固体物理学答案朱建国版.pdf

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1、 固体物理学答案朱建国版 Revised as of 23 November 2020 固体物理学习题指导 配合固体物理学（朱建国等编着）使用 2020年 11月 26日 第 1 章 晶体结构 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf和 Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于 多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为 a：对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=22a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=3

2、2a 那么，RfRb=23aa=63 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB 和 OC 分别与基失 a1，a2和 a3重合，除 O点外，OA，OB 和 OC 上是否有格点若 ABC 面的指数为（234），情况又如何 答：晶面族（123）截 a1,a2,a3分别为 1,2,3 等份，ABC 面是离原点 O 最近的晶面，OA的长度等于 a1的长度，OB的长度等于 a2长度的 1/2，OC 的长度等于a3长度的 1/3，所以只有 A点是格点。若 ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A、B和 C 都不是格点。二维布拉维点阵只有 5 种，试列举并画图表示之。答：二维布

3、拉维点阵只有五种类型，两晶轴ba、，夹角，如下表所示。序号 晶系 基矢长度与夹角关系 布拉维晶胞类型 所属点群 1 斜任意简单斜方（图中 1 所示）1，2 方 2,ba、2 正方 简单正方（图中 2 所示）4，4mm 3 六角 简单六角（图中 3 所示）3，3m，6，6mm 4 长方 简单长方（图中 4 所示）有心长方（图中 5 所示）1mm，2mm 1 简单斜方 2 简单正方 3 简单六角 4 简单长方 5 有心长方 二维布拉维点阵 在六方晶系中，晶面常用 4 个指数（hkil）来表示，如图所示，前 3 个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 120的共平面轴 a1，a2，a3上的截距 a

4、1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴 c 上的截距 c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明 设晶面族（hkil）的晶面间距为 d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC 在 a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此 123oooa nhda nkda nid (1)由于 a3=（a1+a2）把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）（0001），(133)(132

5、3)，(110)(1100)，(323)(3213)，（100）(1010)，（010）(0110)，(213)(2133)如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6（2）体心立方：38（3）面心立方：26（4）六方密堆积：26（5）金刚石：316。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：边长为 a的立方晶胞中堆积比率为 假设硬球的半径都为 r，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为 2r，那么：=

6、334/3(2)rr=6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为 4r，则其边长为43r，那么：=332(4/3)(4/3)rr=38（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为 4r，则其边长为2 2r，那么：=334(4/3)(2 2)rr=26（4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r，因此=3242()332ra c=26（5）对于金刚石结构 Z=8 38ar 那么333443*8()338rFZa=316.有一晶格，每个格点上有一个原子，基失

7、（以 nm为单位）a=3i，b=3j，c=（i+j+k），此处 i，j，k为笛卡儿坐标系中 x，y，z 方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为 a=3i，b=3j，而 c=（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c）式中c=3c。显然，a、b、c构成一个边长为 3*10-10m 的立方晶胞，基矢 c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积=c(ab)=3k(3i3j)=27*10-30(m3)原胞的体积=c(ab)=1(333)(33)2ijkij=*10-30(m3)

8、六方晶胞的基失为：322aaaij，322abaij，cck 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积=a（b*c）=232a c 那么，倒格子的基矢为12()b cb223ijaa，22()cab223ijaa ，32()a bb2kc 其第一布里渊区如图所示：若基失 a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为 答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴 a1，a2，a3上的截距分别为1ah，2ak，3al。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是 这里 d 是原点到平面 ABC 的垂直距离，即面间距。

9、由|n|=1 得到 故12222123()()()hkldaaa 用波长为的 X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角如下 序号 1 2 3 4 5/（）已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式 得 101

