面面垂直定义：假设一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于平面。符号表述：假设任意a,都有l a，且l，那么l.a,b ab O判定定理：l l 线线垂直线面垂直l al b性质：1l,a l a线面垂直线线垂直；2a,b a/b；证明或判定线面垂直的依据：1定义反证；2判定定理常用常用；
19、3a/b；b 较常用a/ab4；5 a a 面面垂直线面垂直常用；常用；a a a b三垂线定理及逆定理：I斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，PO 1斜线相等射影相等；2斜线越长射影越长；3垂线段最短。【如图】【如图】PPB PC OB OC；PA PB OA OBII三垂线定理及逆定理：PO，斜线 PA 在平面内的 射 影 为 OA，a，假设a OA，那么a PA垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理；O假设a PA，那么a OA垂直斜线垂直射影，此为三垂线定理BACP的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用：1 证明异面直线垂直；2作、证二面角的平面角；3作点到线的垂线段；【
20、如图】aAO二面角：1定义：【如图】OB l,OA l AOB是二面角l 的平面角范围：AOB0,180作二面角的平面角的方法：1定义法；2三垂线法常1 1定义：假设二面角定义：假设二面角l 的平面角为的平面角为90，那么，那么；2 2判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这相垂直相垂直.页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！用；3垂面法.a aB两个平面互两个平面互 Aa 线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直a 3 3 性质：性质：假设，二面角的一个平面角为MON，那 a aB么MON 90；a AB a a a AB直；面 A
21、a a A面垂直线面 垂 a 或a/a A a.Aaa 二、立体几何常见题型归纳例讲二、立体几何常见题型归纳例讲1 1、概念辨析题：、概念辨析题：1此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。2对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进展判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。3相关例题：相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：04 年北京卷设m，n 是两条不同的直线，,是三个不同的平面，给出以下四个说法：m,n/m n；/,/,m m；m/,n
22、/m/n,/，说法正确的序号是：_2 2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。1 1根底知识网络：根底知识网络：页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！平行与垂直关系可互相转化平行关系平行关系1.a,b a/b2.a,a/b b 3.a,a/4./,a a 5./,判定推论判定垂直关系垂直关系平面几何知识平面几何知识平面几何知识平面几何知识线线平行线线平行判定线线垂直线线垂直性质判定性质性质判定面面垂直定义面面垂直面面垂直线面平行线面平行面面平行面面平行线面垂直线面垂直请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言请根据以上知识网络图
23、，写出相关定理的图形语言与符号语言.2 2相关例题：相关例题：D1例 106 广州市高一质量抽测如右图，在正方体 ABCDA1中，E、F 为棱 AD、AB 的中点1求证：EF平面 CB1D1；2求证：B1D1平面 CAA1C1DEAF例 2.如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线ABD 折起，使 A 移到A1点，且A1在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上求证：BC A1D；求证：平面A1BC 平面A1BD；求 三 棱 锥A1BCD的 体 积 答 案：C1B1A1B1C1D1CBBD把 VA1BCD 483 3、计算题。包括空间角异面直线所成的角，线面、计算题。包
24、括空间角异面直线所成的角，线面角，角，二面角二面角和空和空间几何体的外表积、体积的计算。间几何体的外表积、体积的计算。1对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲：step1：找；step2：证；step3：计算。0,90：解题步骤：一找一找作作：利用平移法找出异面直线所成的角；1可固定一条直线平移另一条与其相交；2可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：二证：证明所找作的角就是异面直线所成的角或其补角。常需要证明线线平行；三计算：三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；0,90：关键找“两足：垂足与斜足：关键找“两足：垂足与斜足解题步骤：一找：解题步骤：一找：找
25、作出斜线与其在平面内的射影的夹角注意三垂线定理的应用；页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！二证：二证：证明所找作的角就是直线与平面所成的角或其补角 常需证明线面垂直；三计算：三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。0,解题步骤：一找：解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找作出二面角的平面角；二证：二证：证明所找作的平面角就是二面角的平面角常用定义法，三垂线法，垂面法；三计算：三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。2 2对于几何体的外表积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，熟练应用公式进展计算。三视图，求对于几何体的外表积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，熟练应用公式进展计
26、算。三视图，求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。3 3相关例题：相关例题：例 1.如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求证：1平面 PAC平面 PBD；2求 PC 与平面 PBD 所成的角；例 2一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角y三角形ABO，假设O B 1，那么原ABO 的面积是AA12BC2 D2 222OBx例例 3.3.0606 深圳宝安中学期末考深圳宝安中学期末考如图，为一个几何体的正视图，侧视图和俯视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为2，4。俯视
27、图中，内、均外为正方形，边长分别为2，4，几何体的高为3，求此几何体的外表积和体积。答案答案S S全面积全面积=20+12=20+1210,V棱台 28例例 4.4.如下图，正四棱锥 SABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是 SA 的中点，那么异面直线BE 与 SC 所成角的大小为 B(A)90(C)45(B)60(D)30例 5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD 中，AB AC,PA 平面 ABCD，且 PAAB，点 E 是 PD 的证：AC PB；2求证：PB/平面 AEC；3假设PA AB AC a，求三棱锥 EACD 的体积；4求二D 的大小.单元考题三、训练题三、训练题页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！中点.1求面角 EAC1如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为a1求证：直线A1B/平面ACD12求证：平面ACD1平面BD1D；2.如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：AC平面 B1D1DB;(2)求证：BD1平面 ACB1(3)求三棱锥 B-ACB1体积ADBCA13.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面ABCD，E 是 PC 的中点。求证：1PA平面 BDE；2BD平面 PACD1C1B1页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！