10、1011.54052.295 10()2sin2sin19.611odm 同法得 应用立方晶系面间距公式 可得晶格常数222hkladhkl 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得 a 的数值*10-10m 为，取其平均值则得 平面正三角形，相邻原子的间距为 a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1aai 用正交关系式022,ijijijijb a 求出倒易点阵初基矢量 b1，b2。设 由112b a 120b a 210b a 222b a 得到下面四个方程式 11()2xyai b ib j （1）1113()()022xy

11、aiajb ib j （2）22()0 xyai b ibj （3）2213()()222xyaiajb ibj （4）由（1）式可得：12xba 由（2）式可得：123yba 由（3）式可得：20 xb 由（4）式可得：243yba 于是得出倒易点阵基矢 补充习题：什么是晶体什么是非晶体试各举一例说明。答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。什么是原胞什么是晶胞 答：原胞是具有 2 维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和

12、对称性而选取的重复单元。什么是布拉维原胞什么是 WS 原胞 答：布拉维原胞就是晶胞，WS 原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的 WS 原胞。试计算面心立方和体心立方的堆垛因子 答：设面心立方晶胞的边长为a，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为4/2a。由于面心立方体晶胞中有4216818个原子，所以面心立方的堆垛因子7405.0624423433aa 设体心立方晶胞的边长为 a，则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为4/3a。由于体心立方晶胞中有21818个原子，所以体心立方的堆垛因子6802.0832433433a

13、a 绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。答：面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色-晶胞，蓝色-原胞。试绘出二维正方晶格的WS 原胞，设边长为 a。答：请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为a。第 n 近邻 简立方 体心立方 面心立方 原子数 原子间距 原子数 原子间距 原子数 原子间距 1 6 8 12 2 12 6 6 3 8 12 24 4 6 24 12 5 24 8 24 6 24 6 8 7 12 24 2472 8 30 24 6 9 24 24 12 10 24 24 24 绘出金刚石结构的两个

14、面心立方子晶格的套构情况。答：金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移 1/4 的长度套构而成。绘出立方晶胞里的晶向与晶面：答：绘出六方晶胞里的晶向与晶面：答：按照 WS 原胞的构造法，如果 BCC 中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？如果 BCC 中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多少？答：原点和 8 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的 6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的 14 面体八个面是正六边形,六个面是正四边形。为什么晶体没有 5 次对称轴，而准晶体有 5 次对称轴？答：设在图

15、中，是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。晶体中某一晶面的晶列（1）旋转角20，通过 A处的 u轴顺时针方向转过后，使 B1点转到 B，若通过 B处 u轴逆时针方向转过角后，A1点转到 A。经过转动后，要使晶格能自身重合，则 A、B点必须是格点，由于 A、B和 AB平行，AB必须等于 AB的整数倍，即cos21ABBA，于是0,3,21,21,0cos。（2）旋转角2，同理BBAA,，有cos21cos21ABABBA，于是有,321,21cos 综上，旋转角改写为62,42,32,22,12。即晶体中只存在 1、2、3、4、6次转轴。另外一方面因为晶体的旋转对称性要

16、受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列，所以晶体没有 5 次对称轴，而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态物质形态，即准晶体可以有 5次对称轴。试写出沿 x2轴有 90旋转轴的变换矩阵。答：（1）逆时针旋转（2）顺时针旋转 举例宏观对称元素与微观对称元素 宏观：转动 对称中心 反演 对称面 反映 微观：平移和平移轴 螺旋旋转与螺旋轴 滑移反映和滑移面 对于立方晶系，晶体的介电常数矩阵简化为什么情况？答：在晶体中，电位移矢量D与电场强度E间的关系可以写为：对于立方晶系，当把电场 E同晶体一起转动时，电位移矢量也将作相同的转动。用 D表示转动后的电

17、位移矢量。设电场 E沿着立方轴 y，这时 EDDxyzx，EDDyyyy，EDDxyxx 但是，转动是以E为轴的，实际上电场并未改变。而上述转动又是立方体的一个对称操作，所以转动前后晶体没有任何差别，电位移矢量D应不变，即DD 代入，可得：zyxy，xyzy 即0zyxy 如果取 E沿 z 方向，并绕z 轴转动2，同理，可得：的非对角元都等于零，于是 ED，（zyx,）再取电场沿立方体111方向，则 绕111轴转动32，使 z 轴转到原 x 轴，x 轴转到原 y轴，y轴转到原 z 轴，则转动后的 D写为 与前论述的一样，电场实际是没变的，晶体所经历的又是一个对称操作，晶体也完全未变，所以，D和

18、 D应相同。第 2 章 晶体的结合 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与 2个电负性较大而原子半径较小的原子（如 O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为 50kJ/mol。解：解：根据弹性模量的定义可知 0022VVdVUdVdVdPVK

19、（1）上式中利用了dVdUP的关系式。设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成)(2)(2nmrrNruNU （2）又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即 3rNNvV （3）上式中为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，2/2）。又因为 2112312)(31)(0rNrnrmNdrdUNrdVdUnmR （4）0011222(231)(rrnmVrnrmNrNdrddVdrdVUd nmnmrnrmrnrmNV0002022033291（5）考虑平衡条件0)(0rdVdU，得nmrnrm00，那么（5）式可化为 )(92929102000200020UVmnrr

20、NVmnrmnrnmNVnmmn（6）将（6）式代入（1）式得：00020099VmnUUVmnVK，所以0091UmnVK 解：在平衡位置时有 KErBrAru10020)(（1）0102)(11030rBrAdrrdu （2）将离解能4kEeV和3.00rnm,代入（1）和（2）式可得：19105.4AeVm2，96109.5BeVm10。解：由题意有以下方程成立：把0r，U的具体数值代入上述方程组，即得：由此可得：9105100578.1mJA，mJB281052.2 该晶体的有效弹性模量为：又 3rNNvV （上式中N表示晶体中所含的原子个数 ，表示与晶体结构有关的因子）故 0)(91

21、220rdrUdNrK)290(91301100rBrAr11102797.391=1010 解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33rav，故1；（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33322)2(4141rrav，故22；（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积333934)32(2121rrav，故934；（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积333938)34(8181rrav，故938；（5）在 NaCl 点阵中，每个原子平均所占据的体积333)2(8181rrav；故1。解：解：解：NaCl 晶体中 Na+和 Cl-的最近距离为 r0，晶胞

22、基矢长为 2r0 NaC l 晶体中 Na+和 Cl-的最近距离为0r。晶胞基矢长为 20r，一个晶胞中含有四对正负离子对。一个原胞（一个 NaCl 分子）的体积为：302vr=23(2335.45)2.16 6.02 10mN NaCl 晶体中的正负离子的平衡间距为：802.82 100.282rcmnm 由晶体体积弹性模 量的公式：=12941019236 3.14 8.85 102(0.282 10)12.41 101.7476(1.6 10)=由平衡时离子晶体的内聚能公式：20 01(1)4cNMeUrn，将 n=代入得 NaCl 晶体的每对离子的内聚能为：=19212191.7476

23、(1.6 10)1(1)4 3.148.85100.282 107.82 解：（1）在平衡时，有下式成立 06212)(7061301200 xxdxxduxx （1）由上式可得0 x（2）设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为)(xU，那么有 611210)(2)(2)(jjjxxNxU （2）设X为 2 个原子间的最短距离，则有Xaxji1，那么（2）式可化为 6120)()(2)(XBXANXU （3）其中（3）式中00048.2)31211(21121212jjaA，07809.4)31211(2212666jjaB。那么每个原子的平均晶格能为 解：.若 NaCl

24、晶体的马德隆常数=，晶格常数 a=0A，幂指数 n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：（1）离子间距增加多少？（2）负压强的理论值是多大？解：（1）设该 NaCl 晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为 nrBrMqNrU0242)(（1）上式中的r指 NaCl 晶体中相邻两离子间的距离。又设 NaCl 晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为0r，则有ar210。由平衡条件可知 042)(001202rrnrrrnBrMqNdrrdU（2）由（2）式可得：10024nrnMqB。当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有 0)1(422)(11230222rrnrrrB

25、nnrMqNdrrUd（3）将10024nrnMqB代入（3）式可得 因而离子间距增加了63.082.245.301rrr0A 试利用中性计算三维 NaCl 晶体的马德隆常数。试求出 GaAs的离子键比例，Ga、As 的电负性分别为、。Kr晶体是面心立方结构，满足勒纳-琼斯势，如果只计算到第三近邻，试求热平衡时 Kr晶体的结合能。解：第 3 章 晶格振动和晶体的热学性质 试求由 5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量 m1027kg，恢复力常数15Nm1 解：一维单原子链的解为)(qnatinAeX 据周期边界条件 11NXX，此处 N=5,代入上式即得 所以 aq52（为整数）

26、由于格波波矢取值范围：aqa。则 2525 故可取2，1，0，1，2 这五个值 相应波矢：a54,a52,0,a52,a54 由于2sin4qam，代入，m 及 q 值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）1013，1013，0，1013，1013 3.2 求证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 2122)(2mN 式中mm4是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N 解：对一维单原子链，dqqqdqddN2)(所以 dqdq2 （1）由色散关系2sin4qam 求得 2/12)2sin1(2422cos4qaamaqamdqd2/12)4(2ma

27、（2）而 22NaLq，则由（1）式可得 由于mm4，则总的振动模数为 令sinm，则积分限为 0 到2/，故 3.3 设晶体由 N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 239mN 解：由书上（369）式可得 32223vvg （1）由（371）可得 vnmD3/126 由此可得 nvm32332，代入（1）式得 3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量 m1027kg，另一种原子的质量 M4m，力常数15Nm1，试求（1）光学波的最高频率和最低频率max和min；（2）声学波的最高频率Amax；（3）相应的声子能量（以eV 为单位）；（4）在 300K可以激发频率为max，min

28、和Amax的声子的数目；（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。解：（1）mmMMm54（2）eV21913341041410611100712106266.max （3）11/kTwen 221.0maxn，276.0minn，873.0maxAn （4）光速vc，mmcvc28108.225max 设有一维晶体，其原子的质量均为 m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10，且最近邻的距离为2/a，试画出色散关系曲线，并给出0q和aq/处的 q。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，原子的运动方程应是nnnnnnnnnnxxxxxmxxxxxm2121

29、22212122212210 即 nnnnxxxxm2121221110 求格波解，令 tqaninAex222，tqaninBex21212 代入运动方程，可导出线性方程组为：令20m，从 A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得 可解出 101cos2011202qa 色散关系见下图 0q时，1cosqa，022，0 aq时，1cosqa，020，02 在一维双原子链中，如1mM，求证 证 由书中（）式知，双一维原子链声学支 mM，14mMmM 由近似式nxxn11，）当1(x 得sin)(4211 12/12221qaMmmMmMMm qaMqaMm22sin2sin2，对22，由于m

30、M，MmM 10 10 m x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界aq2处，声学支格波中所有轻原子 m 静止，而光学支格波中所有重原子 M 静止。画出这时原子振动的图象。证 由（318）第一式得22cos2mqaBA，当aq2 时 0cosqa 且对声学支2/12M，代入上式即得：0220MmBA，故 A0，轻原子静止 再由（318）第二式得22cos2MqaAB，当aq2 时0cosqa 且对光学支，2/12M，代入上式即得 0220MmAB 故 B0，重原子静止 3.8 设固体的熔点mT对应原子的振幅等于原子间距a的 10的振动，

31、推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率2/1502MTkamB，其中 M 是原子质量。解 当质量为 M 的原子以频率及等于原子间距a的 10的振幅振动时，其振动能为：2222102121aMAME 在熔点mT时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为mBTk，于是有mBTkaM221021，由此得 3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容2011 32TNkCDBv 证明：由书可知43209(/)1DxTvBDxe x dxCNkT Te 在高温时，DT，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为12112124122222342/2/424xxxxx

32、xxeexexexxxx 将上式代入vC的表达式，得353119(/)360DDvBDCNkT TTT 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为2，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：由（369）式知，状态密度 32223vVVg 则 dvVdEDD32200002321 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于2T 证明：（解法一）此题可推广到任意维 m，由于 而德拜模型中vq，故 11mmqg 令xkT，则上式变为 在低温时 kTxDD 则积分dxexexmx0211 为一个于T无关的常数 故 mvTC 对三维 m3 3TCv 对本

33、题研究的二维 m2 2TCv 对一维 m 1 TCv （解法二）德拜模型考虑的格波是弹性波，波速为v的格波的色散关系是vq。在二维波矢空间内，格波的等频线是一个个的圆环，如图所示 在)(dqqq区间内波速为v的格波数目 式中 S 是二维晶格的总面积，由此可得波速为v的格波的模式密度 考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度 格波的振动能mBTkpevdSE0221 晶格的热容量mBBTkTkBBpVedeTkkvSC02221 3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为 arbrerU2，b 为待定常数，平衡间距mr100103，求线膨胀系数。解：由书上（）式知

34、，线膨胀系数 0243rfgkB 其中：02221rdrUdf，033!31rdrUdg 由平衡条件091002020rbredrdUr 8029reb 302110302429022rerbref，402120402352990661rerbreg 由于 mr80103，CGSEe1010806.4 3.13 已知三维晶体在0q附近一支光学波的色散关系为 2220zyxCqBqAqq，试求格波的频谱密度 解：2220zyxCqBqAq 则 1020202CqBqAqzyx 这是 q 空间的一个椭球面，其体积为abc34，而 2/10Aa，2/10Bb，2/10Cc q空间内的状态密度 33)

35、2(2VLq，故椭球内的总状态数N为 故 2/1022/102/12414ABCVABCVddN 补充习题：具有二维矩形点阵的简单晶格，设原子质量为 M，晶格常数分别为 a和 b，最近邻原子间相互作用的恢复力为，试求此系统沿0 xq；0yq；yxqq 的格波色散关系。Cu，金刚石，NaCl 晶体应该分别有几支色散关系？解：Cu 有 3支声学波；金刚石有 3 支声学波，3支光学波；NaCl 有 3支声学波，3 支光学波。对于简立方晶胞，设原子质量为 M；晶格常数为 a；最近邻原子间相互作用的恢复力为。试求此系统沿111;110;100zyxqqq方向的格波色散关系。对于一维单原子点阵，已知简正模

36、式的色散关系为 式中Mm2，为回复力系数，M 为原子质量。（1）导出模式密度的精确表达式()；（2）在德拜模型下，求出德拜截止频率（最大频率）D.解答:(1)一维简单晶格的色散关系曲线如下图所示:由色散关系的对称性可以看出,d区间对应两个同样大小的波矢空间 dq.a2区间对应 L/a个振动模式,单位波矢区间对应有 L/2个振动模式.d范围则包含 个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为ddqL.由色散关系得:所以,模式密度:)21cos(2)(qaaLm(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质,把格波看作弹性波.代入可以求出:avpD 由正负离子组成

37、的一维原子链，离子间距为 a，质量都为 m，电荷交替变化。原子间的互作用势是两种作用势之和：（a）近邻两原子之间的短程作用，力常数C；（b）所有离子的库仑作用。求：（1）库仑力对力常数的贡献 （2）色散关系 解：什么是声子？试比较声子与电子的异同点 解：声子不能脱离固体存在，声子只是格波激发的量子，在多体理论中称为集体振荡的准粒子。什么是布里渊散射什么是喇曼散射 解：光子于与长声学波声子的相互作用一般称之为光子的布里渊散射。光子也可与光学波声子相互作用，这称为光子的喇曼散射。两种散射都不会有倒逆散射。已知一个格波在某个频率下的能量为，试求在 300K 时这个格波的平均声子数是多少？如果能量为；

38、2eV，平均声子数又是多少？解：11kTien，E E=,n=E=,n=E=2,n=如果晶体做严格的简谐振动，则格林爱森常数等于多少？解：由式及式可得arardrUddrda332 简谐近似是指势能函数展开式只取到二阶项，在简谐振动情况下，势能函数展开式中的三阶及以上系数均为零，所以在此情况下，0。第 4 章 晶体缺陷 晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同为什么 答：空位与间隙原子的平衡浓度值是不相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.如果已知空位形成能为 Eu=，试问当温度为 300K

39、时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？答：设肖特基缺陷数为 n，格点数为 N。那么由公式 可得 19230.67 1.6 101.38 10300neN=*10-12 某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为，求该原子在 1s内跳跃的次数。P87 答：由公式 可得 230.11.38 10300eVovv e=2*1015*=4*1013 在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令 n 代表正、负离子空位的对数，W 是产生一对缺陷所需要的能量，N 是原有的正、负离子对的数目。（1）试证明：

40、n/N=Bexp（-W/2kBT）；（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化V/V，其中 V 为原有的体积。答：（1）设 n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去 n 个正离子和 n 个负离子而形成的。从 N 个正离子中形成 n 个正离子空位的可能方式数为 同时，从 N个负离子中形成 n 个负离子空位的可能方式数也是 于是，在整个晶体中形成 n 对正、负离子空位的可能方式数 由此而引起晶体熵的增量为 设形成一对正、负离子空位需要能量 w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变!2()!BNFUT Snwk TInNn n （1）热平衡时，()0TFn，并应用斯特令公式!InNNInNn，从

41、（1）式得 因为实际上 N?n，于是得 n/N=Bexp（-W/2kBT）（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生 n 对正、负离子空位时，所增加的体积应该是32Vna 式中 a为离子最近邻距离。因为32VNa为晶体原有的体积，有上式可得 已知扩散系数与温度之间的关系为：/ABEk ToDD e 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：T/K 878 1007 1176 1253 1322 D/m2s-1*10-20*10-18*10-18*10-17*10-16 试确定常数 Do和扩散激活能 EA.答：由公式/ABEk ToDD e，可得 当

42、 T=878，D=*10-20时，D01=铜和硅的空位形成能Eu分别是和。试求 T=1000K 时，铜和硅的空位浓度。答：由公式 可得：对于铜50.38.6 1010000.03neN 对于硅52.8158.6 1010007.247 10neN 碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试 F带的光吸收就可得 F心的形成能 EB。当温度从 570上升到 620时，吸收常数增加了%左右。假设光吸收的增加是由 F心的数目增加引起的，试计算 F心形成能 EB。答：一价负离子空位俘获一个电子形成 F心，所以 F心的数目可以看作是一价负离子空位的数目，由平衡时空位的数目（）式，可得 F心的数目TkEBB

43、Nen 039.01K843K893570570620570570620BBBBBBBBBBkEkEkEkEkEeeNeNeNennn，其中KJkB/1038.123，解，得eVJEB221109682.4109491.7 考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿111方向滑移、位错线和110平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。答：如图所示：求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为

44、111，最小滑移矢量 b 即111晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为 a，则（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为101。最小滑移矢量 b 等于101方向上相邻格点间的距离，即（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是2110。2110晶向上原子间距为 a，因此，在 FCC 晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为112，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为11102b。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。答：刃位错滑移矢量与位错线垂直 螺位错滑移矢量与位错线平行 ab=0 故是刃位错，滑移面111 第 5 章 金属电子论 已知银是单价金属，

45、费米面近似球面，银的密度m=103kg m3，原子量 A=，电阻率在 295K 时为 103 m，在 20K时为 103 m（课本数据有误）。试计算：（1）费米能级和费米温度；（2）费米球半径；（3）费米速度；（4）费米球的最大截面积；（5）室温下和绝对零度附近电子的平均自由程。P111 解：电子数密度328323310862.5)1087.107/(10022.6105.10/mANnAm。(p103)费米波矢1103/123/1210202.133mnnkF（1）费米能eVJmkEeFF508.510823.810109.92)10202.1()10055.1(2193121023422

46、费米温度KkETBFF4231910389.610381.110823.8（2）费米球的半径11010202.1mkF（3）费米速度smmkveFF/10392.110109.910202.110055.16311034（4）费米球的最大横截面积 220210537.4mkSFmF（5）平均自由时间2neme，平均自由程2nemvveFF p105-106 基本电荷Ce1910602.1 室温下KT2951，m12219283316110235.5)10602.1(10862.51061.110109.910392.1 绝对零度附近KT202，m9219283316110218.2)10602

47、.1(10862.5100038.010109.910392.1 （1）求出二维情况下电子浓度n 和 kF的关系式；（2）求出二维情况下 rs和 kF的关系式；（3）证明在二维情况下，g()=常量，当0，或者 g()=0，当0，并求出这个常量的值。解：（1）由周期性边界条件得到，xxnak2和yynak2（其中xn和yn是任意的整数）于是一个 k 态在 k 空间中所占据的面积为：224akkyx。费米波矢 k 是费米面的半径，于是有：NakF2224 2，所以nkF2。（2）在自由电子近似下，每个电子占有的体积为 3341srn 解得3/123/12343Fknrs（3）在自由电子近似下，二维

48、晶格的 K 空间的 kk+dk圆环内的电子状态数为 p110 kdkSkdkSkdN2)2(2)(2，当0时，由于emk222，dmkdke2。即 dSmdNe2)(所以单位面积的二维晶格K空间的状态密度函数g()当0时，0)(g 证明单位体积的固体内费米能级 EF处的状态密度函数可以写为 证：在自由电子近似下，k 空间的等能面是一个球面，则半径为 k的球体内电子的状态数为2/32223)(EmVENe 单位体积的固体内电子的状态数为 其状态密度2/12/32223231EmdEdZe 又2/32/3322/32222312312FFFeeFFEnEkmmkE，从而FEEndEdZF23 试用

49、驻波条件讨论 k的取值。求 g()，并与周期性边界条件比较。解：在自由电子近似下，电子在势阱中的薛定谔方程为Eme222，按照分离变数原理，方程可写为：xxxeEdxdm2222，yyyeEdydm2222，zzzeEdzdm2222 上述三个方程的解为：xikxxxeC，yikyyyeC，zikzzzeC 由归一化条件：VdV1*，可知：LCx1，LCy1，LCz1 有边界条件：0,0Lxxx，0,0Lyyy，0,0Lzzz 可得Lnkii，这里in是正整数，zyxi,所以：xLnLxxsin1，yLnLyysin1，zLnLzzsin1 每一个状态点占有的 k 空间的体积是：k空间态密度为

50、31V k空间dkkk壳层内的电子状态数为：dEEmVdkkVdN2/12/322232442 所以2/12/12/322241)(EEmdEdNVg 周期性边界条件下，2/12/12/322*221)(EEmg 可得)(8)(*gg 这是由于在驻波条件下，in只能取正数，而在周期性边界条件下，in可取正负整数。电子处在体积 V的正交六面体小盒子中，借助测不准关系确定在动量区间pp+dp或能量区间 EE+dE 中电子的量子态数，求动量和能量分别小于 p0和 E0的电子态总数。解：因为体积为 V的电子体系中的能态密度为 2/12/32222EmVdEdN 由 dEdpdpdNdEdN，以及 mp